微专题：综合法和向量法视角下的空间角与距离的计算问题学案-2025届高三数学二轮复习

【二轮复习微专题】 综合法和向量法视角下的空间角与距离的计算问题 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 了解空间角和空间距离的烈性； 2. 掌握空间角与距离的向量法计算，熟悉结合综合法计算； 3. 培养学生空间想象能力、运算能力、推理论证能力及转化与化归思想的应用. 2、 重点难点 重点：掌握空间角与距离的向量法计算，熟悉结合综合法计算; 难点：培养学生空间想象能力、运算能力、推理论证能力及转化与化归思想的应用. 3、 学习过程 1. 问题引入 思考：空间角和空间距离主要是指哪些？ 2. 空间角与空间距离的常见求法 空间角一：异面直线所成角的求法 法一(几何法)步骤为： ① 利用 构造角，可固定一条直线， 另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置； ②证明找到(或作出)的角即为所求角； ③通过 来求角. 法二(向量法)步骤为：① 求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n； ②计算 ； ③利用cos θ＝ ，以及θ∈ ，求出角θ. 空间角二：直线与平面所成角的求法 法一(几何法)步骤为：① 找出直线l在平面α上的 ；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过 来求角. 法二(向量法)步骤为：①求出平面α的法向量n与直线AB的方向向量； ②计算 ； ③利用sin θ＝ ，以及θ∈ ，求出角θ. 空间角三：二面角（平面与平面的夹角）的求法 法一(几何法)步骤为：① 找出二面角的 (以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)； ② 证明所找的角就是要求的角； ③ 把这个平面角置于一个三角形中，通过 来求角. 求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定. 法二(向量法)步骤为：①求两个平面α，β的法向量m，n； ②计算 ； ③设二面角为θ，若θ为 角，则cos θ＝ ，若θ为钝角，则cos θ＝ ，（设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝ ）. 空间距离问题： 1.空间中点、线、面距离的相互转化关系 2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2) 法；(3)等价转化；(4) 法. 1. 例题分析 空间角一：异面直线所成角 例题1. 记已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 空间角二：直线与平面所成角 例题2. （1）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）证明：平面； （2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． （2）如图，和所在平面垂直，且求： (1)； (2)直线与平面所成角的大小； 空间角三：二面角（平面与平面的夹角）的求法 例题3. （1）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求锐二面角的余弦值. （2）（2023 · 新课标Ⅱ卷 · 高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 空间距离问题： 例题4. 在如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求直线到直线的距离； (3)求点到平面的距离； (4)求直线到平面的距离. 2. 提升练习 1. 在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ． 2. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 3. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为. (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的大小. 4. （2024· 新课标Ⅱ卷· 高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 5. （2024 全国甲卷 高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《综合法和向量法求空间角和距离作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【二轮复习微专题】 综合法和向量法视角下的空间角与距离的计算问题 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 了解空间角和空间距离的烈性； 2. 掌握空间角与距离的向量法计算，熟悉结合综合法计算； 3. 培养学生空间想象能力、运算能力、推理论证能力及转化与化归思想的应用. 2、 重点难点 重点：掌握空间角与距离的向量法计算，熟悉结合综合法计算; 难点：培养学生空间想象能力、运算能力、推理论证能力及转化与化归思想的应用. 3、 学习过程 1. 问题引入 思考：空间角和空间距离主要是指哪些？ 空间角：异面直线所成角、线面角、二面角（面与面的夹角） 空间距离：点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离，平面间的距离 2. 空间角与空间距离的常见求法 空间角一：异面直线所成角的求法 法一(几何法)步骤为： ① 利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置； ②证明找到(或作出)的角即为所求角； ③通过解三角形来求角. 法二(向量法)步骤为：① 求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n； ②计算cos〈m，n〉＝； ③利用cos θ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈，求出角θ. 空间角二：直线与平面所成角的求法 法一(几何法)步骤为：① 找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角. 法二(向量法)步骤为：①求出平面α的法向量n与直线AB的方向向量； ②计算cos〈，n〉＝； ③利用sin θ＝|cos〈，n〉|，以及θ∈，求出角θ. 空间角三：二面角（平面与平面的夹角）的求法 法一(几何法)步骤为：① 找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)； ② 证明所找的角就是要求的角； ③ 把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定. 法二(向量法)步骤为：①求两个平面α，β的法向量m，n； ②计算cos〈m，n〉＝； ③设二面角为θ，若θ为锐角，则cos θ＝|cos〈m，n〉|，若θ为钝角，则cos θ＝-|cos〈m，n〉|，（设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|）. 空间距离问题： 1.空间中点、线、面距离的相互转化关系 2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法. 1. 例题分析 空间角一：异面直线所成角 例题1. 记已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 故选：C. 空间角二：直线与平面所成角 例题2. （1）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）证明：平面； （2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为侧面是矩形，分别为的中点，所以，， 从而，又是正三角形，是中点，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，平面，平面 平面 ， 所以，而，所以，所以平面，平面， 所以平面； （2），连接， 平面，平面 平面 ，平面， 所以，又由三棱柱的性质得，所以是平行四边形，所以， 是的中心，则，所以， 所以， 设，则，， 由三棱柱性质知四边形是等腰梯形，如图，，作于， 则，又， 所以，． 由（1）知是平面的一个法向量，而是与的夹角， 所以直线与平面所成角的正弦值等于． （2）如图，和所在平面垂直，且求： (1)； (2)直线与平面所成角的大小； 【详解】（1）设，作于点，连接， 因为和所在平面垂直，平面平面， 所以， 因为 所以， 以点为原点，的方向分别为轴，轴，轴方向，建立空间直角坐标系如图所示： ， ， ，所以； （2）设直线与平面所成角的大小为， 由（1）可得，显然是平面的一个法向量， ， 所以直线与平面所成角的大小为； 空间角三：二面角（平面与平面的夹角）的求法 例题3. （1）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：，且为中点， ． 又三棱柱中平面，平面，， ，平面，平面， 平面，． ∵，∴由直角三角形可得， ，即， 又∵，平面，平面. （2）过作，连结，由（1）知，， 又，平面，平面． 平面， ． 又， ，平面， 平面， ∵平面， ， 就是二面角的平面角. 在直角三角形中，， ∵，∴， 在直角三角形中，. （2）（2023 · 新课标Ⅱ卷 · 高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面 平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 空间距离问题： 例题4. 在如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求直线到直线的距离； (3)求点到平面的距离； (4)求直线到平面的距离. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 因为，则， 所以点到直线的距离为. （2）因为，，即， 可知，即 所以直线到直线的距离即为点到直线的距离 （3）因为，. 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即. 所以点到平面的距离为. （4）因为，平面，平面，所以∥平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 由（3）可知平面的一个法向量为，且 则到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 2. 提升练习 1. 在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ． 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 则，故， 则，， 设平面的法向量， 则，取可得， 则点B到平面的距离为， 当时，点B到平面的距离为， 当时，. 当且仅当时，等号成立， 所以点B到平面的最大距离为. 故答案为：. 2. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面， 则，由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得，则， 而平面，所以平面. （2）由（1）知，，由，得， 又，且平面， 所以平面. （3）由（1）知，，且， 设平面的法向量为，则，取，得， ，而，则， 即，则的一个法向量为， 因此，而，则， 所以平面与平面的夹角为. 3. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为. (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的大小. 【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； （2） 取的中点E,连接AE，如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则，则的中点， 所以,，， 设平面的法向量为， 则，解得，取， 则平面的一个法向量为， 由平面可知，为平面的一个法向量， 设二面角为， 则， 且观察图可知，二面角为锐二面角， 所以，则， 所以二面角的大小为. 4. （2024· 新课标Ⅱ卷· 高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故 ； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 5. （2024 全国甲卷 高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形， ，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《综合法和向量法求空间角和距离作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$