8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（七个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 一、三种语言的相互转换 五、异面直线的判断 二、点线共面问题 六、线面位置的判断 三、线共点问题 七、面面位置的判断 四、点共线问题 知识点1平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 知识点2平面的基本事实 1.基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 重难点一、三种语言的相互转换 【例1】试用集合符号表示命题“若直线l上两点A、B在平面上，则直线l在平面上”，应为 ． 【答案】，，， 【分析】略 【详解】略 故答案为：，，， 【例2】若一直线a在平面上，则正确的作图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】B选项中直线超出平面，故B选项错误； C选项中没有画出直线，故C选项错误； D选项直线与平面相交，故D选项错误. 故选：A. 【变式1-1】用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【答案】 ，    【详解】略 【变式1-2】画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【答案】答案见解析 【详解】如图，是三个不同的平面，为不同的直线， 其中∥，    【变式1-3】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 重难点二、点线共面问题 【例3】若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 【例4】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【详解】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 【变式2-1】如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图，是的中点， 连接，连接， 因为，所以，所以共面；      对于B，如图，因为是的中点， 取的中点，连接， 可得，所以，即四点共面， 因为，所以，即四点共面， 因为过的平面有且只有1个， 所以四点共面；      对于C，如图，三棱锥中连接， 因为是的中点， 则，，所以，即四点共面； 对于D，如图，连接， 平面，即四点不共面. 故选：D. 【变式2-2】直线，，直线l和a、b、c分别交于点A、B、C，求证：a、b、c、l共面． 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以a和b确定平面． 因为，所以，同理． 由公理1得．又因为， 所以b和c确定平面．同理． 故且，且， 由公理3得，与重合．所以a、b、c、l共面． 【变式2-3】如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中. 【答案】证明见解析 【详解】取中点，中点，连接，，， 则，， 由正四棱柱，可得， 则，又点为中点， 所以，即四边形为平行四边形， 同理可得，四边形为平行四边形， 所以且， 则，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面，即点在平面中． 重难点三、线共点问题 【例5】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 【例6】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 【变式3-1】在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（    ） A．点必在直线上 B．点必在直线BD上 C．点必在平面内 D．点必在平面外 【答案】A 【详解】如图所示，    因为EF属于一个面ABC，而GH属于另一个面ADC，且EF、GH相交于点P， 所以点P在两面的交线上， 又AC是两平面的交线， 所以点P必在线AC上. 故选：A. 【变式3-2】如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．    (1)求证：直线、、交于一点； (2)若，求多面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接、， 因为、分别为、的中点，所以且． 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以且，所以，且， 所以四边形为梯形，所以与交于一点，记为， 即，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面平面，则直线， 所以直线、、交于一点. （2）连接， 由题意可得：.        【变式3-3】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）：：：，， ，分别为，的中点，，， ，，，四点共面． （2）、不是、的中点， ，且， 与必相交，设交点为， 平面，平面， 平面，且平面， 平面平面，， 与的交点在直线上． 重难点四、点共线问题 【例7】如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【例8】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【变式4-1】如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．    【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线 【详解】O是中点，则O是中点，故平面， 与截面交于P，故，故平面，又平面， 故、、平面，又、、平面， 故、、在平面和平面的交线上. 故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线. 【变式4-2】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 【变式4-3】平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，则三个交点共线． 【答案】证明见解析 【详解】 证明：如图1，先考虑和不在同一平面内，则由条件知， 它们可构成一个三棱锥，而是它的一个截面， 且和的对应边所在的直线都相交．    设与交于点，则平面平面， ∴点必落在平面与平面的交线上， 同理，与的交点，与的交点都落在平面与平面的交线上， ∴三对应边的交点共线．只要选取适当的投影方向， 便得到一个如图2所示的图形（投影图），从而原问题获证．    知识点3空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b a∥α 相交关系 图示 符号 语言 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 重难点五、异面直线的判断 【例9】已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 【例10】如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 【变式5-1】空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 【答案】平行或异面 【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线. 故答案为：平行或异面. 【变式5-2】如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【答案】B 【详解】对于A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故A错误； 对于B，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 故B正确； 对于C，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故C错误； 对于D，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故选：B. 【变式5-3】（多选）正方体中，与棱异面的棱有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】如图，我们作出符合题意的正方体，    由正方体的性质得与棱异面的棱有，，，，共4条， 而本题中符合题意的有和，故C，D正确. 故选：CD 重难点六、线面位置的判断 【例11】若直线上有一个点不在平面上，则这条直线与该平面的公共点最多有 个． 【答案】1 【详解】由平面的基本性质知，直线上有一个点不在平面上就说明直线不在平面上， 此时直线与平面的位置关系可以是平行或相交， 所以这条直线与该平面公共点最多有1个． 故答案为：1． 【例12】已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由b∥α得直线b与平面α无公共点，由a⊂α得a，b无公共点，充分性成立. 由a，b无公共点得a∥b或a，b为异面直线，b∥α不一定成立，必要性不成立. 故“b∥α”是“a，b无公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-1】下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，直线上有无数个点不在平面内，则或直线与平面相交，①错误； 对于②，两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条与这个平面平行或在平面内，②错误； 对于③，直线与平面平行，则与平面没有公共点，与平面内的任意一条直线都没有公共点，③正确， 所以给定命题正确的个数为1. 故选：B 【变式6-2】（多选）下列命题正确的有（    ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】AD 【详解】由基本事实2可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内，故A正确； 因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行， 所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行， 即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误. 由基本事实3知，如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确； 故选：AD. 【变式6-3】判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l垂直的直线； (2)若直线平面M，则M内不存在与l不垂直的直线； (3)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线； (4)若直线平面M，则M内不存在与l不平行的直线． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)假命题 【详解】（1）如图，在长方体中，直线l与平面M斜交，，，所以此命题是假命题； （2）若直线平面M，则直线与平面内的任意一条直线都垂直， 所以M内不存在与l不垂直的直线，所以此命题为真命题； （3）若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线，否则根据线面平行的判定定理可知与平面平行， 这与已知条件相矛盾，所以此命题为真命题； （4）如图，直线平面M，，与不平行，是异面直线，所以此命题为假命题. 重难点七、面面位置的判断 【例13】如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（    ） A．直线与要么相交，要么不相交 B．当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C．直线平面，要么与平行，要么在内 D．平面与要么相交，要么不相交 【答案】C 【详解】对于AB：空间中的两条直线a，b的位置关系有共面和异面两种情况，共面时有相交和平行两种情况， 若直线与要么相交，要么不相交，故A正确； 当a与b不相交时，a与b要么平行，要么异面， 故B是正确； 对于C：直线、平面，要么与平行，要么在内,还有可能直线与平面相交，故C是错误的； 对于D：空间两个平面与的位置关系为相交或平行，空间两个平面要么相交，要么不相交，故D正确. 故选：C. 【例14】在正方体中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①与 ；            ②与 ； ③与平面 ；    ④与平面 ； ⑤平面与平面 ；     ⑥平面与平面 . 【答案】 平行 异面 平行 相交 平行 垂直 【解析】根据图形可得答案. 【详解】由图可知，四边形是平行四边形，所以与平行； 与异面； 因为，平面，平面，所以与平面平行； 与平面相交； 平面与平面平行； 平面与平面垂直. 故答案为：平行，异面，平行，相交，平行，垂直. 【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单. 【变式7-1】设是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 .①；②是异面直线；③没有公共点；④与没有公共点；⑤. 【答案】③（或④） 【详解】由，可得，可能平行，也可能是异面直线； ，没有公共点；与没有公共点；与可能平行，也可能相交.故一定正确的结论序号为③④. 故答案为：③（或④） 【变式7-2】（多选）以下四个命题正确的有（  ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”等价于“与相交” C．若直线平面，直线平面，且 ， ，则 D．若四条直线中任意两条共面，则这四条直线共面 【答案】AC 【详解】 对于A，由上图可知：三个平面可以把空间分成四部分、六部分、七部分、八部分，最多八部分，所以选项A正确； 对于B，由上图可知： ， 直线平面，直线平面，且，但直线与直线并不相交， 所以选项B错误； 对于C，直线平面，直线平面，因为， 所以，又因为，所以， 所以选项C正确； 对于D，如上图，直线，直线，直线，直线任意两条共面，但这四条直线并不共面，所以选项D错误. 故选：AC. 【变式7-3】如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，求证：平面与平面相交． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在正方体中，E为的中点， 所以，， 所以四边形为梯形， 所以与不平行， 所以延长CE与必交于一点，设为点H， 所以，且， 又平面，平面， 所以平面，平面， 所以点H为平面与平面的公共点， 所以平面与平面相交． 一、单选题 1．若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确， 故选：D. 2．下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 【答案】C 【详解】对于A，共线的三点无法确定一个平面，A错误； 对于B，空间四边形不是平面图形，B错误； 对于C，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确； 对于D，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D错误. 故选：C. 3．如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 4．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 5．已知E，F是四面体的棱，的中点，过的平面与棱，分别相交于G，H，则（    ） A．平分， B．平分， C．平分， D．平分， 【答案】C 【解析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案. 【详解】过的平面为平面时，在点， 在点， 所以，平分， 即，所以舍去ABD，选C 故选：C 6．如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，直线平面， ，直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，所以（1）正确； 平面，所以（2）错误； 由于，所以（3）错误. 故选：B. 二、多选题 7．如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于，故四点共面； 对于B,,故四点共面； 对于C,,故四点共面； 对于D,因为平面,平面,不过,所以与异面，所以四点不共面. 故选：ABC. 8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（    ） A． B． C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成角 【答案】ACD 【详解】将正方体的展开图还原，如图， 对于A，连接，显然，则四边形是平行四边形， ，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则，而，因此，B错误； 对于C，平面，平面，，平面， 因此MN与AB是异面直线，C正确； 对于D，由选项B知，，因此BF与CD成角，D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．正方体中，平面与平面的交线是 ． 【答案】 【详解】在正方体中，平面，平面， 且直线，直线，因此直线平面， 同理直线平面，所以平面与平面. 故答案为： 10．如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则， . 【答案】/ 【详解】解：如图所示： 补全四棱锥为三棱柱，作，且， 因为ABCD为平行四边形，所以， 则，且， 所以四边形和四边形都是平行四边形， 因为N为中点，则延长AN必过点E， 所以A，N，E，H，M在同一平面内， 因为，所以， 又因为M是棱上靠近点D的三等分点， 所以，则， 故答案为： 11．已知正四棱锥的所有棱长均为4，点为中点，点在上，，点为中点，则平面截正四棱锥所得的截面周长为 ．    【答案】 【详解】延长与的延长线交于点，连接与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点， 则平面截正四棱锥所得的截面为五边形， 如图所示：    易知，， ， 所以五边形的周长为． 故答案为： 四、解答题 12．画一个正方体，再画出平面与平面的交线，并且说明理由． 【答案】答案见解析 【详解】如图所示：正方体中，所求交线为图中的EF(其中E为AC，BD的交点，F为CD1，C1D的交点).    理由如下： 平面，平面， 平面, ，平面，，平面， 平面， 为平面与平面的交线. 13．如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．    【答案】答案见详解 【详解】∵E，F，分别为AB，BC的中点， ∴，且， ∵G，H分别为CD，AD的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形为平行四边形 ∴E，F，G，H四点共面． 14．如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 15．如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，且且分别为的中点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)四点共面，理由见解析 【详解】（1）由题意知，由已知，可得． 又． 四边形为平行四边形． （2）四点共面．理由如下： 是的中点，， 则四边形为平行四边形,所以 由（Ⅰ）知，所以，故共面． 又点在直线上 所以四点共面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 一、三种语言的相互转换 五、异面直线的判断 二、点线共面问题 六、线面位置的判断 三、线共点问题 七、面面位置的判断 四、点共线问题 知识点1平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 知识点2平面的基本事实 1.基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 重难点一、三种语言的相互转换 【例1】试用集合符号表示命题“若直线l上两点A、B在平面上，则直线l在平面上”，应为 ． 【例2】若一直线a在平面上，则正确的作图是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【变式1-2】画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【变式1-3】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 重难点二、点线共面问题 【例3】若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【变式2-1】如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】直线，，直线l和a、b、c分别交于点A、B、C，求证：a、b、c、l共面． 【变式2-3】如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中. 重难点三、线共点问题 【例5】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【例6】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【变式3-1】在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（    ） A．点必在直线上 B．点必在直线BD上 C．点必在平面内 D．点必在平面外 【变式3-2】如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．    (1)求证：直线、、交于一点； (2)若，求多面体的体积． 【变式3-3】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 重难点四、点共线问题 【例7】如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【例8】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【变式4-1】如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．    【变式4-2】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【变式4-3】平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，则三个交点共线． 知识点3空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b a∥α 相交关系 图示 符号 语言 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 重难点五、异面直线的判断 【例9】已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【例10】如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 【变式5-2】如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【变式5-3】（多选）正方体中，与棱异面的棱有（    ） A． B． C． D． 重难点六、线面位置的判断 【例11】若直线上有一个点不在平面上，则这条直线与该平面的公共点最多有 个． 【例12】已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（多选）下列命题正确的有（    ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【变式6-3】判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l垂直的直线； (2)若直线平面M，则M内不存在与l不垂直的直线； (3)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线； (4)若直线平面M，则M内不存在与l不平行的直线． 重难点七、面面位置的判断 【例13】如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（    ） A．直线与要么相交，要么不相交 B．当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C．直线平面，要么与平行，要么在内 D．平面与要么相交，要么不相交 【例14】在正方体中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①与 ；            ②与 ； ③与平面 ；    ④与平面 ； ⑤平面与平面 ；     ⑥平面与平面 . 【变式7-1】设是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 .①；②是异面直线；③没有公共点；④与没有公共点；⑤. 【变式7-2】（多选）以下四个命题正确的有（  ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”等价于“与相交” C．若直线平面，直线平面，且 ， ，则 D．若四条直线中任意两条共面，则这四条直线共面 【变式7-3】如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，求证：平面与平面相交． 一、单选题 1．若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 3．如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 4．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 5．已知E，F是四面体的棱，的中点，过的平面与棱，分别相交于G，H，则（    ） A．平分， B．平分， C．平分， D．平分， 6．如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 二、多选题 7．如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（    ） A． B． C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成角 三、填空题 9．正方体中，平面与平面的交线是 ． 10．如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则， . 11．已知正四棱锥的所有棱长均为4，点为中点，点在上，，点为中点，则平面截正四棱锥所得的截面周长为 ．    四、解答题 12．画一个正方体，再画出平面与平面的交线，并且说明理由． 13．如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．    14．如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 15．如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，且且分别为的中点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)四点是否共面？为什么？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$