7.4 二项分布与超几何分布（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7．4 二项分布与超几何分布（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）理解二项分布与超几何分布的概念、特点及适用条件． （2）掌握二项分布与超几何分布的概率计算公式． （3）能运用二项分布与超几何分布解决简单的实际问题． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 在本单元学情中，学生已掌握离散型随机变量基础及数字特征，但对二项分布与超几何分布的核心差异理解可能模糊．部分学生易混淆两者的适用条件，如将超几何分布误用于独立重复试验，或忽略总体有限性导致计算偏差．此外，组合数计算及实际问题抽象为概率模型的能力需加强，尤其在超几何分布的参数辨识（如总体容量、次品数）上易出错．教学中需通过对比案例强化概念辨析，设计分层练习提升计算准确率，并结合生活实例促进模型应用能力发展． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：二项分布及其数字特征，超几何分布及其均值 教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布和超几何分布 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：前一单元我们学习了离散型随机变量的有关知识，即在一个确定的试验背景下，求指定的随机变量的分布列，并计算出该随机变量的均值和方差．就像学习一般函数概念后要学习基本初等函数一样，本节我们利用这些概率知识研究两类重要的概率模型——二项分布和超几何分布．二项分布是最常见的分布之一，19世纪以前的概率统计可以说是二项分布的天下．生活中，保险业是最早应用概率知识的领域，在有关调整保费以保证保险公司的业务量和公司利润达到一定要求的问题时，涉及大量二项分布的计算．另外，在人口统计问题中统计出生的男婴和女婴性别比例问题，医学领域某种传染源接触者感染与不感染的比例，某种化验结果阳性与阴性、某种治疗手段有效与无效等问题的统计分析，也都是典型的二项分布问题．学习新的概率模型，我们必须要了解该模型的试验特征，随机变量的含义，概率的计算方法． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．n重伯努利试验 问题1：观察下面试验有什么共同的特点？ （1）投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0．5； （2）某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0．7，现有气球10个； （3）某篮球队员罚球命中率为0．8，罚球6次． 【破解方法】（1）相同条件下的试验：5次、10次、6次； （2）每次试验相互独立； （3）每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生； （4）每次试验发生的概率相同，为，不发生的概率也相同，为． 【归纳新知】 次独立重复试验 （1）定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）特点 ①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 2．二项分布 问题2：连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为，针尖向下的概率为，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 【破解方法】连续掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用表示第次掷得针尖向上的事件，用表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则．由此可得． 问题3：类似地，连续投郑一枚图钉3次，出现次针尖向上的概率是多少？有什么规律？ 【破解方法】用表示事件“第次掷得针尖向上”， 用表示事件“出现次针尖向上”， 规律：． 【归纳新知】 二项分布 定义：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3．二项分布的均值与方差 问题4：若随机变量服从二项分布，那么的均值和方差各是什么？ 【破解方法】当时，服从两点分布，分布列为 X 0 1 P 1－p p ， 二项分布的分布列为 X 0 1 … k … n P … … 则， 由， 可得 ， 同理可得． 【归纳新知】 二项分布的期望、方差 若，则，． 4．超几何分布 问题5：已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列． 【破解方法】若采用有放回抽样时X服从二项分布，即，其分布列为 若采用不放回抽样，“X＝k”，k＝0，1，2，3表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出件，共有种取法，故X的分布列为 【归纳新知】 超几何分布 定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 问题6：如何区分二项分布与超几何分布？ 【破解方法】超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 环节三：例题练习，巩固理解 例1．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： （1）恰好出现5次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在内的概率． 【解析】（1）设“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则， 设表示事件A发生的次数，则． 则恰好出现5次正面朝上即， 所以， 故恰好出现5次正面朝上的概率为． （2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为， 重复抛掷10次正面朝上出现的频率在内，即． 所以． 例2．如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．      【解析】设“向右下落”，“向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以， 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 所以，，，，，， ，，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 例3．从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率． 【解析】X表示选出的5名学生中含甲的人数，X的可能取值为0或1， 则X服从超几何分布，且，，． 因此甲被选中的概率． 例4．一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 【解析】设抽取的10个零件中不合格品数为随机变量，则随机变量服从超几何分布， 且，，， 可得随机变量的分布列为，， 所以 则至少有1件不合格的概率为． 例5．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0．1的概率： 【解析】（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0．4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为： ，，1，2，…，20． ． 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为： ，，1，2，…，20． ． （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0．0001），如下表所示． k k 0 0．00004 0．00001 11 0．07099 0．06376 1 0．00049 0．00015 12 0．03550 0．02667 2 0．00309 0．00135 13 0．01456 0．00867 3 0．01235 0．00714 14 0．00485 0．00217 4 0．03499 0．02551 15 0．00129 0．00041 5 0．07465 0．06530 16 0．00027 0．00006 6 0．12441 0．12422 17 0．00004 0．00001 7 0．16588 0．17972 18 0．00000 0．00000 8 0．17971 0．20078 19 0．00000 0．00000 9 0．15974 0．17483 20 0．00000 0．00000 10 0．11714 0．11924 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得 有放回摸球：． 不放回摸球：． 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近．    例6．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0．6，乙获胜的概率为0．4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？ 【解析】解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 ． 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2．因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 ． 解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则．甲最终获胜的概率为 ． 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则．甲最终获胜的概率为 ． 因为，所以5局3胜制对甲有利．实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利． 环节四：小结提升，形成结构 问题7：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）二项分布与超几何分布的分布列是怎样的？ （2）二项分布的均值与方差是多少？超几何分布的均值是多少？ （3）如何区分二项分布与超几何分布？ 【破解方法】学生尝试独立解决，其他学生进行补充回答，然后师生共同总结． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．甲抛掷均匀硬币2025次，乙抛掷均匀硬币2024次，下列四个随机事件的概率是0．5的是（    ） ①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多． ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少． ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多． ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多． A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 【答案】A 【解析】依题意，甲抛掷均匀硬币2025次，乙拋掷均匀硬币2024次，每次抛掷时出现正面的概率都是0．5，出现反面的概率也都是0．5， 在①中，甲比乙多抛掷一次硬币，设甲乙都抛掷2024次时，正面向上次数相等时的概率为， 甲抛出正面次数多于乙抛出正面次数的概率为，甲抛出正面次数少于乙抛出正面次数的概率为， 则，甲再抛一次，甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多的概率为，①是； 在②中，甲比乙多抛掷一次硬币，设甲乙都抛掷2024次时，甲反面次数与乙正面次数相等时的概率为， 甲抛出反面次数多于乙抛出正面次数的概率为，甲抛出反面次数少于乙抛出正面次数的概率为， 则，甲再抛一次，甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少的概率不大于，②不是； 在③中，甲抛掷均匀硬币2025次，甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多的概率是0．5，③是； 在④中，乙抛掷均匀硬币2024次，乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多的概率为，④不是， 所以四个随机事件的概率是0．5的是①③． 故选：A 2．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对． 故选：C． 3．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D． 4．若随机变量，则（   ） A．1．2 B．2．4 C．4．8 D．9．6 【答案】D 【解析】因为，所以，， 所以， 故选：D． 5．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0．8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【解析】对于A：将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X，是二项分布，A选项错误； 对于B：从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X，是超几何分布，B选项正确； 对于C：某射手的命中率为0．8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X，是两点分布，C选项错误； 对于D：盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数，不是超几何分布，D选项错误． 故选：B． 6．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 7．（多选题）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（ ） A．若是有放回的抽取，则 B．若是无放回的抽取，则 C．若是有放回的抽取，的数学期望 D．若是无放回的抽取，的数学期望 【答案】ACD 【解析】若是有放回的抽取，则， 则， ，故选项A和C正确， 若是无放回的抽取，则可能取，，，， 又，， ，， 所以，故选项B错误，选项D正确， 故选：ACD． 8．（多选题）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（ ） A．X的分布列为 B．X的期望 C． D． 【答案】BD 【解析】对A，由题意随机变量服从超几何分布，即， 所以，故A错误； 对B，根据超几何分布的方差的计算公式：，故B正确； 对C，根据全概率公式，，故C错误； 对D，根据条件概率，可得，故D正确． 故选：BD 9．一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 【答案】3 【解析】设口袋中有白球个（），由已知可得， 取得白球个数的可能取值为0，1，2， ，，，， ，解得，则口袋中白球的个数为3． 故答案为：3 10．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为．下列结论中正确的是 ．①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数的可能取值为，黑球个数Y的可能取值为， 则， ， ， ， 由，可得，，， 故， 所以，故①正确； ， ，所以，故②错误； 抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为，则， 所以，， 所以，，故③④正确． 故答案为：①③④． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第81页习题7．4第1、3、4、6、8题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 在教学过程中，我发现学生对二项分布的理解相对容易，但对超几何分布的理解存在一定困难。因此，在今后的教学中，我将更加注重对超几何分布概念的讲解和例题的解析，帮助学生更好地掌握这一知识点。同时，我也将增加实践活动的比重，让学生在操作中深化对知识点的理解，提高他们的实际应用能力。 14 / 15 京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$