1.3 洛伦兹力（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年高中物理选择性必修第二册（教科版2019）

磁场对电流的作用 第3节　洛伦兹力 第一章 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 物理观念 科学探究 科学态度与责任 　　知道洛伦兹力方向的判断方法以及大小的计算。运用所学知识，能够解释带电粒子在匀强磁场中的运动。 　　探究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期与哪些物理量有关。 　　能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 ⁠ 一、洛伦兹力的方向 1．初识洛伦兹力 (1)定义：________在磁场中受到的磁场力。 (2)应用：①在传统的电视显像管中利用特殊线圈产生的____控制电子偏转、扫描出画面；②使________发生偏转，保护地球。 必备知识 自主学习 运动电荷 磁场 宇宙射线 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 ⁠ 2．洛伦兹力的方向 (1)左手定则：伸出左手，四指并拢，使大拇指和其余四指____，并且都跟手掌在同一平面内，让磁感线垂直穿过手心，四指指向______的运动方向(即电流方向)，则大拇指所指的方向就是______所受洛伦兹力的方向。若在磁场中运动的为带负电荷的粒子，应用左手定则时，四指应指向该粒子运动方向的______。 (2)洛伦兹力方向的特点：F洛⊥B，F洛⊥v，即F洛垂直于____所决定的平面。 必备知识 自主学习 垂直 正电荷 正电荷 反方向 B和v 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 ⁠ 二、洛伦兹力的大小 1．当v与B成θ角时：F洛＝_________。 2．当v⊥B时：F洛＝____。 3．当v∥B时：F洛＝__。 必备知识 自主学习 qvB sin θ qvB 0 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 ⁠ 三、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．运动轨迹 带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时： (1)当v∥B时，带电粒子将做________运动。 (2)当v⊥B时，带电粒子将做________运动。 必备知识 自主学习 匀速直线 匀速圆周 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 ⁠ 2．洛伦兹力的特点 (1)洛伦兹力的方向总与粒子的运动速度方向____。 (2)洛伦兹力对带电粒子不做功，它不改变带电粒子速度的____，只改变粒子的运动方向。 必备知识 自主学习 垂直 大小 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 ⁠ 必备知识 自主学习 匀速圆周 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 1．情境思考 太阳发射出的带电粒子以300～1 000 km/s的速度扫过太阳系，形成了“太阳风”。这种巨大的辐射经过地球时，地球的磁场使这些带电粒子发生偏转，避免了地球上的生命受到带电粒子的辐射。当“太阳风”的带电粒子被地磁场拉向两极时，带电粒子的轨迹为什么呈螺旋形？ 提示：“太阳风”是高速粒子流，垂直射向地球的磁场时，会受到洛伦兹力的作用而发生偏转，绕地球而过；在地球高纬度地方，“太阳风”与地磁场夹角较小，顺着磁场做匀速运动，垂直磁场做圆周运动，从而轨迹呈螺旋形被拉向地球两极。 必备知识 自主学习 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 2．判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)运动的电荷在磁场中受到的力叫洛伦兹力，正电荷所受的洛伦兹力的方向与磁场方向相同，负电荷所受的洛伦兹力的方向与磁场方向相反。(　 　) (2)同一电荷，以相同大小的速度进入磁场，速度方向不同时，洛伦兹力的大小也可能相同。(　 　) (3)若电荷的速度方向与磁场平行，电荷不受洛伦兹力。 (　 　) (4)判断电荷所受洛伦兹力的方向时，要考虑电荷的电性。 (　　 　) 必备知识 自主学习 × √ √ √ 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 ⁠ (5)带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关。(　 　) (6)电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速率越大，周期越大。(　 　) (7)带电粒子进入匀强磁场中一定做匀速圆周运动。(　 　) (8)带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场，若只考虑洛伦兹力，则粒子的加速度不变。 (　 　) 必备知识 自主学习 × √ × × 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 观察阴极射线在磁场中的偏转。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 [问题设计] (1)图甲是阴极射线管的结构示意图，荧光屏的作用是什么？电子运动的方向是怎样的？阴极射线管中电流的方向是怎样的？ (2)图乙是把阴极射线管放入磁场中的情形，电子束偏转方向是怎样的？如果把通有与电子运动方向相同的电流的导线放入该位置，则所受安培力的方向是怎样的？ 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 提示：(1)电子打到荧光屏上发光，光线显示出电子的径迹；电子由阴极向阳极运动；电流方向与电子运动方向相反。 (2)电子向下偏转；通电导线所受安培力方向向上。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 1．判断方法 左手定则：伸出左手，四指并拢，使大拇指与其余四指垂直，并且都跟手掌在同一个平面内，让磁感线垂直穿过手心，四指指向正电荷的运动方向(即电流方向)，则大拇指所指方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 2．决定因素 (1)电荷的电性(正、负)。 (2)速度方向。 (3)磁感应强度的方向。 当电荷的电性确定后，其他两个因素决定洛伦兹力的方向，如果只让其中一个反向，则洛伦兹力必定反向；如果让两个同时反向，则洛伦兹力方向不变。 3．洛伦兹力不做功 由于洛伦兹力始终与电荷的运动方向垂直，故洛伦兹力一定不对电荷做功。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 [特别提醒] (1)在用左手定则判断运动的电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向时，对于正电荷，四指指向电荷的运动方向；但对于负电荷，四指应指向电荷运动的反方向。不要误以为四指总是指向电荷的运动方向。 (2)电荷运动的速度方向和磁场方向不一定垂直，但洛伦兹力一定垂直于磁场方向和速度方向。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 【例1】 a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示。一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向(　　) A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 关键能力 互动探究 B 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 [练1] 三种不同粒子a、b、c从O点沿同一方向射入垂直纸面向里的匀强磁场中，它们的运动轨迹分别如图所示，则(　　) A．粒子a一定带正电 B．粒子b一定带正电 C．粒子c一定带正电 D．粒子b一定带负电 关键能力 互动探究 A 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 如图所示，磁场的磁感应强度为B。在磁场中有一段长度为L的通电导线，横截面积为S，单位体积中含有的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q且定向运动的速率都是v。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 [问题设计] (1)导线中的电流是多少？导线在磁场中所受安培力多大？ (2)长为L的导线中含有的自由电荷数为多少？每个自由电荷所受洛伦兹力多大？ 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 1．推导洛伦兹力公式 设有一段长为L、横截面积为S的直导线，单位体积内的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，自由电荷定向移动的速率为v。这段通电导线垂直磁场方向放入磁感应强度为B的匀强磁场中。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 2．洛伦兹力的大小特点 (1)当v＝0时，F洛＝0，即相对磁场静止的电荷不受洛伦兹力作用。 (2)当v⊥B时，θ＝90°，sin θ＝1，F洛＝qvB，即电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大。 (3)当v∥B时，θ＝0°，sin θ＝0，F洛＝0，即电荷运动方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力。 (4)当电荷速度方向与磁感应强度方向的夹角为θ(0<θ≤90°)时，F洛＝qvB sin θ。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 3．洛伦兹力与安培力的区别和联系 (1)区别 ①洛伦兹力是指单个运动带电粒子所受的磁场力，而安培力是指通电直导线所受到的磁场力。 ②洛伦兹力不做功，而安培力可以做功。 (2)联系 ①安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观解释。 ②大小关系：F安＝NF洛(N是导体中定向运动的电荷数)。 ③方向关系：洛伦兹力与安培力的方向一致，均可用左手定则进行判断。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 4．洛伦兹力与电场力的比较 关键能力 互动探究 项目 洛伦磁力 电场力 性质 磁场对在其中运动的电荷的作用力 电场对放入其中电荷的作用力 产生条件 v≠0且v不与B平行 电场中无论电荷处于何种状态，F电≠0 大小 F电＝qvB(v⊥B) F电＝qE 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 项目 洛伦兹力 电场力 方向 满足左手定则，F洛⊥B、F洛⊥v 正电荷受力方向与电场方向相同，负电荷受力方向与电场方向相反 做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功，也可能不做功 作用效果 只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小 既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 【例2】 如图所示，各图中匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为v，带电荷量均为q。试求出图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向。 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 答案：(1)2 m/s　(2)0.1 N，方向竖直向下　 (3)20.1 N，方向竖直向下 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 给励磁线圈通电，观察电子束的径迹。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 [问题设计] (1)运动的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由谁提供？ (2)保持入射电子的速度不变，增加磁感应强度，电子束径迹有什么变化？ (3)保持磁感应强度不变，增加出射电子的速度，电子束径迹有什么变化？ 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 2．在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法。 (1)圆心的确定方法：两线定一“心” ①圆心一定在垂直于速度的直线上。 如图甲所示，已知入射点P和出射点M的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 ②圆心一定在弦的中垂线上。 如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 (4)圆心角与偏向角、弦切角的关系 ①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧PM对应的圆心角α，即α＝φ，如图丙所示。 ②圆弧PM所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图丙所示。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 【例3】 如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，在直线上一点O沿与直线夹角为30°的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上另一点P，求： (1)粒子做圆周运动的周期； (2)磁感应强度B的大小； (3)若O、P之间的距离为0.1 m，粒子的运动速度大小。 关键能力 互动探究 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 [练3] 如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb；当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc。不计粒子重力，则(　　) A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1 B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2 C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2 关键能力 互动探究 A 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 素养训练 学业评价 C 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 素养训练 学业评价 B 2．如图为说明电视机显像管偏转线圈作用的示意图。当线圈中通过图示方向的电流时，一束沿中心轴线O自纸内射向纸外的电子流将(　　) A．向左偏转 B．向右偏转 C．向上偏转 D．向下偏转 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 素养训练 学业评价 3．(多选)如图所示，①②③④各图中匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为v，电荷量均为q。以f1、f2、f3、f4依次表示四图中带电粒子在磁场中所受洛伦兹力的大小，则(　　) A．f1＝f2 B．f3＝f4 C．f2＝f3 D．f1＝f4 BD 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 4．(2023·海南卷)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是(　　) A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B．小球运动过程中的速度不变 C．小球运动过程中的加速度保持不变 D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功 素养训练 学业评价 A 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 素养训练 学业评价 5．如图所示，—个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中，以垂直于磁场方向的速度v做匀速圆周运动。 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 素养训练 学业评价 (1)画出粒子此时所受洛伦兹力的方向及运动轨迹示意图； (2)推导轨道半径公式； (3)推导运动周期公式。 问题交流 A级 B级 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 解析 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 谢谢观看 返回导航 物理 选择性必修 第二册 J　 3．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 (1)运动特点：沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场的带电粒子，在匀强磁场中做________运动。 (2)半径和周期公式 qvB 探究点一洛伦兹力的方向 解题关键是根据安培定则分析出O点的磁场方向。d、b导线中的电流在O点产生的磁场相互抵消，a、c导线中的电流在O点产生的合磁场方向水平向左，故O点处的磁场方向平行于纸面水平向左。带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，由左手定则可判断出它所受洛伦兹力的方向向下，B正确。 由题图知，粒子a受力向左，据左手定则可知，粒子a带正电，A正确；粒子b未发生偏转，所以不带电，B、D错误；粒子c受力向右，由左手定则知，粒子c带负电，C错误。 探究点二 洛伦兹力的大小 提示：(1)I＝nqvS；F安＝ILB＝nqvSLB。 (2)N＝nSL；F洛＝＝qvB。 (1)根据电流的定义式可知通电导线中的电流 I＝＝＝nqSv。 (2)通电导线所受的安培力F安＝BIL＝BnqSvL。 (3)这段导线内的自由电荷数N＝nSL。 (4)每个电荷所受的洛伦兹力 F洛＝＝＝qvB。 答案：(1)qvB　垂直于v指向左上方 (2)qvB　垂直于纸面向里　(3)不受洛伦兹力　(4)qvB　垂直于v指向左上方 (1)因v⊥B，所以F＝qvB，方向垂直于v指向左上方。 (2)v与B的夹角为30°，将v分解成垂直于磁场的分量和平行于磁场的分量，v⊥＝v sin 30°，F＝qvB sin 30°＝qvB，方向垂直于纸面向里。 (3)由于v与B平行，所以不受洛伦兹力。 (4)v与B垂直，F＝qvB，方向垂直于v指向左上方。 [练2] 如图所示，质量为m＝1 kg、电荷量为q＝5×10－2 C的带正电荷的小滑块，从半径为R＝0.4 m的光滑固定绝缘圆弧轨道上由静止自A端滑下。整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中。已知E＝100 V/m，方向水平向右，B＝1 T，方向垂直纸面向里，g＝10 m/s2。求： (1)滑块到达C点时的速度大小； (2)在C点时滑块所受洛伦兹力； (3)在C点滑块对轨道的压力。 (1)滑块运动过程中洛伦兹力不做功，由动能定理得 mgR－qER＝mv 代入数据解得，滑块到达C点时的速度vC＝2 m/s。 (2)根据洛伦兹力公式得 F洛＝qvCB＝5×10－2×2×1 N＝0.1 N 由左手定则可得，方向竖直向下。 (3)在C点，滑块受到四个力作用，如图所示 由牛顿第二定律与圆周运动知识得FN－mg－qvCB＝m 解得FN＝20.1 N 根据牛顿第三定律可得，在C点滑块对轨道的压力为F＝20.1 N，方向竖直向下。 探究点三 带电粒子在匀强磁场中的运动问题 提示：(1)洛伦兹力。(2)半径减小。(3)半径变大。 1．轨道半径和周期公式的应用 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m。 (2)同一粒子在同一匀强磁场中，由r＝知，r与速度成正比；由T＝知，T与速度无关，与半径大小无关。 (2)求半径 方法①：由公式qvB＝m得半径r＝； 方法②：由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径r。 (3)定时间 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为t＝T(或t＝T)。 答案：(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T　(3)3.49×105 m/s (1)作出粒子轨迹，如图所示，由图可知θ＝2×30°＝60°，则粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角φ＝360°－60°＝300°，由＝＝，得周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。 (2)由于粒子做圆周运动所需的向心力由洛伦兹力提供，得Bqv＝，所以B＝＝ω＝＝ T＝0.314 T。 (3)由几何知识可知，半径R＝OP＝0.1 m 故粒子的速度 v＝＝ m/s＝3.49×105 m/s。 设正六边形边长为L，若粒子从b点离开磁场，可知运动的半径r1＝L，圆心角θ1＝120°；粒子从c点离开磁场，可知运动的半径r2＝2L，圆心角θ2＝60°。根据r＝可得vb∶vc＝r1∶r2＝1∶2；根据t＝T及T＝可知tb∶tc＝θ1∶θ2＝2∶1，A正确。 1．关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法中正确的是(　　) A．带电粒子沿着磁感线方向射入，洛伦兹力对带电粒子做正功 B．带电粒子逆着磁感线方向射入，洛伦兹力对带电粒子做负功 C．带电粒子垂直于磁感线方向射入，洛伦兹力对带电粒子不做功 D．带电粒子垂直于磁感线方向射入，洛伦兹力对带电粒子做功的情况与电荷的正负有关 不管带电粒子沿什么方向进入磁场，如果粒子受到洛伦兹力，洛伦兹力方向总是跟速度方向垂直，洛伦兹力不做功，C正确。 由题图知该线圈可等效为两个通电螺线管，由安培定则可判断，线圈下端为N极，因此O点磁场方向向上，然后由左手定则可判断电子流向右偏转，B正确。 ①③④三图中速度v与磁感应强度B方向垂直，洛伦兹力f1＝f3＝f4＝qvB；②图中速度v与磁感应强度B的夹角为θ＝60°，洛伦兹力f2＝qvB sin 60°＝qvB，B、D正确。 根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；小球受洛伦兹力和重力的作用，且合力不为零，则小球运动过程中速度变化，B错误；小球受到的重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度会时刻变化，C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。 答案：(1) 见解析图　(2)r＝　(3)T＝ (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力与运动轨迹如图所示。 (2)带电粒子运动过程中所受洛伦兹力F洛＝qvB 洛伦兹力充当向心力，有F洛＝m 解得轨道半径r＝。 (3)带电粒子运动周期T＝＝。 $$