精品解析：北京市第一零一中学2024-—2025学年上学期期中考试八年级数学试题

北京一零一中2024－2025学年度第一学期期中练习 初二数学 一、选择题：本大题共8小题，共24分． 1. 巴黎奥运会项目的每个图标都融合了对称美学与运动元素，将运动项目描绘成独一无二的徽章．下列巴黎奥运会体育项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．此题可根据“如果一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项A不符合题意； B、是轴对称图形，故选项B符合题意； C、不轴对称图形，故选项C不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法和乘法等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法和乘法依次判断即可得． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出答案． 【详解】解：，所以这个正多边形是正十边形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根据多边形的外角和求多边形的边数，熟练掌握多边形的外角和为度是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. （-4x）·（2x2+3x-1）=-8x3-12x2-4x B. （x+y）（x2+y2）=x3+y3 C. （-4a-1）（4a-1）=1-16a2 D. （x-2y）2=x2-2xy+4y2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：多项式的乘法公式为：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，则A：原式=；B：原式=；C正确；D：原式=． 考点：多项式的乘法计算 6. 设a，b是实数，定义*的一种运算如下：，则下列结论错误的是（ ） A. ，则 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新运算， 根据新定义结合完全公式性质逐项判断即可. 【详解】解：因为，则，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确. 故选：C. 7. 如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，，，线段分别与和相交于点F，G，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正五边形性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，根据正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ， ， ，故①正确； ∵，， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选： D． 8. 如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念．先利用轴对称作出点关于直线的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，作直线， ∴，，， ∴ 过点作，垂足为点， 则当点、、，共线，与重合时，的值最小，等于， ∴， ∴的最小值为3 故选：A． 二、填空题：本大题共8小题，共24分． 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 如图，BE与CD交于点A,且∠C ＝∠D.添加一个条件：____________________，使得△ABC ≌△AED . 【答案】AC＝AD 【解析】 【分析】根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定△ABC ≌△AED． 【详解】∵∠C ＝∠D，∠BAC=∠EAD， ∴当AC=AD时，依据ASA可得，△ABC≌△AED． 故答案为：AC=AD（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 11. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为_________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论这个的角是顶角还是底角． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为； 若的角是底角，则顶角是， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 12. 如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，，则的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式和整体代入的方法解答即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：5． 14. 如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则__________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键．先得出垂直平分，垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，点P在的平分线上，且，点P横坐标为5，则点B的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线性质，矩形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 连接，过点P作轴交于点C，轴交于点D，根据矩形的性质得出和，根据角平分线的性质，进一步得到，再证，得到，即可求得答案． 【详解】解：连接，过点P作轴交于点C，轴交于点D， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点P横坐标为5，点A坐标为， ∴，， ∵点P是的平分线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中 ∴， ∴． ， ∵点B在y轴的正半轴上， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线基本性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，综合程度较大，能够处理好各个角度之间的关系是解题关键． 设与的交点为点，先证得为的垂直平分线，再通过角度的换算和线段的等量关系换算可得到是等边三角形，故③正确；得到，又，可得到，故②错误；在上取P点，使得，证得，再通过线段的等量关系可知①正确；，，可得到，进而，从而故④正确． 【详解】解：设与的交点为点， ∵，， ∴，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图，在上取P点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴故④正确， 故答案为： ①③④． 三、解答题：本题共52分，第17题4分，第18、23每题5分，第19、20、21题每题4分，第22、24每题6分，第25、26题每题7分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键； 先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式及多项式混合运算的运算法则是解题的关键； 先根据整式的乘法计算括号内的，再根据整式的除法计算，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式, , , ， 当，时，原式 19. 如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由三角形外角的性质得到．由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形的外角性质求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ∴． 20. 如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF，求证：∠C＝∠F． 【答案】见解析 【解析】 分析】欲证明∠C＝∠F只要证明△ABC≌△DEF即可． 【详解】证明：∵AC∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵AE＝DB， ∴AE＋BE＝DB＋BE， ∴AB＝DE， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠C＝∠F． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 21. 一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． （1）该包装箱的体积为 　　立方米． （2）若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 【答案】（1） （2）共需喷上平方米的油漆 【解析】 【分析】本题考查了几何体的表面积，关键是掌握几何体的表面积公式． （1）根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据长方体的表面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵长方体的长为米，宽为米，高为米， ∴该长方体的体积为立方米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：长方体的表面积为： 平方米， 答：共需喷上平方米的油漆． 22. 数学课堂中，老师带领同学们探究满足什么条件的三角形可以分割成两个等腰三角形． 探究一：小云发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小云设计的尺规作图过程． 作法：如图． ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D； ②作直线． 所以直线即为所求作的直线． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上． ∴．（______________）（填推理的依据） ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴___________， ∴和都是等腰三角形． 探究二：小红发现在中，，存在过点C的直线将分割成两个等腰三角形，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】探究一：（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；探究二：． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），分别以点B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，再作直线； 对于（2），先根据线段垂直平分线的性质定理得，再根据“等边对等角”得，然后根据“等角的余角相等”得，最后根据“等角对等边”得出答案； 对于（3），分五种情况根据等腰三角形的性质可得答案. 【详解】解：（1）如图所示； （2）证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴（线段垂直平分线的性质定理）， ∴. ∵， ∴，， ∴， ∴, ∴和都是等腰三角形. 故答案为：线段垂直平分线的性质定理，； （3） 当时是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴； 当时是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； 当时是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴； 当时是等腰三角形， ∴， ∴, ∴； 当时是等腰三角形， ∴， ∴, ∴. 故答案为： 23. 规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“K变换”．已知，，． （1）画出经过1次“K变换”后的图形；写出点坐标为_____； （2）若边上有一点，记点经过2次“K变换”后的点为，则的坐标为_____．（用含有m，n的式子表示）． 【答案】（1）画图详见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中的平移和对称，熟练掌握平移的定义和对称的性质是解题的关键． （1）根据“K变换”的过程作图即可求解； （2）根据“K变换”的过程，结合直角坐标系即可得出结论． 【小问1详解】 如图所示，． 【小问2详解】 根据“K变换”的过程： 边上有一点，经过1次“K变换”后的坐标为， 经过2次“K变换”后， 故答案为：． 24. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 根据材料，回答问题． 问题1：若用4个类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________． ①；②；③；④；⑤． 问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形．我们将这样的长方形称为“类长方形”． （1）利用1个类，3个类，2个类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由． （2）若取3个类图形，个类图形，2个类图形拼出一个“类长方形”，则的值为________．（直接写出结果） 【答案】问题1：①③④⑤问题2：（1）能，画图见详解，，（答案不唯一）（2）5或7 【解析】 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 问题1：根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合面积加减计算逐个判断即可； 问题2：（1）根据整式得到2个大正方形、1个小正方形、3个长方形，然后画出图形即可解答； （2）根据因式分解平方项凑长方形的长宽，进而求解即可解答． 【详解】解：问题1：由图形可得，、，故①正确， ，故②错误； 由图形可得，，故③正确； 、， ，故④正确； ，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 问题2：（1）根据题意，图形如下， 此长方形面积为：； （2）由题意可得， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：5或7． 25. 已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接． （1）如图1，若点F与点C重合，则线段的长为； （2）如图2，若F在线段延长线上， ①依题意补全图形； ②探究线段与之间的数量关系，并给出证明． （3）当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长． 【答案】（1）2； （2）①见解析；②，证明见解析； （3）如图所示；． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. （1）由可证，即可得到解题； （2）①根据题目文字语言画图即可； ②由可证，可得，，得到是等边三角形，即可得到，解题即可； （3）由（2）可知，则点在过点平行于的直线上运动，由垂线段最短可得当 时，有最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图， ②， 理由如下： 在上截取， 连接， 设与交点为， ∵和是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴点在过点平行于的直线上运动， ∴当时，有最小值，如图， ， ， ， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，将过轴上的点，且平行于轴的直线，记作直线．对于图形和，若存在直线，使得图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的一阶包含图形．若存在直线与直线且，图形关于直线的对称图形记为图形，图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的二阶，包含图形，记为图形关于图形的包含轴距． 已知，，，， （1）若， ①是线段的一阶包含图形，则______； ②是线段的一阶包含图形，则的取值范围是______； （2）若点为四边形的二阶，1包含图形，则的取值范围是______； （3）当时，若，，是四边形的二阶，包含图形，则的最大值与最小值的差是______． 【答案】（1）①，② （2） （3）2 【解析】 【分析】(1)①根据定义，利用中点坐标公式即可得解；②满足关于直线对称点落在对角线上即可； (2)先算出点关于直线，直线的二阶对称点，要使点为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可得解； (3)先分别识别出四边形为正方形，是等腰直角三角形，要使是四边形的二阶包含图形，则需要满足关于直线，直线两次对称后，落在四边形内即可，讨论和的横坐标即可得解． 【小问1详解】 解：①关于直线的对称点在线段上， ， 故答案为：； ②关于直线对称点在线段上，且关于直线的对称点为， ，解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题可知关于直线对称点，关于直线对称点，要使点为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可， ，， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，，， ，， ，，中点为即，中点为即， 与互相平分， 四边形为正方形， 是四边形的二阶包含图形， 关于直线，直线两次对称后，落在四边形内即可， 讨论和的横坐标即可， 点关于直线对称点为，关于直线对称点为，点关于直线对称点为，关于直线对称点为， 当线段落在线段上时满足题意， 如图， 当与重合时，，此时，当与重合时，，此时， ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形，新定义，轴对称，中点坐标，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，正确理解题意和利用中点坐标公式求出一次对称点或者两次对称点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京一零一中2024－2025学年度第一学期期中练习 初二数学 一、选择题：本大题共8小题，共24分． 1. 巴黎奥运会项目每个图标都融合了对称美学与运动元素，将运动项目描绘成独一无二的徽章．下列巴黎奥运会体育项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 5. 下列计算正确的是（ ） A. （-4x）·（2x2+3x-1）=-8x3-12x2-4x B. （x+y）（x2+y2）=x3+y3 C. （-4a-1）（4a-1）=1-16a2 D. （x-2y）2=x2-2xy+4y2 6. 设a，b是实数，定义*的一种运算如下：，则下列结论错误的是（ ） A ，则 B. C. D. 7. 如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，，，线段分别与和相交于点F，G，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题：本大题共8小题，共24分． 9 计算：_____． 10. 如图，BE与CD交于点A,且∠C ＝∠D.添加一个条件：____________________，使得△ABC ≌△AED . 11. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为_________ ． 12. 如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则的度数为______． 13. 已知，，则的值为__________． 14. 如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则__________． 15. 如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，点P在的平分线上，且，点P横坐标为5，则点B的坐标为_____． 16. 如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是__________．（填序号） 三、解答题：本题共52分，第17题4分，第18、23每题5分，第19、20、21题每题4分，第22、24每题6分，第25、26题每题7分． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 20. 如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF，求证：∠C＝∠F． 21. 一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． （1）该包装箱的体积为 　　立方米． （2）若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 22. 数学课堂中，老师带领同学们探究满足什么条件的三角形可以分割成两个等腰三角形． 探究一：小云发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小云设计的尺规作图过程． 作法：如图． ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D； ②作直线． 所以直线即为所求作的直线． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上． ∴．（______________）（填推理的依据） ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴___________， ∴和都是等腰三角形． 探究二：小红发现在中，，存在过点C的直线将分割成两个等腰三角形，请直接写出满足条件的的度数． 23. 规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“K变换”．已知，，． （1）画出经过1次“K变换”后的图形；写出点坐标为_____； （2）若边上有一点，记点经过2次“K变换”后的点为，则的坐标为_____．（用含有m，n的式子表示）． 24. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 根据材料，回答问题． 问题1：若用4个类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________． ①；②；③；④；⑤． 问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形．我们将这样的长方形称为“类长方形”． （1）利用1个类，3个类，2个类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由． （2）若取3个类图形，个类图形，2个类图形拼出一个“类长方形”，则的值为________．（直接写出结果） 25. 已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接． （1）如图1，若点F与点C重合，则线段的长为； （2）如图2，若F在线段延长线上， ①依题意补全图形； ②探究线段与之间的数量关系，并给出证明． （3）当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长． 26. 在平面直角坐标系中，将过轴上点，且平行于轴的直线，记作直线．对于图形和，若存在直线，使得图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的一阶包含图形．若存在直线与直线且，图形关于直线的对称图形记为图形，图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的二阶，包含图形，记为图形关于图形的包含轴距． 已知，，，， （1）若， ①是线段的一阶包含图形，则______； ②是线段的一阶包含图形，则的取值范围是______； （2）若点为四边形的二阶，1包含图形，则的取值范围是______； （3）当时，若，，是四边形的二阶，包含图形，则的最大值与最小值的差是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$