课时61 随机事件与概率-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关６１　随机事件与概率 对应学生用书　P３２１ [基础巩固练] 一、单选题 １．抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷２０２５ 次,那么第２０２４次出现正面朝上的概率是(　　) A． １２０２４ B． １ ２０２５ C． ２０２４ ２０２５ D． １ ２ 解析:D　[由概率的性质得无论实验多少次,概 率始终不变,故第２０２４次出现正面朝上的概率 是１ ２ ,故 D正确．] ２．袋中装有红球３个、白球２个、黑球１个,从中任取 ２个,则互斥而不对立的两个事件是 (　　) A．至少有一个白球;都是白球 B．至少有一个白球;至少有一个红球 C．至少有一个白球;红、黑球各一个 D．恰有一个白球;一个白球一个黑球 解析:C　[对于 A,至少有一个白球和都是白球 的两个事件能同时发生,不是互斥事件,A 不 是;对于B,至少有一个白球和至少有一个红球 的两个事件能同时发生,不是互斥事 件,B 不 是;对于C,至少有一个白球和红、黑球各一个 的两个事件不能同时发生但能同时不发生,是 互斥而不对立的两个事件,C是;对于D,恰有一 个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时 发生,不是互斥事件,D不是．] ３．甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体,他们分别 在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站 A 查到共有 ８４０ 人参与评价,其中好评率为 ９５％,乙在网站B 查到共有１２６０人参与评价, 其中好评率为８５％．综合考虑这两个网站的信 息,则这家健身房的总好评率为 (　　) A．８８％ B．８９％ C．９１％ D．９２％ 解析:B　[由已知可得这家健身房的总好评率 为８４０×９５％＋１２６０×８５％ ８４０＋１２６０ ＝８９％． ] ４．(２０２５􀅰太原模拟)已知随机事件A 和B 互斥,且 P(A∪B)＝０．７,P(B)＝０．２,则P(A)＝ (　　) A．０．５ B．０．１ C．０．７ D．０．８ 解析:A　[∵随机事件A 和B 互斥,且P(A∪ B)＝０．７,P(B)＝０．２,∴P(A)＝P(A∪B)－ P(B)＝０．７－０．２＝０．５,∴P(A)＝１－P(A)＝ １－０．５＝０．５．] ５．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇, 并称为“江南六大古镇”,是中国江南水乡风貌 最具代表的城镇,它们以其深邃的历史文化底 蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语 民俗风情,在世界上独树一帜,驰名中外,这六 大古镇中,其中在苏州境内的有３处．某家庭计 划今年暑假从这６个古镇中挑选２个去旅游, 则至少选一个苏州古镇的概率为 (　　) A．２５ B． １ ２ C． ４ ５ D． ３ ５ 解析:C　[从这６个古镇中挑选２个去旅游的 可能情况有C２６＝１５种情况,至少选一个苏州古 镇的概率为P＝１－ C２３ １５＝ ４ ５． ] ６．(２０２５􀅰嘉兴模拟)已知正九边形A１A２􀆺A９,从 A１A２ →,A２A３ →,􀆺,A９A１ → 中任取两个向量,则它们 的数量积是正数的概率为 (　　) A．１２ B． ２ ３ C． ４ ９ D． ５ ９ 解析:A　[可以和向量A１A２ → 构成 数 量 积 的 向 量 有A２A３ →, 􀆺,A９A１ →,共８个,其中数量积 为正数的向量有A２A３ →,A３A４ →, A８A９ →,A９A１ →,共４个,由对称性可知,任取两个向 量,它们的数量积是正数的概率为４ ８＝ １ ２． ] ７．天上有三颗星星,地上有四个孩子．每个孩子向 一颗星星许愿,如果一颗星星只收到一个孩子 的愿望,那么该愿望成真,若一颗星星收到至少 两个孩子的愿望,那么向这颗星星许愿的所有 孩子的愿望都无法成真,则至少有两个孩子愿 望成真的概率是 (　　) A．１９ B． ２ ９ C． ４ ９ D． ２ ３ 解析:C　[四个孩子向三颗星星许愿,一共有３４ ＝８１种可能的许愿方式． 由于四个人选三颗星星,那么至少有一颗星星 被两个人选,这两个人愿望无法实现,至多只能 实现两个人的愿望, 所以至少有两个孩子愿望成真,只能是有两颗 星星各有一个人选,一颗星星有两个人选, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７４􀅰 高考总复习　数学 A版 可以先从四个孩子中选出两个孩子,让他们共 同选一颗星星,其余两个人再选另外两颗星, 有C２４C１３A２２＝３６种情况, 所以所求概率为P＝３６８１＝ ４ ９． ] 二、多选题 ８．某饮料厂商开发了一种新的饮料,为了促销,每 箱装的６瓶饮料中有２瓶瓶盖上分别印有“一 等奖”“二等奖”,其余４瓶印有“谢谢惠顾”．甲 从新开的一箱中任选２瓶购买,设事件A 表示 “甲没有中奖”,事件B 表示“甲获得一等奖”,事 件C表示“甲中奖”,则 (　　) A．事件A 和事件B 是对立事件 B．事件A 和事件C 是对立事件 C．P(B∪C)＝P(C) D．P(BC)＝P(C) 解析:BC　[因为A∪B 表示“甲没有中奖或甲 获得一等奖”,但甲可能获得二等奖,即事件 A 和事件B 不是对立事件,故 A 错误;事件 A 表 示“甲没有中奖”,事件C 表示“甲中奖”,则事件 A 和事件C 是互斥事件且和事件为必然事件, 则事件 A 和事件C 是对立事件,故 B正确;又 因为B⊆C,所以P(B∪C)＝P(C),故 C正确; P(BC)＝P(B),故 D错误．] ９．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、 生物、技术７门学科中任选３门．若甲同学必选 物理,则下列说法正确的是 (　　) A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是 对立事件 B．甲同学不同的选法共有１５种 C．已知乙同学选了物理,则乙同学选技术的概 率是１ ６ D．乙、丙两名同学都选物理的概率是９４９ 解析:BD　[甲、乙、丙三人至少一人选化学与全 不选化学是对立事件,故A错误; 由于甲同学必选物理,故只需从剩下的６门学科中 任选２门即可,则甲同学不同的选法共有C２６＝１５ 种,故B正确;由于乙同学选了物理,则乙同学选技 术的概率是 C１５ C２６ ＝１３ ,故C错误;乙、丙两名同学各 自选物理的概率均为 C２６ C３７ ＝３７ ,故乙、丙 两 名 同 学 都选物理的概率是３ ７× ３ ７＝ ９ ４９ ,D正确．] 三、填空题 １０．事件A,B 互斥,它们都不发生的概率为２５ ,且 P(A)＝２P(B),则P(􀭿A)＝　　　　． 解析:因为事件A,B 都不发生的概率为２５ , 所以P(A∪B)＝１－２５＝ ３ ５ ,又因为事件A,B 互斥, 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝３５ , 因为P(A)＝２P(B),所以P(A)＝２５ , 所以P(􀭿A)＝１－２５＝ ３ ５． 答案:３ ５ １１．大学生小明与另外３名大学生一起分配到某 乡镇甲、乙、丙３个村小学进行支教,若每个村 小学至少分配１名大学生,则小明恰好分配到 甲村小学的概率为　　　　． 解析:依题意,小明与另外３名大学生分配到 某乡镇甲、乙、丙３个村小学的分配方法是１ 个学校２人,另外２个学校各１人,共有C２４A３３＝ ３６(种)分配方法,若小明恰好分配到甲村小学,有 C２３A２２＋C１３A２２＝１２(种)分配方法,根据古典概型的 概率计算公式得所求的概率为１２ ３６＝ １ ３． 答案:１ ３ 四、解答题 １２．某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了３名男生、２名女生,B 中学推荐了 ３名男生、４名女生,两校所推荐的学生一起参 加集训．由于集训后队员水平相当,从参加集 训的男生中随机抽取３人、女生中随机抽取３ 人组成代表队． (１)求A 中学至少有１名学生入选代表队的 概率; (２)某场比赛前,从代表队的６名队员中随机抽 取４人参赛,求参赛女生人数不少于２人的概率． 解:(１)由题意,参加集训的男生、女生各有６名． 参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有 学生入选代表队)的概率为C ３ ３C３４ C３６C３６ ＝ １１００ , 因此,A 中学至少有１名学生入选代表队的概 率为１－ １１００＝ ９９ １００． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７４􀅰 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 (２)设“参赛的４人中女生不少于２人”为事件 A,“参赛女生有２人”为事件B,“参赛女生有３ 人”为事件C． 则P(B)＝ C２３C２３ C４６ ＝３５ ,P(C)＝ C３３C１３ C４６ ＝１５． 由互斥事件的概率加法公式,得 P(A)＝P(B)＋P(C)＝３５＋ １ ５＝ ４ ５ , 故所求事件的概率为４ ５． １３．为了使全体党员进一步坚定理想信念,传承红 色基因,市教育局以“学党史、悟思想、办实事、 开新局”为主题进行“党史”教育,并举办由全 体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设 １００个小题,每个小题１分,共１００分．现随机 抽取１０００名党员的成绩进行统计,并将成绩 分成以下七组:[７２,７６),[７６,８０),[８０,８４), [８４,８８),[８８,９２),[９２,９６),[９６,１００],并绘制 成如图所示的频率分布直方图． (１)根据频率分布直方图,求这１０００名党员成 绩的众数、中位数; (２)用分层随机抽样的方法从低于８０分的党 员中抽取５人,若在这５人中任选２人进行问 卷调查,求这２人中至少有１人成绩低于７６ 分的概率． 解:(１)由频率分布直方图可得,１０００名党员 成绩的众数为８４＋８８ ２ ＝８６ (分), 成绩在[７２,８４)的频率为 (０．０２＋０．０３＋０．０３７５)×４＝０．３５, 成绩在[７２,８８)的频率为 (０．０２＋０．０３＋０．０３７５＋０．０７５)×４＝０．６５, 故中位数位于[８４,８８)之间, 中位数是８４＋４×０．５－０．３５０．６５－０．３５＝８６ (分)． (２)∵[７２,７６)与[７６,８０)的党员人数的比值为 ２∶３, 采用分层随机抽样方法抽取５人,则在[７２,７６)中 抽取２人,[７６,８０)中抽３人, 设[７２,７６)抽取人的编号为A１,A２,[７６,８０)抽 取人的编号为B１,B２,B３, 则从５人中任选２人进行问卷调查对应的样 本点 为 (A１,B１),(A１,B２),(A１,B３),(A２, B１),(A２,B２),(A２,B３),(A１,A２),(B１,B２), (B１,B３),(B２,B３),共１０个, 这２人中至少有１人成绩低于７６分的有(A１, B１),(A１,B２),(A１,B３),(A２,B１),(A２,B２), (A２,B３),(A１,A２),共７个样本点,故这２人 中至少有１人成绩低于７６分的概率P＝７１０． [能力提升练] １４．整数集就像一片浩瀚无边的海洋,充满了无尽 的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现２２０和２８４ 具有如下性质:２２０的所有真因数(不包括本身的 因数)之和恰好等于２８４,同时２８４的所有真因数 之和也等于２２０,他把具有这种性质的两个整数 叫做一对“亲和数”,“亲和数”的发现掀起了无数 数学爱好者的研究热潮．已知２２０和２８４,１１８４和 １２１０,２９２４和２６２０是３对“亲和数”,把这六个 数随机分成两组,一组２个数,另一组４个数,则 ２２０和２８４在同一组的概率为 (　　) A．１１５ B． ２ ５ C． ７ １５ D． １ ５ 解析:C　[由题意可得一共有C２６ 种分组方法,若 要满足２２０和２８４在同一组,则分两种情况讨论: ①２２０和２８４在２个数这一组中,有C２２ 种分组方 法,②２２０和２８４在４个数这一组中,有C２４ 种分组 方法．故所求概率P＝ C２２＋C２４ C２６ ＝７１５． ] １５．(２０２５􀅰长沙模拟)已知集合B,C 是集合A 的 真子集且B∩C＝⌀,如果∀a∈A,∃b∈B,c ∈C,使得a＝λb＋μc,其中λ,μ∈{０,１},则称 B,C 是集合A 的一组有序基底集,记为(B, C)．已知A＝{１,２,３,４},且(B,C)为A 的一组 有序基底集,则集合B 中的元素之和小于４的 概率为　　　　． 解析:由题意,满足集合A＝{１,２,３,４}的基底 集可以为: ({１,２,３},{４}),({１,２,４},{３}),({１,３,４},{２}), ({２,３,４},{１}),({１,２},{３,４}),({１,３},{２,４}), ({１,４},{２,３}),({１},{２,３}),({１},{２,４}), ({１,２},{３}),({１,４},{２}),共有１１组; 再把每组中的两个集合调换 位 置,此 时 也 是 １１组, 综上可得,共计２２组,其中满足集合B 中元素 之和小于４的有９组,所以概率为９２２． 答案:９ ２２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７４􀅰 高考总复习　数学 A版