2.6 指数与指数函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§２．６　指数与指数函数 ★[考试要求] １．理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质．２．通过实例,了解指数函数的实 际意义,会画指数函数的图象．３．理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用． 　　　　　　　　学生用书　P２８ １．根式 (１)如果xn＝a,那么x 叫做a的n次方根,其中n＞１, 且n∈N∗ ． (２)式子na叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开 方数． (３)( n a)n＝a． 当n为奇数时, n an＝a; 当n为偶数时, n an＝|a|＝ a,a≥０, －a,a＜０．{ ２．分数指数幂 正数的 正 分 数 指 数 幂,a m n ＝ n am (a＞０,m,n∈ N∗,n＞１)． 正数的负分数指数幂,a－ m n ＝ １ a m n ＝ １n am (a＞０,m, n∈N∗ ,n＞１)． ０的正分数指数幂等于０,０的负分数指数幂没有 意义． ３．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s;(ar)s＝ars;(ab)r＝arbr(a＞０,b＞０,r,s ∈R)． ４．指数函数及其性质 (１)概念:函数y＝ax(a＞０,且a≠１)叫做指数函数, 其中指数x 是自变量,函数的定义域是 R,a 是 底数． (２)指数函数的图象与性质 a＞１ ０＜a＜１ 图象 定义域 R 值域 (０,＋∞) 性质 过定点(０,１),即x＝０时,y＝１ 当x＞０时,y＞１; 当x＜０时,０＜y＜１ 当x＜０时,y＞１; 当x＞０时,０＜y＜１ 在(－∞,＋∞)上是增函数 在(－∞,＋∞)上是减函数 １．指数函数的图象恒过点(０,１),(１,a), －１,１a æ è ç ö ø ÷, 依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． ２．函数y＝ax 与y＝ １a æ è ç ö ø ÷ x (a＞０,且a≠１)的图象关 于y轴对称． ３．底数a与１的大小关系决定了指数函数图象的“升 降”:当 a＞１ 时,指 数 函 数 的 图 象 “上 升 ”; 当０＜a＜１时,指数函数的图象“下降”． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)函数y＝－ax 是指数函数． (×) (２)指数函数y＝ax 与y＝a－x(a＞０,且a≠１)的图象 关于y轴对称． (√) (３)若am＜an(a＞０,且a≠１),则m＜n． (×) (４)函数y＝ax＋２过定点(０,２)． (×) ２．化简[(－２)６] １ ２ －(－１)０ 的结果为 (　　) A．－９　　　 B．７　　　 C．－１０　　　 D．９ 解析:B　[[(－２)６] １ ２ －(－１)０＝(２６) １ ２ －１＝７．] ３．设函数f(x)＝a－|x|(a＞０,且a≠１),f(２)＝４,则 (　　) A．f(－２)＞f(－１) B．f(－１)＞f(－２) C．f(１)＞f(２) D．f(－２)＞f(２) 解析:A　[由a－２＝４,a＞０,得a＝１２ , ∴f(x)＝ １２ æ è ç ö ø ÷ －|x| ＝２|x|． 又∵|－２|＞|－１|,∴２|－２|＞２|－１|, 即f(－２)＞f(－１)．] ４．若函数f(x)＝ax(a＞０,且a≠１)的图象经过点 P ２,１２ æ è ç ö ø ÷,则f(－１)＝　　　　． 解析:由题意知１ ２＝a ２,所以a＝ ２２ , 所以f(x)＝ ２２ æ è ç ö ø ÷ x ,所以f(－１)＝ ２２ æ è ç ö ø ÷ －１ ＝ ２． 答案:２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 高考总复习　数学 A版 　　　　　　　　学生用书　P２９ 　　　指数幂的运算 [例１]　[多选]下列运算正确的是 (　　) A．(０．２５) １ ２ ＋( ５ π)０－２－１＝０ B．２７８ æ è ç ö ø ÷ －２３ － ４９９ æ è ç ö ø ÷ ０．５ ＋(０．００８)－ ２ ３ ×１２５＋ (π－１)０ ＝１９ C．(２ ３ a２􀅰b)(－６ a􀅰 ３ b)÷(－３ ６ a􀅰 ６ b５)＝１ D．若x １ ２ ＋x－ １ ２ ＝ ６,则 x＋x －１ x２＋x－２－２ ＝１３． [解析]　对于 A,(０．２５) １ ２ ＋( ５ π)０－２－１＝０．５＋１ －１２＝１ ,A 错误; 对于B,２７８ æ è ç ö ø ÷ －２３ － ４９９ æ è ç ö ø ÷ ０．５ ＋(０．００８)－ ２ ３ ×１２５＋ (π －１)０＝ ３２ æ è ç ö ø ÷ －２ －７３＋ １ ５ æ è ç ö ø ÷ －２ ×１２５＋１＝ ４ ９－ ７ ３＋ ２５×１２５＋１＝ ４ ９－ ７ ３＋２＝ １ ９ ,B正确; 对于 C,原式＝ ２a ２ ３b １ ２( ) －６a １ ２b １ ３( ) ÷ －３a １ ６b ５ ６( ) ＝ [２×(－６)÷(－３)]a ２ ３＋ １ ２－ １ ６ 􀅰b １ ２＋ １ ３－ ５ ６ ＝４ab０＝４a,C 错误; 对于 D,当x １ ２ ＋x－ １ ２ ＝ ６时,x １ ２ ＋x－ １ ２( )２＝x＋２ ＋x－１＝６,得x＋x－１＝４, 由(x＋x－１)２＝x２＋２＋x－２＝１６,得x２＋x－２＝１４, 所以 x＋x －１ x２＋x－２－２ ＝ ４１４－２＝ １ ３ ,D正确． [答案]　BD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 指数幂运算的一般原则 (１)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数 运算． (２)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数． (３)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成 分数,底数是带分数,先化成假分数． (４)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形 式表示,运用指数幂的运算性质来解答． (５)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不 能既有分母又含有负指数,形式力求统一． [多选]下列计算正确的是 (　　) A． １２(－３)４＝ ３ －３ B．a ２ ３b １ ２( ) －３a １ ２b １ ３( )÷ １３a １ ６b ５ ６æ è ç ö ø ÷＝－９a(a＞０,b＞０) C． ３ ９＝ ３ ３ D．已知x２＋x－２＝２,则x＋x－１＝２ 解析:BC　[对于 A, １２(－３)４＝ １２ ３４＝３ ４ １２＝３ １ ３ ＝ ３ ３ ≠ ３ －３,所以 A 错误; 对 于 B, a ２ ３b １ ２( ) －３a １ ２b １ ３( ) ÷ １３a １ ６b ５ ６æ è ç ö ø ÷ ＝ － ９a ２ ３＋ １ ２－ １ ６ 􀅰b １ ２＋ １ ３－ ５ ６ ＝－９a(a＞０,b＞０),所以B正确; 对于C, ３ ９＝ ９ １ ３ ＝９ １ ６ ＝３ １ ３ ＝ ３ ３,所以C正确; 对于 D,因为(x＋x－１)２＝x２＋２＋x－２＝４, 所以x＋x－１＝±２,D错误．] 　　　指数函数的图象及应用 [例２]　(１)[多选]下列选项正确的是 (　　) A．函数f(x)＝(２a２－３a＋２)􀅰ax 是指数函数,则 a＝１２ B．函数f(x)＝ax 的值域为R C．函数f(x)＝ax＋１的图象可以由f(x)＝ax 向右 平移一个单位得到 D．函数y＝a２x＋３－１恒过定点 －３２ ,０æ è ç ö ø ÷ [解析]　对于 A,２a２－３a＋２＝１且a＞０,a≠１,a ＝１２ ,A 正确; 对于B,不论０＜a＜１,还是a＞１,值域都为R,B正确; 对于C,f(x)＝ax 向左平移一个单位得到f(x)＝ ax＋１,C错误; 对于 D,令２x＋３＝０,则x＝－３２ ,y＝０,所以函数 y＝a２x＋３－１恒过定点 －３２ ,０æ è ç ö ø ÷,故 D正确． [答案]　ABD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 第二章　函数 (２)若直线y＝２a与函数y＝|ax－１|(a＞０且a≠１) 的图象有两个公共点,则a的取值范围是　　　　． [解析]　①当０＜a＜１时,y＝|ax－１|的图象如图 １．因为y＝２a与y＝|ax－１|的图象有两个交点, 所以０＜２a＜１,所以０＜a＜１２． ②当a＞１时,y＝|ax－１|的图象如图２,而此时直 线y＝２a 不可能与y＝|ax－１|的图象有两个交 点．综上,a的取值范围是０＜a＜１２． [答案]　 ０,１２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (１)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点, 判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则 排除． (２)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最 基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、 对称变换而得到．特别地,当底数a与１的大小 关系不确定时应注意分类讨论． １．[多选](２０２５􀅰济南调研)已知实数a,b满足等式 ２０２４a＝２０２５b,则下列关系式成立的是 (　　) A．０＜b＜a B．a＜b＜０ C．０＜a＜b D．a＝b 解析:ABD　[如图,观察易知 a,b的关系为a＜b＜０或０＜b ＜a或a＝b＝０．] ２．若函数f(x)＝|２x－２|－b有 两个零点,则实数b的取值范围是　　　　． 解析:在同一平面直角坐标系 中画出y＝|２x－２|与y＝b 的图象,如图所示． 当０＜b＜２时,两函数图象有 两个交点,从 而 函 数 f(x)＝|２x－２|－b 有 两 个 零点． 即实数b的取值范围是(０,２)． 答案:(０,２) 　　　指数函数的性质及应用 ▶[角度１]　比较指数式的大小 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－１]　(２０２５􀅰海南统考)下列大小关系不正确 的是 (　　) A．(－２．５) ４ ５ ＞(－２．５) ２ ３ B．２５ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＜(０．４)－ ３ ２ C．１３ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＜ ３２ æ è ç ö ø ÷ －１２ D．２．５１．６＞２－０．２ [解析]　A 选项,(－２．５) ４ ５ ＝(２．５) ４ ５ ,(－２．５) ２ ３ ＝ (２．５) ２ ３ ．因为２．５＞１,４５＞ ２ ３ ,又因为指数函数y＝ ２．５x 在R上单调递增,所以(２．５) ４ ５ ＞(２．５) ２ ３ ,即 (－２．５) ４ ５ ＞(－２．５) ２ ３ ,故 A 正确;B选项,(０．４)－ ３ ２ ＝ ２５ æ è ç ö ø ÷ －３２ ,因为０＜２５＜１ ,－１２＞－ ３ ２ ;又因为指 数函数y＝ ２５ æ è ç ö ø ÷ x 在R上单调递减,所以 ２５ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＜ (０．４)－ ３ ２ ,故 B 正 确;C 选 项,因 为 １３ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＞１, ３ ２ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＜１,所以 １３ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＞ ３２ æ è ç ö ø ÷ －１２ ,故 C 错误;D 选项,因为２．５１．６＞１,２－０．２＜１,所以２．５１．６＞２－０．２． 故 D正确． [答案]　C ▶[角度２]　解简单的指数方程或不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－２]　(１)若x 满足不等式２x ２＋１≤ １４ æ è ç ö ø ÷ x－２ ,则 函数y＝２x 的值域是 (　　) A．１８ ,２[ öø÷ B． １ ８ ,２[ ] C．－∞,１８ æ è ç ] D．[２,＋∞) [解析]　将２x ２＋１≤ １４ æ è ç ö ø ÷ x－２ 化为x２＋１≤－２(x－ ２),即x２＋２x－３≤０,解得x∈[－３,１],所以２－３≤ ２x≤２１,所以函数y＝２x 的值域是 １８ ,２[ ]． [答案]　B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 高考总复习　数学 A版 (２)已知实数a≠１,函数f(x)＝ ４x,x≥０, ２a－x,x＜０,{ 若 f(１－a)＝f(a－１),则a的值为　　　　． [解析]　①当a＜１时,由f(１－a)＝f(a－１)得 ４１－a＝２a－(a－１),即２２－２a＝２,所以２－２a＝１,解得 a＝１２ ;②当a＞１时,由f(１－a)＝f(a－１)得４a－１ ＝２a－(１－a),即２２a－２＝２２a－１,所以２a－２＝２a－１,无 解．综上可知,a＝１２． [答案]　１２ ▶[角度３]　指数函数性质的综合应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－３]　(２０２５􀅰内蒙古阿拉善盟校考期末)已知 函数f(x),奇函数g(x)和偶函数h(x)的定义域均 为R,且满足f(x)＝g(x)－h(x),若函数f(x)＝ ax(a＞０,且a≠１)． (１)求g(x)的解析式; (２)求h(x)在R上的最大值． [解]　(１)由f(x)＝g(x)－h(x)可知f(－x) ＝g(－x)－h(－x),由g(x)为奇函数,h(x)为偶 函数,可知g(－x)＝－g(x),h(－x)＝h(x), 则f(－x)＝－g(x)－h(x), 则g(x)＝f (x)－f(－x) ２ ＝ ax－a－x ２ ． (２)由(１)得h(x)＝－f (x)＋f(－x) ２ ＝－ ax＋a－x ２ , 当a＞０,且a≠１时,ax＞０,则ax＋a－x＝ax＋１ ax ≥ ２ ax．１ ax ＝２,当且仅当ax＝１,即x＝０时取等号, 故h(x)＝－a x＋a－x ２ 在R上的最大值为－１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等 式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借 助中间量． (２)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复 合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题 时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断． １．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝２x(x－a)在区间 (０,１)上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A．(－∞,－２] B．[－２,０) C．(０,２] D．[２,＋∞) 解析:D　[由题意易得,a２≥１ ,所以a的取值范围是 [２,＋∞)．] ２．[多选](２０２５􀅰临沂模拟)已知函数f(x)＝ ２２x－１ ＋a(a∈R),则 (　　) A．f(x)的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝１时,f(x)为奇函数 D．当a＝２时,f(－x)＋f(x)＝２ 解析:ACD　[对于函数f(x)＝ ２２x－１ ＋a(a∈R), 令２x－１≠０,解得x≠０, 所以f(x)的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),故 A 正确; 因为２x＞０,当２x－１＞０时, ２ ２x－１ ＞０,所以 ２ ２x－１ ＋a＞a, 当－１＜２x－１＜０时, ２ ２x－１ ＜－２,所以 ２ ２x－１ ＋a ＜－２＋a, 综上可得f(x)的值域为(－∞,－２＋a)∪(a,＋∞), 故B错误; 当a＝１时,f(x)＝ ２２x－１ ＋１＝２ x＋１ ２x－１ ,则f(－x)＝ ２－x＋１ ２－x－１ ＝－２ x＋１ ２x－１ ＝－f(x), 所以f(x)＝ ２２x－１ ＋１为奇函数,故C正确; 当a＝２时f(x)＝ ２２x－１ ＋２＝２ x＋１ ２x－１ ＋１, 则f(－x)＋f(x)＝２ －x＋１ ２－x－１ ＋１＋２ x＋１ ２x－１ ＋１＝２,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 第二章　函数