2.4 函数的周期性与对称性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§２．４　函数的周期性与对称性 ★[考试要求] １．了解函数的周期性及其几何意义．２．能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．３．会依据 函数的性质进行简单的应用． 　　　　　　　　学生用书　P２１ １．函数的周期性 (１)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如 果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D 都 有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y ＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函 数的周期． (２)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． ２．奇函数、偶函数的对称性 (１)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数 的图象关于直线x＝a对称; (２)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函 数的图象关于点(a,０)对称． (３)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴 为x＝a;若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象 的对称中心为(a,０)． ３．两个函数图象的对称 (１)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y 轴 对称; (２)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x 轴 对称; (３)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点 对称． １．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值: (１)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝２a(a＞０)． (２)若f(x＋a)＝ １f(x) ,则T＝２a(a＞０)． (３)若f(x＋a)＝－ １f(x) ,则T＝２a(a＞０)． ２．函数图象的对称关系 (１)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x),则 f(x)的图象关于直线x＝a＋b２ 对称; (２)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x),则 f(x)的图象关于点 a＋b２ ,０æ è ç ö ø ÷对称． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)若T 是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈N∗ )也 是函数f(x)的一个周期． (√) (２)函数y＝f(x＋１)是偶函数,则函数y＝f(x)关于 直线x＝１对称． (√) (３)函数y＝f(x－１)是奇函数,则函数y＝f(x)关于 点(１,０)对称． (×) (４)若函数f(x)满足f(x－１)＋f(x＋１)＝０,则f(x) 关于y轴对称． (×) ２．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于　　　　 对称 (　　) A．x轴 B．y轴 C．坐标原点 D．不能确定 解析:B　[函数y＝f(x)上的点(x,y)关于y轴对 称点为(－x,y), ∵点(－x,y)在函数y＝f(－x)上,∴y＝f(x)与y ＝f(－x)图象关于y轴对称．] ３．[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(２＋x) ＝f(－x),且当x≥１时,f(x)＝lnx,则 (　　) A．f(－１)＜f(０) B．f(－１)＞f(０) C．f(０)＝f(２) D．f(０)＜f(２) 解析:BC　[因 为 定 义 在 R 上 的 函 数f(x)满 足 f(２＋x)＝f(－x), 所以函数f(x)关于x＝１对称, 所以f(０)＝f(２)＝ln２,故C正确,D错误; f(－１)＝f(３)＝ln３,所以f(－１)＞f(０),故 A 错 误,B正确．] ４．设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x, 恒有f(x＋４)＝f(x)．当x∈[０,２]时,f(x)＝２x－ x２,则f(２０２６)＝　　　　． 解析:因为f(x＋４)＝f(x),所以函数f(x)的周期 T＝４．又f(２)＝０,所以f(２０２６)＝f(２＋４×５０６) ＝f(２)＝０． 答案:０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 第二章　函数 　　　　　　　　学生用书　P２２ 　　　函数的周期性 [例１]　(１)(２０２５􀅰武汉模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x＋１)＝f(x)－２,则下列是周期函数 的是 (　　) A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋x C．y＝f(x)－２x D．y＝f(x)＋２x [解析]　依题意,定义在 R 上的函数f(x)满足 f(x＋１)＝f(x)－２,所以f(x＋１)＋２(x＋１)＝ f(x)＋２x,所以y＝f(x)＋２x 是周期为１的周期 函数． [答案]　D (２)已知f(x)是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数, 满足f(x)＝f(２－x),若f(１)＝１,则f(１)＋f(２) ＋f(３)＋f(４)＋􀆺＋f(２０２５)＝ (　　) A．１ B．０ C．１０１３ D．２０２５ [解析]　由已知f(x)＝f(２－x),且f(x)是定义 域为(－∞,＋∞)的奇函数, 可得f(x)＝f(２－x)＝－f(x－２), 即f(x＋２)＝－f(x), 所以f(x＋２)＝f(x－２), 即函数的最小正周期为４,即f(４k＋x)＝f(x),k ∈Z, 又f(１)＝１,f(０)＝０, 所以f(２)＝f(２－２)＝f(０)＝０,f(４)＝f(０)＝０, f(３)＝f(２－(－１))＝f(－１)＝－f(１)＝－１, 所以f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４)＝０, 所以f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４)＋􀆺＋f(２０２５) ＝５０６[f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４)]＋f(２０２５) ＝f(２０２５)＝f(５０６×４＋１)＝f(１)＝１． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数周期性的判定与应用 (１)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T ≠０)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函 数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (２)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得 到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意 结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠０)也 是函数的周期． 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋２)f(x)＝１, 若f(０)∈(１,２),则f(２０２６)的取值范围为(　　) A．(－２,－１) B．[１,４] C．１２ ,１æ è ç ö ø ÷ D．１４ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 解析:C　[∵f(x＋２)f(x)＝１, ∴f(x＋２)＝ １f(x) , 即f(x＋４)＝ １f(x＋２)＝ １ １ f(x) ＝f(x), 即f(x＋４)＝f(x), 所以４是函数f(x)的一个周期, ∵f(０)∈(１,２), ∴f(２０２６)＝f(２)＝ １f(０)∈ １ ２ ,１æ è ç ö ø ÷．] 　　　函数的对称性 ▶[角度１]　轴对称 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－１]　(１)下列函数与y＝ex 关于x＝１对称 的是 (　　) A．y＝ex－１ B．y＝e１－x C．y＝e２－x D．y＝lnx [解析]　f(x)＝ex 关于x＝１对称的是f(２－x) ＝e２－x,即y＝e２－x． [答案]　C (２)已知定义在R上的函数f(x),对∀x∈R,都有 f(x＋２)＝－f(x)＋２,若函数f(x－１)的图象关 于直线x＝１对称,则f(２０２５)＝ (　　) A．－２ B．－１ C．２ D．１ [解析]　由函数f(x－１)的图象关于直线x＝１对 称,可得f(x－１＋１)＝f(１－x－１), 即f(x)＝f(－x),f(x)为偶函数, 由f(x＋２)＝－f(x)＋２得f(x＋２＋２)＝－f(x＋２) ＋２＝f(x),即f(x)是以４为周期的偶函数, 所以f(２０２５)＝f(１＋４×５０６)＝f(１)＝f(－１), 由f(x＋２)＝－f(x)＋２,令x＝－１可得f(１)＝ －f(－１)＋２⇒f(１)＝１, 所以f(２０２５)＝１． [答案]　D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 高考总复习　数学 A版 ▶[角度２]　中心对称 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－２]　(１)已知函数f(x)的定义域为 R,且 f(２x＋１)为奇函数,f(２x＋４)＝f(２x),则一定正 确的是 (　　) A．f(x)的周期为２ B．f(x)图象关于直线x＝１对称 C．f(x＋１)为偶函数 D．f(x＋３)为奇函数 [解析]　f(２x＋１)为 奇 函 数,得 f(２x＋１)＋ f(－２x＋１)＝０, 即f(x＋１)＋f(－x＋１)＝０,则f(x＋１)为奇函 数,故C错误; 且f(x)图象关于点(１,０)中心对称,故B错误; f(２x＋４)＝f(２x)可知,函数f(x)周期为４,故A错误; f(x)＝f(x＋４),又f(x)图象关于点(１,０)中心对 称,知f(x)＝－f(２－x), 所以f(x＋４)＝－f(２－x),得f(x)关于点(３,０)对称, 则f(x＋３)关于点(０,０)对称,所以f(x＋３)为奇 函数,故 D正确． [答案]　D (２)[多选](２０２５􀅰邯郸质检)函数y＝f(x)的图象 关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y＝ f(x＋a)－b为奇函数,下列结论正确的 (　　) A．函数f(x)＝ax＋b没有对称中心 B．函数f(x)＝２x＋１x＋１ 的对称中心为(－１,２) C．函数f(x)＝x３－２x２ 的对称中心的横坐标为４３ D．定义在[－３,３]的函数f(x)的图象关于点(０,－１) 成中心对称．当０≤x≤３时,f(x)＝x２－２x－３, 则f(x)的值域为[－４,２] [解析]　由于y＝f(x)的图象关于点P(a,b)成中心 对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)－b为奇函数, 对于A,因为f x＋ba æ è ç ö ø ÷－２b＝ax＋ba æ è ç ö ø ÷＋b－２b＝ ax, 所以g(x)＝f x＋ba æ è ç ö ø ÷－２b,满足g(－x)＝－g(x), 是奇函数, 故f(x)关于点 ba ,２bæ è ç ö ø ÷对称,故 A 错误; 对于B,因为g(x)＝f(x－１)－２＝２ (x－１)＋１ x－１＋１ －２ ＝２x－１x －２＝ － １ x ,定 义 域 为 {x|x≠０},满 足 g(－x)＝１x＝－g (x),是奇函数, 所以点(－１,２)为f(x)的对称中心,故B正确; 对于C,设f(x)＝x３－２x２ 的对称中心为(a,b), 设g(x)＝f(x＋a)－b,则g(x)＝－g(－x), 即f(x＋a)－b＝－f(－x＋a)＋b, 即(x＋a)３－２(x＋a)２－b＝－(－x＋a)３＋２(－x ＋a)２＋b, 所以(３a－２)x２＋a３－２a２－b＝０恒成立,即３a－２ ＝０, 所以a＝２３ ,故函数f(x)＝x３－２x２ 的对称中心的 横坐标为２ ３ ,故C错误; 对于 D,因为定义在[－３,３]上的函数f(x)的图象 关于点(０,－１)成中心对称． 所以可得y＝f(x)＋１为奇函数, 设g(x)＝f(x)＋１,即g(x)是奇函数, 当０≤x≤３时,f(x)＝x２－２x－３＝(x－１)２－４, 所以f(x)∈[－４,０],g(x)＝f(x)＋１∈[－３,１] x∈[－３,０]时,g(x)∈[－１,３],所以f(x)＝g(x) －１∈[－２,２], 所以x∈[－３,３]时,f(x)∈[－４,２],故 D正确． [答案]　BD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称⇔ f(x)＝f(２a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x); 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y ＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b２ 对称． (２)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a ＋x)＋f(a－x)＝２b⇔２b－f(x)＝f(２a－x); 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c, 则y＝f(x)的图象关于点 a＋b２ ,c ２ æ è ç ö ø ÷ 成中心 对称． １．[多选]定义在R上的函数f(x)满足f(０)＝f(x) ＋f(－x),f(x＋２)＝－f(x),且f(x)在[－１,０] 上是增函数,则下列结论正确的是 (　　) A．f(２)＝f(０) B．f(x)在[１,２]上单调递减 C．f(x)的图象关于点(－２,０)对称 D．f(x)的图象关于直线x＝２对称 解析:ABC　[对于 A,由f(０)＝f(０)＋f(０),得 f(０)＝０, 又f(x＋２)＝－f(x),则f(２)＝－f(０)＝f(０),A 正确, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第二章　函数 对于B,由于f(０)＝f(x)＋f(－x)＝０,故f(x)是 奇函数, 由f(x)在[－１,０]上单调递增可得f(x)在[０,１] 上也单调递增 由f(x＋２)＝－f(x)＝f(－x),因此f(x)关于x ＝１对称, 故f(x)在[１,２]上单调递减,B正确, 对于C,由f(x＋２)＝－f(x), 则f(x＋４)＝－f(x＋２)＝f(x)＝－f(－x)⇒f(x ＋４)＋f(－x)＝０, 故f(x)关于(２,０)对称, 结合f(x)为奇函数,故f(x)的图象关于(－２,０) 对称,故C正确, 对于 D,因为f(x＋２)＝－f(x), 所以f(３)＝－f(１), 又f(x)在[１,２]上单调递减,所以f(１)＞f(２)＝０, 故f(３)＝－f(１)＜f(１),即f(３)≠f(１),则x＝２ 不是f(x)的对称轴,故 D错误．] ２．(２０２５􀅰绵阳模拟)已知函数y＝f(x＋１)与y＝ g(x)的定义域均为R,且它们的图象关于x＝１对 称,若奇函数g(x)满足g(x)＝g(２－x),下列关于 函数f(x)的性质说法不正确的有 (　　) A．f(x)关于x＝２对称 B．f(x)关于点(４,０)对称 C．f(x)的周期T＝４ D．f(２０２７)＝０ 解析:B　[对于 A,令(x,y)是函数y＝g(x)的图 象上任意一点,则(２－x,y)在y＝f(x＋１)的图 象上, 即 y＝g(x) y＝f(３－x){ ,则g(x)＝f(３－x),由g(x)为奇 函数,得g(－x)＋g(x)＝０, 则有f(３－x)＋f(３＋x)＝０,函数f(x)的图象关 于点(３,０)对称, 又g(x)＝g(２－x),则f(３－x)＝f(１＋x),函数 f(x)的图象关于x＝２对称,A 正确; 对于C,f(３＋x)＝－f(１＋x),即f(x＋２)＝－f(x), 则f(x＋４)＝－f(x＋２)＝f(x),f(x)的周期T＝ ４,C正确; 对于D,f(３)＝０,则f(２０２７)＝f(５０６×４＋３)＝０, D正确; 对于B,由f(４－x)＝f(x),得f(８－x)＝f(x),函 数f(x)的图象关于x＝４对称, 若f(x)图象关于点(４,０)对称,则f(８－x)＋f(x) ＝０,即f(x)＝０, 而没有条件确保f(x)＝０恒成立,B错误．] 　　　两个函数图象对称 [例３]　设函数y＝f(x)的定义域为 R,则函数y＝ f(x－３)与函数y＝f(１－x)的图象关于 (　　) A．直线x＝－１对称 B．直线x＝－２对称 C．直线x＝２对称 D．直线x＝１对称 [解析]　y＝f(１－x)是函数f(－x)的图象向右平 移１个单位,由于y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关 于y轴对称,所以y＝f(１－x)与y＝f(x－１)的图象 关于x＝１对称,y＝f(x－３)是函数y＝f(x－１)向 右平移２个单位,所以函数y＝f(x－３)与函数y＝ f(１－x)的图象关于直线x＝２对称． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)图象关于直 线x＝b－a２ 对称 已知y＝f(x＋４)是定义域为R的奇函数,y＝g(x－２) 是定义域为R的偶函数,且y＝f(x)与y＝g(x)的 图象关于y轴对称,则 (　　) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝g(x)是偶函数 C．y＝f(x)关于点(２,０)对称 D．y＝g(x)关于直线x＝４对称 解析:A　[由于y＝f(x＋４)是定义域为 R的奇函 数,则y＝f(x)的图象关于(４,０)成中心对称, y＝g(x－２)是定义域为 R的偶函数,则y＝g(x) 的图象关于x＝－２对称, 因为y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称,则 y＝f(x)的图象关于x＝２对称, 又y＝f(x)的图象关于(４,０)成中心对称, 所以y＝f(x)的图象关于(０,０)成中心对称, 故y＝f(x)为奇函数,A 正确; 因为y＝f(x)为奇函数,故f(－x)＝－f(x), 由y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称,可得 f(x)＝g(－x),g(x)＝f(－x), 故g(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－g(x), 故y＝g(x)为奇函数,B错误; 由 A 的分析可知y＝f(x)的图象关于x＝２对称, 故C错误; 由A 的分析可知y＝f(x)的图象关于(４,０)成中心 对称,y＝f(x)为奇函数, 则y＝f(x)的图象也关于(－４,０)成中心对称, 而y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称, 则y＝g(x)的图象关于(４,０)成中心对称,故D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 高考总复习　数学 A版 学生用书　P２４ 　　抽象函数问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛．抽象函数问题可以全面 考查函数的概念和性质,将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载 体,借助特殊函数模型有利于打开解题思路,有时会起到事半功倍的效果． [典例]　[多选]已知函数f(x),g(x)的定义域均为 R,且g(x)＋f(－x＋２)＝１,f(x)－g(x＋１)＝１, 若y＝f(x)的图象关于直线x＝１对称,则以下说 法正确的是 (　　) A．g(x)为奇函数　　 B．g －３２ æ è ç ö ø ÷＝０ C．∀x∈R,f(x)＝f(x＋４) D．若f(x)的值域为[m,M],则f(x)＋g(x)＝m＋ M－１ [解析]　∵g(x)＋f(－x＋２)＝１,∴g(x＋１)＋ f(１－x)＝１, ∵f(x)－g(x＋１)＝１,∴f(x)＋f(１－x)＝２, ∵f(x)关于x＝１对称,∴f(１－x)＝f(１＋x), ∴f(x)＋f(１＋x)＝２,∴f(x＋１)＋f(２＋x)＝２, ∴f(x)＝f(２＋x), ∴T＝２,∴f(x)＝f(x＋４),故C正确; ∵f(x)关于x＝１对称,∴f(x)＝f(２－x), ∴f(x)＝f(－x),∴f(x)为偶函数, ∵g(x)＋f(－x＋２)＝１,∴g(x)＋f(x)＝１, ∴g(－x)＋f(－x)＝１,∴g(－x)＋f(x)＝１, ∴g(x)＝g(－x),∴g(x)为偶函数,故 A 错误; ∵f(x)＋f(１－x)＝２,∴f(x)图 象 关 于 点 １ ２ ,１æ è ç ö ø ÷中心对称, ∴存在一对最小值点与最大值点也关于 １２ ,１æ è ç ö ø ÷ 对 称,∴m＋M＝２ ∴g(x)＋f(x)＝１＝m＋M－１,故 D正确; 由f(x)＋f(１－x)＝２得f １２ æ è ç ö ø ÷＝１,又T＝２,所 以f －３２ æ è ç ö ø ÷＝１, 由g(x)＋f(x)＝１得g －３２ æ è ç ö ø ÷＋f －３２ æ è ç ö ø ÷＝１,所 以g －３２ æ è ç ö ø ÷＝０,故B正确． [答案]　BCD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　对含有f(x),g(x)混合关系的抽象函数,要 探求f(x),g(x)性质首先要消去一个函数只剩下 另一个函数,消去其中一个函数的方法就是对x 进行合理的赋值,组成方程组消去一个函数,再考 查剩余函数的性质．对抽象函数的周期性、奇偶性、 单调性以及图象的对称性的综合应用,解决该问题 应该注意的事项: (１)赋值法使用,注意和题目条件作联系; (２)转化过程要以相关定义为目的,不断转变． [多选]已知函数f(x)＝lg(x２－２x＋２－x＋１), g(x)＝２ x＋６ ２x＋２ ,则下列说法正确的是 (　　) A．f(x)是奇函数 B．g(x)的图象关于点(１,２)对称 C．若函数F(x)＝f(x)＋g(x)在x∈[１－m,１＋ m]上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M＋N ＝４ D．令F(x)＝f(x)＋g(x),若F(a)＋F(－２a＋１) ＞４,则实数a的取值范围是(－１,＋∞) 解析:BCD　[由题意函数f(x)＝lg(x２－２x＋２ －x＋１)＝lg((x－１)２＋１－(x－１)), 因为 (x－１)２＋１－(x－１)＞０恒成立, 即函数f(x)的定义域为R, 又因为f(０)＝lg(２＋１)≠０,所以f(x)不是奇函 数,所以 A 错误; 将g(x)＝２ x＋６ ２x＋２ 的图象向下平移两个单位得到y＝ ２x＋６ ２x＋２ －２＝２－２ x ２＋２x , 再向左平移一个单位得到h(x)＝２－２ x＋１ ２＋２x＋１ ＝１－２ x １＋２x , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第二章　函数 此时h(－x)＝１－２ －x １＋２－x ＝２ x－１ ２x＋１ ＝－h(x), 所以h(x)图象关于点(０,０)对称, 所以g(x)的图象关于(１,２)对称,所以B正确; 将函数f(x)的图象向左平移一个单位得 m(x)＝ lg(x２＋１－x), 因为 m(－x)＋m(x)＝lg(x２＋１＋x)＋lg (x２＋１－x)＝lg１＝０, 即m(－x)＝－m(x),所以函数m(x)为奇函数, 所以函数f(x)关于(１,０)点对称, 所以F(x)若在１＋a处取得最大值,则F(x)在１－ a处取得最小值, 则F(１＋a)＋F(１－a)＝f(１＋a)＋f(１－a)＋g(１ ＋a)＋g(１－a)＝０＋４＝４,所以C正确; 由F(a)＋F(－２a＋１)＞４,可得f(a)＋f(１－２a) ＋g(a)＋g(１－２a)＞４, 由f(x)＝lg((x－１)２＋１－(x－１)), 设m(x)＝lg(x２＋１－x),t＝ x２＋１－x, 可得t′＝ x x２＋１ －１＜０,所以t＝ x２＋１－x 为减 函数, 可得函数m(x)＝lg(x２＋１－x)为减函数, 所以函数f(x)＝lg( (x－１)２＋１－(x－１))为减 函数, 又由g(x)＝２ x＋６ ２x＋２ ＝１＋ ４ ２x＋２ 为减函数, 所以F(x)为减函数, 因为F(x)关于点(１,２)对称, 所以F(a)＋F(－２a＋１)＞４＝F(a)＋F(２－a),即 F(－２a＋１)＞F(２－a), 即－２a＋１＜２－a,解得a＞－１,所以 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P２４ 　　“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题, 有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解,但是,透过现象看本质,它们考查 的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝． [典例]　[多选]高斯是德国著名的数学家,近代数学 奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命 名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x 的最大整数,则y＝[x]称为高斯函数,例如:[－３．５] ＝－４,[２．１]＝２．已知函数f(x)＝ e x １＋ex －１２ ,函 数g(x)＝[f(x)],则下列命题中为真命题的是 (　　) A．g(x)图象关于x＝０对称 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{－１,０,１} [解析]　 根 据 题 意,知 f(x)＝ e x １＋ex － １２ ＝ １＋ex－１ １＋ex －１２＝ １ ２－ １ １＋ex ． ∵g(１)＝[f(１)]＝ e１＋e－ １ ２[ ]＝０, g(－１)＝[f(－１)]＝ １e＋１－ １ ２[ ]＝－１, ∴g(１)≠g(－１),g(１)≠－g(－１), ∴函数y＝g(x)既不是奇函数也不是偶函数,不关 于直线x＝０对称,A 错误; y＝f(x)的定义域为R, ∵f(－x)＝ e －x １＋e－x －１２＝ １ １＋ex －１２＝－f (x), ∴f(x)是奇函数,B正确; 任取x１＞x２, f(x１)－f(x２)＝ １ ２－ １ １＋ex１ æ è ç ö ø ÷－ １２－ １ １＋ex２ æ è ç ö ø ÷＝ １ １＋ex２ － １ １＋ex１ ＝ e x１－ex２ (１＋ex２)(１＋ex１) , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 高考总复习　数学 A版 ∵x１＞x２,则ex１＞ex２,即ex１－ex２＞０, ∴f(x１)＞f(x２),∴f(x)＝ １ ２－ １ １＋ex 在 R上是增 函数,C正确; ∵ex＞０,∴１＋ex＞１, ∴０＜ １ １＋ex ＜１,则－１２＜ １ ２－ １ １＋ex ＜１２ , 即－１２＜f (x)＜１２ , ∴g(x)＝[f(x)]的值域为{－１,０},D错误． [答案]　BC 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．高斯函数y＝[x] (１)定义:不超过实数x的最大整数称为x的整 数部分,记作[x],例如,[３．４]＝３,[－２．１] ＝－３,这一规定最早为数学家高斯所使用, 故函 数 y＝ [x]称 为 高 斯 函 数,又 称 取 整 函数． (２)性质 ①定义域:R;值域:Z． ②不具有单调性、奇偶性、周期性． (３)图象 ２．狄利克雷函数D(x)＝ １,x∈Q, ０,x∉Q{ 的性质 (１)定义域R;值域{０,１}． (２)奇偶性:偶函数． (３)周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正 周期． (４)无法画出函数的图象,但其图象客观存在． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋３．最值函数的概念 设 min{a,b}＝ a,a≤b, b,a＞b,{ max{a,b}＝ a,a≥b, b,a＜b．{ 直观上来说 min{a,b}的作用就是求a,b的最小 值,我 们 将 其 称 为 最 小 值 函 数,同 样 的, max{a,b}用来表示a,b的最大值,称作最大值 函数． [多选]德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 以其名字命名的函数f(x)＝ １,x∈Q, ０,x∈∁RQ,{ 称为狄 利克雷函数,则关于函数f(x)的叙述,正确的是 (　　) A．函数y＝f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))＝１ C．f(３)＞f(１) D．∀x∈R,都有f(１－x)＝f(２＋x) 解析:BD　[对于 A,函数y＝f(x)的图象是断续 的点集,不是两条直线,A 错误; 对于B,当x为有理数时,f(x)＝１, 所以f(f(x))＝f(１)＝１, 当x为无理数时,f(x)＝０,f(f(x))＝f(０)＝１, B正确; 对于C,f(３)＝０,f(１)＝１, 所以f(１)＞f(３),C错误; 对于 D,由题意,函数定义域为R, 且f(－x)＝f(x),所以f(x)为偶函数, 若x是有理数,则x＋T 也是有理数; 若x是无理数,则x＋T 也是无理数; 所以根据函数的表达式,任取一个不为零的有理 数T, f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立, 故f(x＋２)＝f(x)＝f(－x)＝f(１－x), 所以∀x∈R,都有f(１－x)＝f(２＋x),D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第二章　函数