2.1 函数的概念及其表示-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

复习本章时,要注意以下几个方面: １．全面系统复习,深刻理解知识本质 (１)重视函数的概念和性质的理解:深刻把握函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究 函数的性质,注意分析函数解析式的特征,同时注 意函数图象的作用． (２)重视对基本初等函数的研究:基本初等函数(一次 函数、二次函数、反比例函数、指数与对数函数、幂 函数与分段函数等)是考查知识的常见载体．复习 时通过选择题和填空题加以训练和巩固,注意将 问题和方法进行归纳、整理． (３)重视幂的运算性质、对数的运算性质及其应用． ２．熟练掌握解决以下问题的方法规律 (１)函数图象的确定与应用问题． (２)函数性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性、 零点)的确定与应用问题． ３．重视思想方法的应用 函数问题中蕴含着十分丰富的数学思想方法,这也 是高考重视函数考查的一个重要原因．函数、方程、 不等式之间有着密切的联系,在复习时要关注这种 联系,要善于从函数的角度理解方程和不等式问 题,也要善于利用方程和不等式的知识解决函数问 题．函数与其他知识的交汇是高考命题的热点,数 学思想是灵魂． (１)数形结合思想:函数的图象为解决与函数有关的 问题提供了有利的图形保障,研究函数的性质、方 程的根的个数、不等式的解集等问题,往往用到数 形结合思想． (２)函数与方程思想:方程f(x)＝０的解就是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标,函数y＝ f(x)也可以看作方程f(x)－y＝０,通过方程进行 研究．函 数 与 不 等 式 的 相 互 转 化:对 函 数 y＝ f(x),当y＞０时,就转化为f(x)＞０,借助函数的 图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质 也离不开不等式． (３)转化与化归思想:通过构造函数,将方程问题、不 等式问题转化为函数的单调性、最值等问题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §２．１　函数的概念及其表示 ★[考试要求] １．了解函数的含义,会求简单函数的定义域和值域．２．在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 象法、列表法、解析法)表示函数．３．了解简单的分段函数,并会简单的应用． 　　　　　　　　学生用书　P１５ １．函数的概念 一般地,设A,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在 集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y ＝f(x),x∈A． ２．函数的三要素 (１)函数的三要素:定义域、对应关系、值域． (２)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全 一致,则这两个函数为同一个函数． ３．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． ４．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同 而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分 段函数． １．直线x＝a 与函数y＝f(x)的图象至多有１个 交点． ２．在函数的定义中,非空数集A,B,A 即为函数的定 义域,值域为B 的子集． ３．分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函 数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并 集,值域等于各段函数的值域的并集． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数 是同一个函数． (×) (２)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线． (×) (３)y＝x０与y＝１是同一个函数． (×) (４)函数f(x)＝ x－１,x≥０, x２,x＜０{ 的定义域为R． (√) ２．函数f(x)＝ ２x－３＋ １x－２ 的定义域为 (　　) A．２３ ,２æ è ç ö ø ÷∪(２,＋∞) B．－∞,２３ æ è ç ö ø ÷∪(２,＋∞) C．３２ ,３[ ] D．３２,２[ ö ø ÷∪(２,＋∞) 解析:D　[由函数的性质得 ２x－３≥０ x－２≠０{ ⇒ x≥３２ x≠２ { , 故函数定义域为 ３ ２ ,２[ öø÷∪(２,＋∞)．] ３．已知函数f(x)＝ f(x＋２),x＜１． x２－１,x≥１．{ 则f(０)＝ (　　) A．０ B．３ C．８ D．１５ 解析:B　[由题知f(０)＝f(２)＝２２－１＝３．] ４．若f(x＋１)＝x－１,则f(x)＝　　　　． 解析:令 x＋１＝t,则x＝(t－１)２,t≥１,于是有 f(t)＝(t－１)２－１＝t２－２t,t≥１,所以f(x)＝x２－ ２x,x≥１． 答案:x２－２x,x≥１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１５ 　　　函数的概念 [例１]　(１)[多选]下列说法正确的有 (　　) A．式子y＝ x－１＋ －x＋２可表示y关于x的函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝１的交点最多有 １个 C．函数f(x)＝ x２＋４,　x≤０ x－４,　x＞０{ ,则f[f(０)]＝４ D．f(x)＝x２－２x与g(t)＝t２－２t是同一函数 [解析]　对于 A,由y＝ x－１＋ －x＋２有意义 可得,x－１≥０ －x＋２≥０{ ,所以１≤x≤２, 又对于任意的x∈[１,２],存在唯一的y与之对应, 所以 A 正确; 对于B,由函数的定义,在定义域内的每一个x,有 且只有一个y与之对应, 所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝１的交点最多 有１个,故B正确; 对于C,f(x)＝ x２＋４,x≤０ x－４,x＞０{ , 故f(０)＝４,f[f(０)]＝f(４)＝４－４＝０,故 C 错误; 对于 D,函数f(x)＝x２－２x 与g(t)＝t２－２t有相 同的定义域与对应关系,故这两个函数是同一个函 数,故 D正确． [答案]　ABD (２)已知函数f(x)的定义域为(１,３),则函数g(x) ＝f (x－１) x－３ 的定义域为　　　　． [解析]　因为f(x)的定义域为(１,３), 所以f(x－１)满足１＜x－１＜３,即２＜x＜４, 又函数g(x)＝f (x－１) 　　　　　 　　　　 　x－３ 有意义,所以x－３＞０,即 x＞３ 所以函数g(x)＝f (x－１) 　　　　　 　　　　 　x－３ 的定义域为(３,４)． [答案]　(３,４) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数的含义及判断两个函数相同的方法 (１)函数的含义 ①A,B 是非空的实数集． ②函数只要求第一个集合A 中的每个元素在 第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应; 至于B 中的元素在集合A 中有无元素与之对 应,有几个元素与之对应却无所谓． ③只有深刻理解函数的概念才能在解决此类问 题时游刃有余． (２)判断两个函数相同的方法 ①构成函数的三要素中,定义域和对应关系相 同,则值域一定相同． ②两个函数当且仅当定义域和对应关系相同 时,才是相同函数． １．函数f(x)＝１x＋ １－x 的定义域是 (　　) A．x＜１且x≠０ B．x≤１且x≠０ C．(－∞,０)∪(０,１] D．(－∞,０)∪(０,１) 解析:C　[因为f(x)＝１x＋ １－x ,则 １－x≥０ x≠０{ , 解得x≤１且x≠０, 所以函数f(x)的定义域是(－∞,０)∪(０,１]．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 高考总复习　数学 A版 ２．[多选]下列命题正确的是 (　　) A．y＝ x２与y＝x不是同一个函数 B．y＝ －x２－２x＋３的值域为(－∞,２] C．函数y＝x＋ x－１的值域为[０,＋∞) D．若函数f(x＋１)的定义域为[１,４],则函数f(x) 的定义域为[２,５] 解析:AD　[对于 A,y＝ x２,y＝x 的定义域为 R,y＝ x２＝|x|与y＝x对应法则不相同, 故y＝ x２与y＝x不是同一个函数,A 正确; 对于B,y＝ －x２－２x＋３,由－x２－２x＋３≥０,可 得－３≤x≤１, 又－x２－２x＋３＝－(x＋１)２＋４,当x＝－１时, －x２－２x＋３取到最大值４, 故y＝ －x２－２x＋３的值域为[０,２],故B错误; 对于C,函数y＝x＋ x－１的定义域为[１,＋∞), 且单调递增,此时 x－１≥０, 故函数y＝x＋ x－１的值域为[１,＋∞),C错误; 对于D,函数f(x＋１)的定义域为[１,４],即１≤x≤ ４,则２≤x＋１≤５, 即函数f(x)的定义域为[２,５],D正确．] 　　　函数的解析式 [例２]　已知f(x)满足下列条件,分别求f(x)的解 析式． (１)f(x－１)＝x－２ x; (２)f(x)是二次函数,方程f(x)＝０有两个相等实 根,且f′(x)＝２x＋２; (３)f(x)满足２f(x)＋f １x æ è ç ö ø ÷＝３x－１． [解]　(１)方法一(配凑法):∵x－２ x＝(x－１)２ －１, ∴f(x－１)＝(x－１)２－１,∵x≥０,∴ x－１≥－１． ∴f(x)＝x２－１(x≥－１)． 方法二(换元法):设u＝ x－１,则 x＝u＋１(u≥－１), ∴f(u)＝(u＋１)２－２(u＋１)＝u２－１(u≥－１), 即f(x)＝x２－１(x≥－１)． (２)(待定系数法)设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０), 则f′(x)＝２ax＋b＝２x＋２, ∴a＝１,b＝２,∴f(x)＝x２＋２x＋c． 又∵方程f(x)＝０有两个相等实根, ∴Δ＝４－４c＝０,c＝１,故f(x)＝x２＋２x＋１． (３)(构造法)已知２f(x)＋f １x æ è ç ö ø ÷＝３x－１,① 以１ x 代替①中的x(x≠０), 得２f １x æ è ç ö ø ÷＋f(x)＝３x－１ ,② ①×２－②,得３f(x)＝６x－３x－１ , 故f(x)＝２x－１x－ １ ３ (x≠０)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数解析式的求法 (１)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系 数法． (２)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用 换元法,此时要注意新元的取值范围． (３)消去法:已知关于f(x)与f １x æ è ç ö ø ÷(或f(－x)) 的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个 等式,两 等 式 组 成 方 程 组,通 过 解 方 程 组 求 出f(x)． (４)配凑法:由已知条件f(g(x))＝F(x),可将 F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x 替 代g(x),便得f(x)的解析式． １．已知f ２x＋１ æ è ç ö ø ÷＝lgx,则f(x)的解析式为　　　　． 解析:(换元法)令２ x＋１＝t (t＞１),则x＝ ２t－１ ,所 以f(t)＝lg ２t－１ (t＞１),所以f(x)＝lg ２x－１ (x＞１)． 答案:f(x)＝lg ２x－１ (x＞１) ２．已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))＝４x＋８, 则f(x)＝　　　　． 解析:(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠０),则 f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a２x＋ab＋ b,又f(f(x))＝４x＋８,所以a２x＋ab＋b＝４x＋８, 即 a２＝４, ab＋b＝８,{ 解得 a＝２, b＝８３ ,{ 或 a＝－２ , b＝－８,{ 所以f(x) ＝２x＋８３ 或f(x)＝－２x－８． 答案:２x＋８３ 或－２x－８ ３．已知函数f(x)的定义域为(０,＋∞),且f(x)＝ ２f １x æ è ç ö ø ÷􀅰 x－１,则f(x)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 第二章　函数 解析:(解方程组法)在f(x)＝２f １x æ è ç ö ø ÷􀅰 x－１中,将 x换成１x ,则１ x 换成x,得f １x æ è ç ö ø ÷＝２f(x)􀅰 １x－１ , 由 f(x)＝２f １x æ è ç ö ø ÷􀅰 x－１, f １x æ è ç ö ø ÷＝２f(x)􀅰 １x－１ , ì î í ï ï ï ï 解得f(x)＝２３ x＋ １ ３． 答案:２ ３ x＋ １ ３ 　　　分段函数 [例３]　[多选]已知函数f(x)＝ x＋２,x≤－１ x２,－１＜x＜２{ ,则 关于函数f(x)的结论正确的是 (　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞,４) C．f(１)＝３ D．若f(x)＝１,则x的值为±１ [解析]　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞,２), 故 A 错误; 当x≤－１时,f(x)的取值范围是(－∞,１],当－１ ＜x＜２时,f(x)的取值范围是[０,４),因此f(x)的 值域为(－∞,４),故B正确; 当x＝１时,f(１)＝１２＝１,故C错误; 当x≤－１时,f(x)＝x＋２＝１⇒x＝－１,当－１＜x ＜２时,f(x)＝x２＝１⇒x＝１,故 D正确． [答案]　BD (２)[多 选](２０２５􀅰 朝 阳 模 拟)函 数 D (x)＝ １,x∈Q, ０,x∉Q,{ 称为狄利克雷函数,对于狄利克雷函数, 下列结论正确的是 (　　) A．D(D(２))＝D(D(２)) B．D(x)的值域与函数f(x)＝|x|＋x２x 的值域相同 C．D(x)≠D(－x) D．对任意实数x,都有D(x＋１)＝D(x) [解析]　 对 于 A,根 据 狄 利 克 雷 函 数 定 义 可 知 D(D(２))＝D(１)＝１,D(D(２))＝D(０)＝１,即 A 正确; 对于 B,易 知 函 数 f(x)＝|x|＋x２x 的 定 义 域 为 (－∞,０)∪(０,∞), 当x∈(－∞,０)时,f(x)＝|x|＋x２x ＝０ ; 当x∈(０,＋∞)时,f(x)＝|x|＋x２x ＝１ ; 即函数 f(x)＝|x|＋x２x 的 值 域 为 {０,１},所 以 B 正确; 对于C,若x∈Q,则－x∈Q,则 D(x)＝D(－x) ＝１, 若x∈∁RQ,则－x∈∁RQ,则D(x)＝D(－x)＝０, 综上可得:D(x)＝D(－x),故C错误; 对于 D,当x∈Q 时,x＋１∈Q,此时 D(x＋１)＝ D(x)＝１; 当x∉Q时,x＋１∉Q,此时 D(x＋１)＝D(x)＝０, 所以 D正确． [答案]　ABD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 分段函数求值问题的解题思路 (１)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到 外依次求值． (２)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定 义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切 记要代入检验． １．已知分段函数f(x)＝ ２x,x≥０ x２－x－２,x＜０{ ,f(m)＝４, 则实数m＝ (　　) A．２ B．－２或３ C．－２或２ D．－２或２或３ 解析:C　[当m≥０时,f(m)＝２m＝４,解得m＝２; 当m＜０时,f(m)＝m２－m－２＝４,解得m＝３(舍) 或m＝－２, 所以m＝２或－２．] ２．函数f(x)＝ ２x＋４ ３－x,x≤３ －２x＋４ x－３＋１２,x＞３{ 的值域为 (　　) A．(－∞,８] B．(－∞,６] C．[２,＋∞) D．[４,＋∞) 解析:A　[当x≤３ 时,设t＝ ３－x,t≥０,则x ＝３－t２, f(x)＝g(t)＝２(３－t２)＋４t＝－２(t－１)２＋８, 因t≥０,则f(x)＝g(t)≤８; 当x＞３时,设u＝ x－３,u＞０,则x＝u２＋３, f(x)＝h(u)＝－２(u２＋３)＋４u＋１２＝－２(u－１)２ ＋８ 因u＞０,则f(x)＝h(u)≤８． 综上,函数f(x)的值域为(－∞,８]．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 高考总复习　数学 A版