专题04 平面解析几何-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（山东专用）

专题04 平面解析几何 一、单选题 1．圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 2．已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A． B． C． D． 3．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 4．设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（） A．2 B．4 C．6 D．8 5．设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ） A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B．展开式中的常数项为 C．若方程表示椭圆，则 D．点在直线上运动，的最大值是 8．将曲线经过旋转可得到双曲线，若直线与只有一个公共点，与交于两点，则（    ） A． B． C． D． 9．已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（    ） A．图形内部空白区域的面积最小值为 B．图形上的点到原点的最小距离为 C．当时，图形关于对称 D．当时，图形内外边界的长度和为 10．已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 11．设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（   ） A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为 C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为 三、填空题 12．设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 13．点在直线上，点在抛物线上，记两点间的最小距离为，若，则 . 四、解答题 14．已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值. 15．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为：（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为． (1)求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）； (2)求证：； (3)定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点做斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：． 16．已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 17．已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上.    (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面解析几何 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离 【分析】根据给定条件，求出圆心距即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 则，所以两圆外切. 故选：C. 2．（2025·山东菏泽·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、抛物线中的定值问题 【分析】假设三个点的坐标，分别求出其斜率，根据条件即可求解A的坐标. 【详解】设，，， 则， 所以， 解得，故， 故点A的坐标为， 故选：B. 3．（2025·山东临沂·一模）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可. 【详解】，所以该直线的一个方向向量为， 因为，所以向量与向量是共线向量， 其他选项的向量与向量不是共线向量， 故选：B 4．（2025·山东济宁·一模）设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】利用抛物线的性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，过作垂直于准线于点，作于点， 则， ，同理可证 ，解得， 所以， ， 故选：D． 5．（2025·山东聊城·一模）设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义，结合三角形的三边关系以及共线关系可得周长范围，再与给定范围比对即可得解. 【详解】令椭圆右焦点为，， 周长，当且仅当共线时取等号，则，即， 又，因此， 则，解得，所以C的离心率为. 故选：A. 6．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】求点到直线的距离 【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值. 【详解】依题意在区间上有零点， 整理得在上有解， 表示坐标系中，直线（看成参数）上的点， 所以表示原点到直线上的点的距离的平方， 设， 由于，所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程. 距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性. 二、多选题 7．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B．展开式中的常数项为 C．若方程表示椭圆，则 D．点在直线上运动，的最大值是 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、根据方程表示椭圆求参数的范围、求点关于直线的对称点、向量夹角的计算 【分析】对于A，将已知条件两边同时平方，整理得到，结合平面向量的数量积的定义得到，由平面向量的夹角范围，进而可以判断选项；对于B，由二项式在的展开式的通项公式为，令，即可判断；对于C，根据椭圆的定义列出不等式组进行求解；对于D，利用对称性，结合三点共线，即可求解． 【详解】对于A选项，已知，将两边同时平方可得. 展开化简可得，即.可知. 当与同向时，，此时夹角为，不是锐角，所以A选项错误. 对于B选项，对于展开式的通项为. 令，解得. 将代入通项公式可得常数项为，所以B选项正确. 对于C选项，若方程表示椭圆，则需满足. 解得的取值范围是且，C选项错误. 对于D选项，设点关于直线的对称点为. 根据对称点的性质可得，解得，则，即. 根据三角形两边之差小于第三边可知. 根据两点间距离公式，所以的最大值是，D选项正确. 故选：BD. 8．（2025·山东临沂·一模）将曲线经过旋转可得到双曲线，若直线与只有一个公共点，与交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线定义、对勾函数性质以及旋转的性质依次求得，进一步只需联立与即可判断D. 【详解】对于BC，由题意将曲线夹在中间的两条渐近线方程为， 所以这两条渐近线所形成的那个锐角的一半为， 曲线的两条渐近线的中间那条直线为， 联立以及，解得或， 由旋转的性质可得，，，解得，故BC正确， 对于A，若直线与只有一个公共点，由对勾函数性质可得，故A错误； 对于D，要求，由双曲线的对称性可知，只需联立与， 解得或，即，故D错误. 故选：BC. 9．（2025·山东日照·一模）已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（    ） A．图形内部空白区域的面积最小值为 B．图形上的点到原点的最小距离为 C．当时，图形关于对称 D．当时，图形内外边界的长度和为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，由题知当时，内部空白区域是以为圆心，为径的圆，即可求解；对于B，利用圆的几何性，即可求解；对于C，设点，存在参数满足，再通过计算得到也在上，即可求解；对于D，内边界的长度，再利用题设定义及几何关系，即可求解. 【详解】对于A，由题知点集是以，为半径的圆， 如图1，当时，内部空白区域是以为圆心，为半径的圆，此时空白区域面积最小， 即内部空白区域的面积最小值为，所以命题A正确； 对于B，因为图形上点到原点距离为， 由构成该图形的动圆中，圆心到原点距离，半径， 故每个圆到原点最小距离均为，故图形到原点的最小距离为，所以B错误； 对于C，当时，设点，存在参数满足， 则点与点关于直线对称，由，取， 代入 ， 即点也在中，故时，图形关于直线对称，所以C正确； 对于D，时，如图2，内边界的长度， 其中为圆，半径为， 、为圆半径为外边界， 而由，，为半圆，半径为， 为半圆半径为，为圆，半径为， 为圆，半径为， 故内外边界和为，所以D正确. 故答案为：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于将图形内外边界的长度转化成，结合题设，利用圆的面积公式求解. 10．（2025·山东菏泽·一模）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B，通过分析方程的特征可求出的范围；对于C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D，对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可. 【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确； 选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求， 得，即，超出，同理的范围也超过，B错误； 选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和， 故弦长为，C正确； 选项D：则即 又，即， 则 同理可得：， 则曲线的上任一点到的距离之和为： 曲线表示以为焦点且的椭圆，则， 则线段的最大值为正确； 故选：ACD 【点睛】点睛：关键点点睛：对于D选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线方程表示的是椭圆，利用椭圆的性质求解即可. 11．（2025·山东聊城·一模）设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（   ） A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为 C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线方程求焦点或准线、求点到直线的距离、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据直线的定点求法计算判断A，根据焦点坐标判断B，设l的方程及A、B坐标，利用导数求抛物线切线斜率及切线方程，联立两直线可得P坐标判定C，利用点到直线的距离公式、弦长公式结合幂函数的性质、三角形面积公式可判定D. 【详解】对于A：化简为， 无论为何值时，令，可得定点为，A选项正确； 对于B：的焦点在轴且，所以，所以抛物线的焦点为，B选项错误； 对于C：设，与抛物线方程联立有， 设，，有，， 由，所以的斜率分别为， 又因为,则两切线，， 联立两直线方程解得，所以， 点到坐标原点的距离为， 当时点到坐标原点的最小距离为，所以C正确； 对于D：P到l的距离为， 所以， 当时，此时取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点时应用弦长公式和点到直线距离得出面积结合二次函数最值计算求解. 三、填空题 12．（2025·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出渐近线. 【详解】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得. 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以，所以渐近线方程为. 故答案为： 13．（2025·山东临沂·一模）点在直线上，点在抛物线上，记两点间的最小距离为，若，则 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】抛物线的应用 【分析】本题可先求出、两点横坐标的关系，进而得出的表达式，然后求出，最后根据的表达式计算的值. 【详解】已知点在直线上， 则将点代入直线方程可得  ①. 点在抛物线上，则将点代入抛物线方程可得  ②. 因为、两点纵坐标相同，所以. 由①可得，由②可得，则. 令，则，将其转化为顶点式： ， 因为，所以当时，取得最小值，. 因为，所以，则. ， 可以发现上式中相邻两项的分子分母可以约分，约分后可得： . 故答案为： 【点睛】方法点睛： 对于求平面直角坐标系中两点间距离最值的问题，先根据点所在的曲线方程得到坐标之间的关系，再将距离表示为关于某一变量的函数，通过函数的性质（如二次函数的顶点式）来求解最值.在处理连乘形式的式子时，要善于观察式子中各项的规律，通过约分等方法简化计算. 四、解答题 14．（2025·山东烟台·一模）已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题目中的焦距与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联里椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式，可得答案；（ii）根据圆的对称性，分情况求弦长，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由椭圆的焦距为，则， 由椭圆的离心率为，则，解得， 易知，则可得椭圆. （2）（i） 当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，易知，解得； 当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得，解得， 由. （ii） 由圆的对称性，则， 由（i）可知： 当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立，则， 综上可得，故的最小值为. 15．（2025·山东淄博·一模）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为：（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为． (1)求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）； (2)求证：； (3)定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点做斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两点求斜率、椭圆的参数方程 【分析】（1）根据距离公式得到方程，化简即可得到椭圆方程，再改写成参数方程即可； （2）左边变形得，再利用两角和差的正弦公式展开即可； （3）设出几个点坐标，则得到的坐标，再证明出，最后再利用两点斜率表达式证明即可. 【详解】（1）根据题意，动点的轨迹方程为， 将上式两边平方并化简得：．即， 故动点的轨迹方程， 则参数方程为. （2）证明: . （3）设， ，则， 则 ， 同理， 因此， 所以， 即， 所以， 下面证， ， 同理， 因此. 即平行。 【点睛】关键点点睛：本题第二问的证明关键是灵活运用两角和差的正弦公式即可. 16．（2025·山东临沂·一模）已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)，或； (3) 【难度】0.4 【知识点】根据弦长求参数、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可 （3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为该椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； （2）当直线的斜率为零时，此时方程为，此时， 显然此时，不符合题意， 故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， 由 ， 所以直线的方程为，或； （3）由（2）可知：，所以 因此的坐标为， 设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ， 所以的坐标为， 因为的斜率乘积为， 所以，因此的坐标为， 显然边与横轴平行， 因此， 即 即时，取等号，即当时取等号， 所以面积的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的坐标，再根据直线斜率的关系，把两个点的坐标统一一个变量，最后利用基本不等式进行求解. 17．（2025·山东菏泽·一模）已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上.    (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见详解；②是定值，. 【难度】0.15 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据已知条件得到关于的方程组，求解即可； （2）①设切线的方程为，由圆O的圆心到直线的距离公式可得，将直线的方程代入双曲线方程，由韦达定理即向量数量积的运算可得，同理可得，进而得到Q，O，R三点共线，由双曲线的对称性即可得证； ②由，可得，再利用向量数量积的运算及圆的性质即可得解. 【详解】（1）由双曲线C的渐近线方程，可知，即. 把点带入双曲线C的方程得，由，解得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为， 由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ，    把代入消y得， 由题意知.设，，， 则由韦达定理可知，， 则， 所以， 所以，所以， 同理可得，所以Q，O，R三点共线， 又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称. ②是定值，证明如下：     连接，，，由①知：，，所以， 所以，所以为定值. 【点睛】关键点睛：将直线方程代入双曲线方程，借助韦达定理推出是关键. 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$