专题02 函数与导数-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（山东专用）

专题02 函数与导数 一、单选题 1．（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（    ）（，精确到年） A．年 B．年 C．年 D．年 2．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东烟台·一模）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 4．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济南·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025·山东济宁·一模）若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东济南·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东潍坊·一模）已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东烟台·一模）已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（2025·山东·一模）设函数的导函数为，当时满足，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山东泰安·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 15．（2025·山东菏泽·一模）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（   ） A．若的周期为1，则满足性质 B．若，则不满足性质 C．若（且）满足性质，则 D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 16．（2025·山东聊城·一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若是增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2025·山东淄博·一模）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 19．（2025·山东青岛·一模）已知狄利克雷函数设函数，则（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域是 D．在区间上的有理数零点恰有3个 三、填空题 20．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 21．（2025·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 22．（2025·山东潍坊·一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ． ①；②在上是增函数． 23．（2025·山东·一模）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程 ． 24．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是 ． 25．（2025·山东济宁·一模）已知函数是奇函数，则实数 ． 26．（2025·山东日照·一模）已知函数，则 ． 27．（2025·山东聊城·一模）设实数，函数为奇函数，则 . 28．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 29．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 30．（2025·山东泰安·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 31．（2025·山东济宁·一模）已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由； (2)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围； (3)证明：函数为“切线支撑”函数． 32．（2025·山东潍坊·一模）已知函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)当时，求的解集； (3)若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系． 33．（2025·山东·一模）已知函数． (1)当时，求函数的零点个数； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 34．（2025·山东济南·一模）已知，函数，. (1)当时，求的极值； (2)若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 35．（2025·山东青岛·一模）已知函数，. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：. 36．（2025·山东淄博·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：时，； (3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 37．（2025·山东菏泽·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，存在，使得，求a的取值范围. 38．（2025·山东临沂·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 39．（2025·山东聊城·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 40．（2025·山东日照·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 一、单选题 1．（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（    ）（，精确到年） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】令，解此方程即可. 【详解】令可得，可得，所以，， 故臭氧消失一半所需要的时间约为年. 故选：D. 2．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故选：A. 3．（2025·山东烟台·一模）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数周期性的应用、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据已知得到是周期为8的偶函数，再利用周期性、偶函数性质有，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为，即可得答案. 【详解】由，则， 所以，即是周期为8的函数， 由为奇函数，则，则， 所以，即是偶函数， 由，则，结合周期性， 对于，依次为， 所以是周期为4的函数，则 ， ， ， ， ， ， 综上，易知时，，时，. 所以正整数的最小值为19. 故选：B 【点睛】关键点点睛：首先确定是周期为8的偶函数，再求相关函数值，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为是关键. 4．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、导数的乘除法、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D. 5．（2025·山东济南·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误； 令，求导后再分、、分别讨论单调性后放缩可得D正确. 【详解】对于A，令，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故A错误； 对于B，令，，则， 所以在上单调递增，即，故B错误； 对于C，因为，令时，， ， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，，则， 当时，，所以； 当时，，，且区间对应每一个值都使得，所以； 当时，， ，且区间对应每一个值都使得，所以； 综上则在上恒成立，所以在上单调递增， 即，故D正确. 故选：D 6．（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、求分段函数值 【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，将代入即可求解. 【详解】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故选：B. 7．（2025·山东济宁·一模）若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中锐角由确定， 由，得，而， 因此，即，则， 即，于是， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 8．（2025·山东济南·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：B 9．（2025·山东潍坊·一模）已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图象的应用、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】先设，根据，求出，再根据指数式与对数式的转化，可求的值. 【详解】因为与成正比例关系，所以可设， 由. 由， 又，所以. 故选：B 10．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 11．（2025·山东烟台·一模）已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】不妨令，应用导数的几何意义求切点为的直线斜率，再由点在切线上、抛物线上求m，列方程求p即可. 【详解】不妨令，由，则， 所以，切点为的直线斜率为，则切线为，故， 又，即（负值舍），则. 故选：C 12．（2025·山东·一模）设函数的导函数为，当时满足，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，由已知条件可求得，从而解得的解析式，对求导判断得函数的单调性，从而可得，再由，即可求解. 【详解】令，， 故(为常数)， 又， 故， 所以，定义域为，， 所以在区间上单调递减， 因为，所以， 又由， 故. 故选：A. 13．（2025·山东泰安·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】构造函数，可得，，则由题意可得，再利用的单调性即可得解. 【详解】由题意可得， 则， 即， 令，在上单调递增， 则，，即， 故，即. 故选：D. 14．（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可． 【详解】由， 不妨设，两切线的斜率分别为， 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当，则有， 此时，变形得． 故选：A 15．（2025·山东菏泽·一模）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（   ） A．若的周期为1，则满足性质 B．若，则不满足性质 C．若（且）满足性质，则 D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数周期性的应用、判断或证明函数的对称性、由正弦（型）函数的周期性求值、函数新定义 【分析】根据新定义结合条件逐项进行验证． 【详解】选项A，的周期为1，则，从而有，因此具有性质，但不一定成立，A错； 选项B，，，所以，所以具有性质，B错； 选项C，若（且）满足性质，则，所以，从而，C错； 选项D，偶函数满足性质，即，又是偶函数， 所以，所以图象关于直线对称，D正确， 故选：D． 16．（2025·山东聊城·一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若是增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，根据判别式，结合二次函数的性质分类求解. 【详解】要使奇函数是增函数，则需要在上单调递增，且， 当时，恒成立， 因为，此时的对称轴，所以只需即可，即. 故选：B 17．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 二、多选题 18．（2025·山东淄博·一模）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、正态曲线的性质 【分析】由正态分布可求得，判断A；易得在上是减函数，可判断B；计算，可判断C；证明可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，当增大时，减少， 所以在上是减函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若的图象关于点中心对称，则， 因为服从正态分布，所以关于对称， 所以， 则，故D正确. 故选：AD. 19．（2025·山东青岛·一模）已知狄利克雷函数设函数，则（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域是 D．在区间上的有理数零点恰有3个 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx的函数的最小正周期、求函数零点或方程根的个数 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断A；根据函数的周期性和定义和函数的定义可判断B；函数及三角函数的值域可判断C；应用特殊三角函数值可判断D． 【详解】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则， 当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数， 故，是奇函数，故A正确； 对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则， 当为无理数时，也是无理数，则， ，即函数是周期函数，故B正确； 函数的值域为，当为无理数时，， 当为有理数时，，不能取到一个周期所有实数，所以取不到全部，故C错误； ，当为有理数时，，得出在区间上有，3个有理数零点，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题 20．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，，，由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可. 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 21．（2025·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、复合函数的最值 【分析】首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式求出与的关系；通过几何图形作辅助线，构造可得，求出的范围，进而根据二倍角公式，求得的取值范围. 【详解】在中，， ， 即； 又，，即，又； 故， 如图，在中，过作的垂线，且使，则，   ，即，可得， ，即，， , 设，，在区间单调递减， ，即, ，当且仅当时，即三点共线时等号成立. 验证：如下图中，若时，满足， 此时，， 故存在这样的，使得成立.    因此的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系；二是构造几何图形求解的范围，进而利用二倍角公式求解的范围. 22．（2025·山东潍坊·一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ． ①；②在上是增函数． 【答案】（答案不唯一，形如都可以） 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、研究对数函数的单调性 【分析】取验证①②即可. 【详解】对于函数，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足②； 对任意的、，，满足①. 故答案为：（答案不唯一，形如都可以）. 23．（2025·山东·一模）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程 ． 【答案】或（写出其中一个即可）； 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】首先设出切点，再分别求切线方程，公切线的性质，列式求解. 【详解】设切线与函数的图象切于点，， 所以切线方程为，即 设切线与函数的图象切于点，， 则切线方程为，即， 若两条切线是一条直线，则，得， 得，解得：或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故答案为：或（写出其中一个即可）； 24．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对不等式进行变形可得，构造函数，利用导数研究的单调性，进而可求的取值范围. 【详解】在上恒成立 当时，即解得，此时. 令则， ①当时，．在上单调递增， 恒成立，恒成立， ； ②时．在上单调递减，在上单调递增 ， 解得与矛盾，舍去； 综上所述，的取值范围为 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用导数研究的单调性结合条件分类讨论可得. 25．（2025·山东济宁·一模）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数性质求实数的值，并根据奇函数的定义求解. 【详解】因为，可知函数的定义域为， 且函数是奇函数，则， 解得，则， 又因为 ， 即，可知函数是奇函数， 所以符合题意. 故答案为：1. 26．（2025·山东日照·一模）已知函数，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、求分段函数值 【分析】根据自变量的取值范围代入相应的函数表达式进行计算，然后将计算结果相加 . 【详解】因 ， ， 则. 故答案为：. 27．（2025·山东聊城·一模）设实数，函数为奇函数，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义可求出的值，然后代值计算可得的值. 【详解】实数，且函数为奇函数， 则， 由奇函数的定义可得，即， 整理可得，则，因为，解得， 所以，，故. 故答案为：. 28．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 5 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立， 所以，即 令且，则， 时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 则 因此可得在上，恒成立， 令且， 所以， 令，， 在单调递增，且， 则时，，函数在单调递减， 时，，函数在单调递增， 因此可得，即， 则当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 所以，故只需. 故答案为：5， 【点睛】关键点点睛：将不等式恒成立化为在上恒成立，再应用导数研究右侧的最大值为关键. 四、解答题 29．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【详解】（1）由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 30．（2025·山东泰安·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可； （2）对函数求导，需要对参数进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增减； （3）由题意得有两个不同实根,令，对进行分类讨论，确定函数的零点个数，从而求得的取值范围. 【详解】（1）由题意的定义域为 当时，， ，，又， 在处的切线方程为，即 （2）， ， 当，即时，， 在上单调递减， 当，即时，在上，，在上， 在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）方程有两个不同实根， 等价于方程有两个不同实根, 设， 则且， 当时，时，时，， 此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意； 当时，在上单调递增， 当时，， 存在使， 在上，在上， 在上单调递减，在上单调递增， ， 又， 设，则， 当时，单调递减， 又，，又， 在上和上各有一个零点，符合题意； 当时，， 在上，在上， 在上单调递增，在上单调递增， ， 只有一个零点，不符合题意； 当时，， ， 存在使得， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， 又当时，单调递增， 又，，在上存在一个零点 又，时有两个零点，符合题意； 综上，方程有两个不同实根时，或. 【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数零点问题，1是对参数分类讨论，利用函数的单调性与零点存在性定理判断函数零点个数；2是参变分离，利用两个函数交点个数问题，数形结合求解. 31．（2025·山东济宁·一模）已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由； (2)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围； (3)证明：函数为“切线支撑”函数． 【答案】(1)是； (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）先由降幂公式和辅助角公式得到，再结合函数新定义和正弦函数的取值可得； （2）先由导数分析单调性得到切点必在轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函数新定义构造函数，分析单调性得到极值； （3）由函数新定义结合导数的意义得到点处的切线方程，再结合余弦函数的取值证明. 【详解】（1）, 显然， 令，得，即， 所以是的极小值点，且为曲线得一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取. （2）当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的左侧； 所以切点必在轴的两侧. 不妨设，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为两点处的切线重合，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为. （3）因为，设， 所以点处的切线方程为和， 所以， 所以， 不妨取， 则，即， 所以，不妨取，则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造函数，利用单调性得到隐零点，再求极值. 32．（2025·山东潍坊·一模）已知函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)当时，求的解集； (3)若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系． 【答案】(1)和 (2) (3)曲线在点处的切线斜率小于两点连线的斜率 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，根据，令求得增区间； （2）当时，可判断在上单调递增，结合求解； （3）设出三点坐标，分别表示出曲线在点处切线斜率和两点连线斜率，通过作差比较，构造函数借助导数证明. 【详解】（1）由，， 令，得或，由于，则， 令，解得或， 所以的单调增区间为和. （2）当时，，且， 又，即在上单调递增， 所以的解集为. （3）设，，，且，， 曲线在点处切线斜率为， 两点连线斜率为 ， ， 令，则， 令，， 则，令， ，即在上单调递减， ，即， 所以在上单调递减，故， ，又，即， 所以，即， 所以曲线在点处切线斜率小于两点连线斜率. 33．（2025·山东·一模）已知函数． (1)当时，求函数的零点个数； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）当时，，对求导判断函数的单调性，即可求得函数的零点个数； （2）判断可知为奇函数，若函数有且只有一个零点，由于，则当时，或时成立，进而分别当，，时，对函数进行讨论，从而得解. 【详解】（1）当时，，定义域为． 于是，故在上单调递减． 又，故函数的零点个数为1． （2）因为， 所以为奇函数， 若函数有且只有一个零点，由于， 则当时，或， 由（1）可知当时，在上单调递减， 此时，即． 若，则当时，，符合题意． 因为，令， 则． 令，则． 若，则， 故在上单调递增，于是．故在上单调递增， 于是．则在上单调递增，此时，符合题意． 若，记且， 则当时，． 故在上单调递减，于是．故在上单调递减， 于是．则在上单调递减，此时． 又，故在上存在零点，矛盾． 综上所述，实数a的取值范围为． 【点睛】思路点睛：本题中为奇函数，若函数有且只有一个零点，由于，则当时，或时成立，因而分别讨论，，时，当时，的正负情况，从而得解. 34．（2025·山东济南·一模）已知，函数，. (1)当时，求的极值； (2)若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【详解】（1）时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. （2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 35．（2025·山东青岛·一模）已知函数，. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可. 【详解】（1）当时，，， 则， 当或时，； 当时，， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增. （2）由，，得， 因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根， 设为且，因为函数在时的图象关于轴对称， 所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以分别是函数的极大值点和极小值点， 即，， 又，即， 则， 又，则，， 设，， 则，即函数在上单调递减， 所以，即. 36．（2025·山东淄博·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：时，； (3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 【答案】(1)的增区间为，减区间为. (2)见解析 (3)整数的最大值为． 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）直接利用导数判断的单调区间； （2）要证，即证，令，对求导，得到即可证明. （3）分离常数，得，为此求出函数在上的最小值．这可利用导数知识求解． 【详解】（1）函数的定义域是，， 当时，；当时，． 所以，的增区间为，减区间为. （2）要证时，，即证在恒成立， 令，， ， 令，， 当时，，， 所以在上单调递减，所以， 则，所以在上单调递减， 所以，所以， 综上，时，； （3）不等式等价于不等式， 由可得：， 设，， 则， 设，函数的定义域是， ， 设，则， 令，则， 时，，在上为增函数， 时，，在上为减函数， ∴在处取得极大值，而， ∴，函数在上为减函数． 于是当时，，当时，， ∴当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 故函数的增区间为，减区间为， 所以，所以，即 ∴，，于是在上为减函数， 故函数在上的最小值为， 所以，所以整数的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 37．（2025·山东菏泽·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，存在，使得，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出导函数，对参数进行讨论，判断与0的大小即可得到相应的单调性； （2）依题意，由参数可知只需即可，结合（1）可求. 【详解】（1） 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增； 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）因为存在，使得.只需或 因为，所以     所以只需，由（1）知为与中的较大者 所以或，解得或，     所以 综上所述，a的取值范围为 38．（2025·山东临沂·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】（1）由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）令，则， 令， 则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， ，当时，， 当时，， 如图，作出函数的大致图象， 因为函数在上恰有两个零点， 所以函数的图象恰有两个交点， 所以的取值范围为. 39．（2025·山东聊城·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性. （2）利用极值点与导数的关系，结合二次函数和韦达定理，构造函数，求导研究单调性，解不等式求解. 【详解】（1）的定义域为. 求导可得：. 令，其判别式. 当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增. 当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，. 因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增. 当时，，则，，且， 此时在和上，，，单调递增； 在上，，，单调递减. 综上所得， 当时， 在上单调递增. 当时，在和上单调递增；在上，单调递减. （2）因为有两个不同的极值点，所以且，解得. 由韦达定理可知，，代入上式可得： . 已知，即， 可得，即. 令，对求导得. 因为，所以，在上单调递增. 又，所以的解集为， 即实数的取值范围是. 40．（2025·山东日照·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间； （2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$