专题08 平面向量与复数-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（山东专用）

专题08 平面向量与复数 一、单选题 1．（2025·山东青岛·一模）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2025·山东济南·一模）设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东临沂·一模）（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·一模）若，则（   ） A． B． C．1 D． 9．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·山东聊城·一模）已知角，向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东青岛·一模）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·山东·一模）设为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B．展开式中的常数项为 C．若方程表示椭圆，则 D．点在直线上运动，的最大值是 17．（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线 C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为 三、填空题 18．（2025·山东潍坊·一模）已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是 ；若与不共线，，，，，则 ． 四、解答题 19．（2025·山东泰安·一模）在中，内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面向量与复数 一、单选题 1．（2025·山东青岛·一模）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数除法、乘法、共轭复数等知识求得正确答案. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 2．（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：B. 3．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案； 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 4．（2025·山东济南·一模）设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 5．（2025·山东临沂·一模）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算 【分析】运算复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】， 故选：A 6．（2025·山东潍坊·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法求复数，再根据复数的几何意义确定复数对应点的坐标. 【详解】因为. 所以复数对应点的坐标为：. 故选：A 7．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的向量表示 【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 所以向量对应的复数为. 故选：D. 8．（2025·山东·一模）若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算法则，计算求得复数，再由复数的模的定义即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 9．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、由复数模求参数 【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 10．（2025·山东聊城·一模）已知角，向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，则， 向量，，若，则，可得， 故. 故选：B. 11．（2025·山东青岛·一模）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、求投影向量 【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：A. 12．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可. 【详解】在中，， 所以， 则 . 故选：C. 13．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解. 【详解】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. 14．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得. 【详解】，所以，两边平方可得， 又，所以， 所以. 故选：D 15．（2025·山东·一模）设为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆、圆的参数方程 【分析】假设点坐标，由此可得对应点的轨迹，采用三角换元法，根据向量坐标运算可将表示为关于的函数，结合正弦函数值域可求得结果. 【详解】由题意可设：，，， ，， ，即， 可令，， ，. 故选：C. 二、多选题 16．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B．展开式中的常数项为 C．若方程表示椭圆，则 D．点在直线上运动，的最大值是 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、求点关于直线的对称点、根据方程表示椭圆求参数的范围、求指定项的系数 【分析】对于A，将已知条件两边同时平方，整理得到，结合平面向量的数量积的定义得到，由平面向量的夹角范围，进而可以判断选项；对于B，由二项式在的展开式的通项公式为，令，即可判断；对于C，根据椭圆的定义列出不等式组进行求解；对于D，利用对称性，结合三点共线，即可求解． 【详解】对于A选项，已知，将两边同时平方可得. 展开化简可得，即.可知. 当与同向时，，此时夹角为，不是锐角，所以A选项错误. 对于B选项，对于展开式的通项为. 令，解得. 将代入通项公式可得常数项为，所以B选项正确. 对于C选项，若方程表示椭圆，则需满足. 解得的取值范围是且，C选项错误. 对于D选项，设点关于直线的对称点为. 根据对称点的性质可得，解得，则，即. 根据三角形两边之差小于第三边可知. 根据两点间距离公式，所以的最大值是，D选项正确. 故选：BD. 17．（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线 C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由坐标判断向量是否共线、向量垂直的坐标表示、利用坐标求向量的模、求投影向量 【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D. 【详解】由题意知，. 对于选项A，若向量，则，即， 显然此式能成立，故A错； 对于选项B，若向量，则有，即， 即，显然此式不成立，故 B正确； 对于选项C，， 则当时，，故C错； 对于选项D，若，则，， 则在上的投影向量为，故D 正确. 故选：BD 三、填空题 18．（2025·山东潍坊·一模）已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是 ；若与不共线，，，，，则 ． 【答案】 2 【难度】0.4 【知识点】平行向量（共线向量）、向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用数量积定义及运算律可得第一空；设，利用平面向量的线性运算分类讨论结合共线的充要条件确定的值即可. 【详解】要使最小，需模长最大，且与夹角为， 故当同向，且反向时，， 可取得最小值； 设，即，又，，均为单位向量， 若共线，则首尾相连一条线段，则此时与共线，不符题意； 所以不共线，则首尾相连形成一个菱形，即， 因为，， 所以，则， 所以. 故答案为：， 四、解答题 19．（2025·山东泰安·一模）在中，内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、向量夹角的计算 【分析】（1）由题意及正弦定理可得，根据两角和的正弦可得，根据诱导公式和内角和定理计算即可； （2）由（1）的结论结合余弦定理列方程组求解即可； 【详解】（1）由题意得即， .， ， ，， ； （2）由（1）可得 ，， ，又， ， 由得或 ， 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$