专题07 数列-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（山东专用）

专题07 数列 一、单选题 1．（2025·山东潍坊·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．42 D．84 2．（2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2025·山东·一模）已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（   ） A． B． C． D．1 4．（2025·山东青岛·一模）设是关于的方程的正实数根.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东烟台·一模）已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C．5 D．15 6．（2025·山东临沂·一模）设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（    ） A．49 B．50 C．99 D．100 7．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·山东日照·一模）已知等差数列中，，则（    ） A．15 B．9 C． D． 二、多选题 9．（2025·山东济南·一模）已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东潍坊·一模）设函数，数列满足，，则（   ） A． B．为定值 C．数列为等比数列 D． 11．（2025·山东泰安·一模）已知无穷数列，若对，都有，则称与“伴随”，则下列选项正确的是（    ） A．若，则与“伴随” B．若的前项和为，则与“伴随” C．若的前5项为与“伴随”，设集合，则中元素个数为4或5 D．若是公差为的等差数列，且所有的“伴随”数列都是递增数列，则 12．（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前项和为 D． 三、填空题 13．（2025·山东淄博·一模）已知等比数列的各项为正数，首项和为，若，则公比 ． 四、解答题 14．（2025·山东·一模）两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为． (1)求和； (2)证明：； (3)证明：． 15．（2025·山东聊城·一模）若各项为正数的无穷数列满足：对于都有，其中为非零常数，则称数列为“平方等差数列”. (1)判断无穷数列和是否是“平方等差数列”，并说明理由； (2)若是“平方等差数列”. （ⅰ）证明：存在正整数，使得不等式成立； （ⅱ）证明：存在正整数，使得. 16．（2025·山东青岛·一模）若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”. (1)若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由； (2)若数列满足，，证明：数列“非零可表”； (3)证明：存在满足的数列“非零可表”. 17．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 18．（2025·山东烟台·一模）设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且. (1)若数列，求数列； (2)若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 19．（2025·山东菏泽·一模）定义正方形数阵满足，其中i，. (1)若，求数阵所有项的和T； (2)若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； (3)若，，且，求的值为奇数的概率. 20．（2025·山东临沂·一模）《教育强国建设规划纲要（年）》中指出深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板，某中学为了解学生每天参加综合体育活动的情况，随机调查了100名男生和100名女生，统计他们周一到周五在校期间的运动步数，数据如下表所示： 运动步数（万步） 合计 人数（男） 12 9 4 100 人数（女） 14 7 2 100 表中数据成等差数列；成公比为正整数的等比数列. (1)若周一到周五在校期间的运动步数达到5万步视为体育锻炼达标，估计该中学男生体育锻炼的达标率； (2)为进一步了解女生每天参加综合体育活动的情况，在步数位于两组内的女生中，采用等比例分层抽样的方法抽取10人，现从这10人中随机抽取3人进行访谈，记步数在内的人数为，求的分布列和期望. 21．（2025·山东日照·一模）已知数列为等差数列，且满足． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 数列 一、单选题 1．（2025·山东潍坊·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．42 D．84 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的性质先求出，再根据求和公式可求. 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以. 故选：C 2．（2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断. 【详解】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 3．（2025·山东·一模）已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设等差数列是公差为，根据给定条件列得方程组，进而求解即可. 【详解】设等差数列是公差为， 由，得，整理得， 因为，所以得， 由，得， 解得：. 故选：A. 4．（2025·山东青岛·一模）设是关于的方程的正实数根.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、求等差数列前n项和 【分析】令，分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出，可得出，对为奇数和偶数进行分类讨论，讨论的取值，结合并项求和法以及等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】令，则函数在上为增函数， 因为， ， 由零点存在定理可得，则， 当为正奇数时，设，则，则， 当为正偶数时，设，则，则， 所以， . 故选：B. 【点睛】关键点睛：解本题的关键在于利用零点存在定理得出的取值范围，并由此讨论的取值，结合数列求和求解. 5．（2025·山东烟台·一模）已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C．5 D．15 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解. 【详解】由等比数列性质可知，， 又，解得或， 当时，， 所以，故， 当时，， 所以，故， 综上，， 故选：D 6．（2025·山东临沂·一模）设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（    ） A．49 B．50 C．99 D．100 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系求出的表达式，进一步解不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 即，此时 ，也满足该式， 故， 若，解得，故所求为100. 故选：D. 7．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据充分必要条件的判断方法,分充分性和必要性,分别判断. 【详解】充分性：若对，，都有， 则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列; 必要性:等差数列不一定满足,,, 例如:当等差数列通项公式为时,,, 此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件. 故选：A 8．（2025·山东日照·一模）已知等差数列中，，则（    ） A．15 B．9 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质，利用已知条件求出的值，进而求出所要求的式子的值. 【详解】在等差数列中，已知，所以，即，那么. 同样根据等差数列性质，所以. 则. 把代入可得. 故选 ：B 二、多选题 9．（2025·山东济南·一模）已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】对A直接代入计算即可；对B，利用反证法即可证明，对C，通过不断代入得到，再结合其单调性即可判断C，对D，通过代入归纳总结得到时，，再代入合理值即可判断. 【详解】对A，在原式中令，则，故A正确； 对B，若，单调递增，则，则，即矛盾，舍去，故，故B正确； 对C，由得，则，则， ，，原式中令， 令，因为递增数列，C错； 对D，由，令，由单调递增， ，令，令则， 则时，，且， 则时，时，， 当时，时，， 在原式中令， 同理由，D正确， 故选：ABD． 10．（2025·山东潍坊·一模）设函数，数列满足，，则（   ） A． B．为定值 C．数列为等比数列 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列递推公式以及首项，可得第二项，可得A的正误；根据题意整理，可得B的正误；根据等比数列的定义，由递推公式整理，可得C的正误；由C写出通项，利用作差法，可得D的正误. 【详解】由，，则，故A正确； 由，则显然非常数，故B错误； 由，又，则， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确； 则，即， 由，则，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·山东泰安·一模）已知无穷数列，若对，都有，则称与“伴随”，则下列选项正确的是（    ） A．若，则与“伴随” B．若的前项和为，则与“伴随” C．若的前5项为与“伴随”，设集合，则中元素个数为4或5 D．若是公差为的等差数列，且所有的“伴随”数列都是递增数列，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】数列新定义 【分析】赋值法可判断A；利用定义可得，可判断B；对于C，计算的范围，考虑相等的情况可判断C；由已知可得，结合单调性可得，计算即可. 【详解】对于A，当时，，故与不是“伴随”，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以与“伴随”，故B正确； 对于C：因为与“伴随”，故，故， 因为的前5项为， 所以，，，，， 故可能和相等，和相等，但不能同时成立，与不相等， 故中元素的个数为4或5，故C正确； 对于D，是公差为的等差数列，所以， 因为与“伴随”，故，故， 又因为数列都是递增数列，所以， 所以，，所以， 解得，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是正确理解数列的新定义，利用新定义计算求解即可. 12．（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求等差数列前n项和、求椭圆的切线方程、利用导数证明不等式 【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D. 【详解】设直线，联立， 得， 则由，即， 解得（负值舍去），故A正确； 可得，， 所以，故B正确； 因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则， 可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由，得出，，进而判断各选项. 三、填空题 13．（2025·山东淄博·一模）已知等比数列的各项为正数，首项和为，若，则公比 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据的定义以及等比数列的定义，建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 由，，则， 整理可得，分解因式可得， 解得或（舍去）. 故答案为：. 四、解答题 14．（2025·山东·一模）两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为． (1)求和； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用全概率公式求概率、求等比数列前n项和、计算条件概率 【分析】（1）根据给定条件，当1次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母，则为两个盒子中相同字母的卡片进行交换，从而求得概率；当2次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母，分别求得两次都交换相同字母的卡片的概率和第1次交换的是不同字母的卡片，第二次将其换回的概率，求和即可求得概率； （2）用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件，则有，可知，．再由全概率公式可得，由递推关系求得，即可进行证明. （3）利用放缩法可得，故，再结合等比求和公式，即可进行证明. 【详解】（1）对两个盒子中相同字母的卡片进行交换，则． 若第1次交换的是相同字母的卡片，则第二次仍需将两个盒子中相同字母的卡片进行交换， 此时概率为． 若第1次交换的是不同字母的卡片，有种情况， 不妨设将第一个盒子中的A和第二个盒子中的B进行交换， 则第二次需要将第一个盒子中的B和第二个盒子中的A进行交换， 此时概率为．于是． （2）用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件， 则有． 对相同字母的卡片进行交换可知． 假设第一个盒子里装有卡片X，Y，Y，第二个盒子里装有卡片X，Z，Z， 注意到两个盒子中都有两张相同字母的卡片， 因此，只需用第一个盒子中的任意一张写有字母Y的卡片交换第二个盒子中的任意一张写有字母Z的卡片即可变为两个盒子中都是A，B，C三种字母的卡片各一张的状态． 所以． 再由全概率公式可得， 于是，．故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，． 从而有． （3）由于， 于是． 15．（2025·山东聊城·一模）若各项为正数的无穷数列满足：对于都有，其中为非零常数，则称数列为“平方等差数列”. (1)判断无穷数列和是否是“平方等差数列”，并说明理由； (2)若是“平方等差数列”. （ⅰ）证明：存在正整数，使得不等式成立； （ⅱ）证明：存在正整数，使得. 【答案】(1)数列是“平方等差数列”， 数列不是“平方等差数列”，理由见详解. (2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解. 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、数列新定义、等差数列的应用 【分析】（1）由定义分别验证两个数列是否满足定义，即可得结果； （2）（i）由新定义“平方等差数列”得到数列通项公式，由放缩法得到，从而得到，然后由的单调性即可得证； （ii）由通项公式得到，由放缩法得，然后由列项相消得到的结果，然后由函数的单调性即可得证. 【详解】（1）数列中，，所以数列是“平方等差数列”； 数列中，，所以数列不是“平方等差数列”； （2）（i）∵， 设， 当时，一定存在使得，不成立，故 ∴， 则， ∵， ∴， ∵函数随的增大而减大，故存在使得，即得证. （ii） 由（2）得，故， 即， ∴ 由随的增大而增大，且时，， 故对任意的，总存在正整数使， 存在正整数，使得. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式. 16．（2025·山东青岛·一模）若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”. (1)若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由； (2)若数列满足，，证明：数列“非零可表”； (3)证明：存在满足的数列“非零可表”. 【答案】(1)不“非零可表”，理由见解析； (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析 【难度】0.15 【知识点】由递推关系式求通项公式、数列新定义、求等比数列前n项和、数学归纳法 【分析】（1）举出反例，得到不“非零可表”； （2）构造法求出，满足①②，，，显然满足要求，当时，，，综上，满足③，假设存在，使得，推出矛盾，从而满足④，数列“非零可表”； （3）构造：，，其中为的前项和，满足①②③④，证明出结论. 【详解】（1）不“非零可表”，理由如下： 中，则当， ，不满足④，故不“非零可表”； （2），当时，， 则，所以，， 故，， 又，所以，， 时，，， 所以，满足①②， ，，显然满足要求， 当时， ， 显然，，综上，满足③， 假设存在，使得， 则，， 其中 ， 即，显然矛盾，故不存在，使得，满足④， 综上，数列“非零可表”； （3），定义为小于等于的最大整数， 取数列：，，其中为的前项和， 显然是严格递增的正整数列，满足①②， ，， 假设对，都有， 则， ， 故， 下面证明满足③④， 若存在正整数以及，，…，，有， 故， 所以满足④， 若整数，不妨设，则由，取， 则有， 取，则有，③成立， 综上，构造的数列：，，其中为的前项和，“非零可表”. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 17．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）分析可知数列为常数列，即可得数列的通项公式，根据前n项和与通项公式之间的关系可得数列的通项公式； （2）由（1）可知：，利用裂项相消法求，进而分析证明. 【详解】（1）因为，可得， 即， 可知数列为常数列，则，所以； 又因为，则有： 若，可得； 若，则， 两式相减得； 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得， 显然，所以. 18．（2025·山东烟台·一模）设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且. (1)若数列，求数列； (2)若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 【答案】(1)； (2)（i）3；（ii）的所有可能取值为且. 【难度】0.15 【知识点】同余及孙子定理、数列新定义 【分析】（1）根据数列的定义，依次求出，进而确定； （2）（i）注意，各不相同，有，依此研究在各不同情况下的周期，即可得最小正周期；（ii）讨论的奇偶性，注意为奇数情况下证明时，即可得结论. 【详解】（1）由，对于，则， 同理，， 所以，对于，则， 同理，， 所以，依上的过程，易知； （2）（i）若，，则，记， 若，，则，记， 若，，则，记， 令，各不相同， 则， 若，则，，，显然，即是周期； 若，则，，，显然，即是周期； 若，则，即是周期；（注意为正整数）， 综上，对任意，为数列组周期，最小正周期是3； （ii）当为偶数，不妨设，则，为正整数， 此时不存在正整数，使得数列与为同一数列，即数列组不存在周期； 当为奇数，由的每一项均为中元素，所以至多有个， 对于给定的，总存在，，使得， 下证：若时，， 事实上，设表示除以的余数， 由数列到的变换结果，知，， 不妨设，， 由，则，， 所以， 即， 结合为奇数，，，可得，则， 同理可证：对任意，均有，所以， 以此类推，有，，， 所以，对于任意均存在整数，使得， 在变化时，所有的最小公倍数，即为数列组的一个周期， 综上，数列组均存在周期时，的所有可能取值为且. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问，注意，各不相同，有，二小问，讨论的奇偶性，其中为奇数的情况下证明时，为关键. 19．（2025·山东菏泽·一模）定义正方形数阵满足，其中i，. (1)若，求数阵所有项的和T； (2)若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； (3)若，，且，求的值为奇数的概率. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【难度】0.15 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数列新定义 【分析】（1）根据确定的所有取值情况，通过分析的性质，发现以及，从而得出数阵所有项的和为. （2）对进行展开变形，再根据数阵的定义，证得结论成立. （3）先根据以及与具有相同奇偶性，得出为奇数时与一奇一偶，然后分为奇数和偶数两种情况，分别计算的取值情况数，进而计算出概率. 【详解】（1）若，则的所有取值情况为： 故数阵共99项，由知：， ， 所以. （2） 由知，，故， 所以也是数阵中的项. （3）若知：， 由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数， 即i与j必定一奇一偶， 当时，的取值情况有4种，故； 当时，的取值情况有8种，故； 当时，的取值情况有12种，故； 当且n为奇数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 当且n为偶数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 综上所述，当且n为奇数时，；当且n为偶数时，. 【点睛】方法点睛： 对于求满足特定条件的数阵所有项的和，先确定数阵中元素的组成情况，再通过分析元素之间的关系（如本题中的对称关系与）来简化求和过程. 证明一个式子是数阵中的项，通常对式子进行代数变形，使其符合数阵元素的定义形式，再结合数阵中参数的取值范围进行判断. 求概率问题，先分析事件发生的条件（如本题中为奇数时与的奇偶性要求），然后根据条件计算满足条件的情况数以及总情况数（利用排列组合知识），最后根据概率公式计算概率.当参数有不同取值情况（奇数或偶数）时，要进行分类讨论. 20．（2025·山东临沂·一模）《教育强国建设规划纲要（年）》中指出深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板，某中学为了解学生每天参加综合体育活动的情况，随机调查了100名男生和100名女生，统计他们周一到周五在校期间的运动步数，数据如下表所示： 运动步数（万步） 合计 人数（男） 12 9 4 100 人数（女） 14 7 2 100 表中数据成等差数列；成公比为正整数的等比数列. (1)若周一到周五在校期间的运动步数达到5万步视为体育锻炼达标，估计该中学男生体育锻炼的达标率； (2)为进一步了解女生每天参加综合体育活动的情况，在步数位于两组内的女生中，采用等比例分层抽样的方法抽取10人，现从这10人中随机抽取3人进行访谈，记步数在内的人数为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）需要根据等差数列的性质求出男生运动步数达到5万步的人数，进而计算达标率；（2）先根据等比数列性质求出相关人数，再利用分层抽样确定抽取人数，最后通过古典概型求出随机变量的分布列和期望. 【详解】（1）已知成等差数列，设公差为，则. 又因，即. 由等差数列性质，可得. 联立方程组，解得，，. 男生运动步数达到5万步（即、、这三组）的人数为人. 所以男生体育锻炼的达标率为. （2）因为成公比为正整数的等比数列，设公比为（）， 且，即. 所以，即. 因为， 当，舍去；当满足题意； 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 步数位于内的女生人数为人，步数位于内的女生人数为人. 采用等比例分层抽样抽取10人，则从步数位于内抽取人，从步数位于内抽取人. 随机变量表示步数在内的人数，的可能取值为，，. ；；； 所以的分布列为： 期望. 21．（2025·山东日照·一模）已知数列为等差数列，且满足． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据已知等式应用等差数列的基本量运算得出，再应用裂项相消法计算求和； （2）先应用，再结合解得，得出，最后计算得出. 【详解】（1）当时，由， 则，由，则， 所以等差数列的公差为，所以， 故 故数列的前项和． （2）当时，，可得， 当时， ， 将代入上式，则， 综上所述，． ，可得， 又因为，则， 由方程，可得，解得， 由，则等差数列的公差为3，所以， 由，则． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$