专题06 三角函数与解三角形-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（山东专用）

专题06 三角函数与解三角形 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）已知，若对任意实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·山东泰安·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·一模）已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2025·山东菏泽·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东聊城·一模）已知角，向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东日照·一模）已知是第一象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东菏泽·一模）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（   ） A．若的周期为1，则满足性质 B．若，则不满足性质 C．若（且）满足性质，则 D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 8．（2025·山东菏泽·一模）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．3 C． D． 9．（2025·山东济宁·一模）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东青岛·一模）在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东济宁·一模）若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·山东潍坊·一模）已知函数，则图象的对称轴方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 13．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·山东济南·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2025·山东日照·一模）已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．若，则的最小值为 16．（2025·山东聊城·一模）已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．直线是曲线的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 17．（2025·山东烟台·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的取值范围为 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 18．（2025·山东青岛·一模）已知狄利克雷函数设函数，则（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域是 D．在区间上的有理数零点恰有3个 19．（2025·山东济宁·一模）在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．外接圆的面积为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 20．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是上的函数，则为上的函数 B．，是上的函数 C．是上的函数，则 D．命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 三、填空题 21．（2025·山东聊城·一模）在中，已知，，，则的面积为 . 22．（2025·山东淄博·一模）在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为 ． 23．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 . 24．（2025·山东济南·一模）函数的最小值为 . 25．（2025·山东泰安·一模）已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则 . 26．（2025·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 四、解答题 27．（2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 28．（2025·山东临沂·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求. 29．（2025·山东泰安·一模）在中，内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求. 30．（2025·山东聊城·一模）在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 31．（2025·山东潍坊·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． (1)求； (2)若的面积为，是上的点，且，求的长． 32．（2025·山东·一模）如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记． (1)若，求的面积； (2)若，求四边形面积的取值范围． 33．（2025·山东淄博·一模）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为：（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为． (1)求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）； (2)求证：； (3)定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点做斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：． 34．（2025·山东济南·一模）如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列.    (1)用表示出的外接圆半径； (2)当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； (3)若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 35．（2025·山东济宁·一模）已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由； (2)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围； (3)证明：函数为“切线支撑”函数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角函数与解三角形 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）已知，若对任意实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、比较正切值的大小、解正切不等式、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】综合利用正切函数的单调性和奇偶性分析判定. 【详解】因为是内的单调递增函数，并且是奇函数， 所以, 所以“”是“”充分必要条件， 故选：C. 2．（2025·山东泰安·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】先求得，然后根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得， . 故选：B 3．（2025·山东·一模）已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】利用齐次化思想化简，代值计算即得. 【详解】. 故选：C 4．（2025·山东菏泽·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可求出和的值，再计算即可. 【详解】，， ，， ，化简得，， . 故选：C. 5．（2025·山东聊城·一模）已知角，向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，则， 向量，，若，则，可得， 故. 故选：B. 6．（2025·山东日照·一模）已知是第一象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六 【分析】先应用同角三角函数关系计算，最后应用诱导公式计算即可. 【详解】因为， 所以，所以，左右两侧平方得， 所以，又因为是第一象限角，所以， 则. 故选：D. 7．（2025·山东菏泽·一模）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（   ） A．若的周期为1，则满足性质 B．若，则不满足性质 C．若（且）满足性质，则 D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数周期性的应用、判断或证明函数的对称性、由正弦（型）函数的周期性求值、函数新定义 【分析】根据新定义结合条件逐项进行验证． 【详解】选项A，的周期为1，则，从而有，因此具有性质，但不一定成立，A错； 选项B，，，所以，所以具有性质，B错； 选项C，若（且）满足性质，则，所以，从而，C错； 选项D，偶函数满足性质，即，又是偶函数， 所以，所以图象关于直线对称，D正确， 故选：D． 8．（2025·山东菏泽·一模）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理可得：， 所以， 即， 又因为，，所以， 故，解得， 又因为，所以， 所以， 所以. 故选：D. 9．（2025·山东济宁·一模）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先求出函数周期，再由函数平移的性质结合余弦函数的诱导公式可得. 【详解】函数周期，所以函数的图象向右平移个周期可得. 故选：D 10．（2025·山东青岛·一模）在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、诱导公式五、六、求含cosx的二次式的最值、二倍角的余弦公式 【分析】由三角函数的定义可得，，利用二倍角的余弦公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】由三角函数的定义可知，，， 则， 因为，其中， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 11．（2025·山东济宁·一模）若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中锐角由确定， 由，得，而， 因此，即，则， 即，于是， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 12．（2025·山东潍坊·一模）已知函数，则图象的对称轴方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式 【分析】找到函数的周期，利用函数的周期绘出图象，即可求解. 【详解】因为， ， 所以为函数的一个周期， 当时，， 此时，作出函数的图象如图，    由图象可得，函数图象的对称轴方程为，. 故选：C. 13．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据一次函数零点的分布求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】如下图所示： 令，解得， 故当时，对称轴为直线，则， 因为，所以，， 又因为， ， 由可得，则，则， 所以，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解. 14．（2025·山东济南·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误； 令，求导后再分、、分别讨论单调性后放缩可得D正确. 【详解】对于A，令，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故A错误； 对于B，令，，则， 所以在上单调递增，即，故B错误； 对于C，因为，令时，， ， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，，则， 当时，，所以； 当时，，，且区间对应每一个值都使得，所以； 当时，， ，且区间对应每一个值都使得，所以； 综上则在上恒成立，所以在上单调递增， 即，故D正确. 故选：D 二、多选题 15．（2025·山东日照·一模）已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】用代入检验的思想，结合正弦函数的性质判断ABC，根据函数的最值，结合周期判断D选项. 【详解】A选项，时，，因为不是的对称轴，故A错误； B选项，时，，因为是的对称中心，故B正确； C选项，时，，因为在上单调递增，故C正确； D选项，因为，由得， 所以的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为，因为，所以的最小值为. 故选：BCD. 16．（2025·山东聊城·一模）已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．直线是曲线的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，在上单调递增，B对； 对于C选项，因为，故直线不是曲线的一条对称轴，C错； 对于D选项，将的图象向右平移个单位，得到函数 的图象，D对. 故选：BD. 17．（2025·山东烟台·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的取值范围为 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式，再应用正弦型函数性质判断A、B、C；根据图象平移写出解析式即可判断D. 【详解】由， 所以最小正周期为，A对； ，即的图象关于直线对称，B对； 由上，故，C错； 向右平移个单位长度，，D对. 故选：ABD 18．（2025·山东青岛·一模）已知狄利克雷函数设函数，则（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域是 D．在区间上的有理数零点恰有3个 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx的函数的最小正周期、求函数零点或方程根的个数 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断A；根据函数的周期性和定义和函数的定义可判断B；函数及三角函数的值域可判断C；应用特殊三角函数值可判断D． 【详解】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则， 当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数， 故，是奇函数，故A正确； 对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则， 当为无理数时，也是无理数，则， ，即函数是周期函数，故B正确； 函数的值域为，当为无理数时，， 当为有理数时，，不能取到一个周期所有实数，所以取不到全部，故C错误； ，当为有理数时，，得出在区间上有，3个有理数零点，故D正确； 故选：ABD． 19．（2025·山东济宁·一模）在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．外接圆的面积为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、条件等式求最值 【分析】对于A：利用余弦定理边角转化即可；对于B：利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果；对于CD：根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故B正确； 对于选项C：由可得， 且，即，解得，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D：由可得，即， 且，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 20．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是上的函数，则为上的函数 B．，是上的函数 C．是上的函数，则 D．命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】必要条件的判定及性质、由导数求函数的最值（不含参）、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义 【分析】根据函数的定义逐项判断可得结果. 【详解】A.若是上的函数，则有，. 设，则， 由得，， ∴，∴为上的函数，故A正确． B.由题意得，， ∵对，，∴，即， ∴，是上的函数，故B正确． C.若，则恒成立，即是函数，故C错误． D. 由是上的函数， 得在上恒成立， 当时，，时，， 故时，，时，， 根据二次函数的性质可知，是函数的零点， 即，故． 记，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数， 故，即，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题 21．（2025·山东聊城·一模）在中，已知，，，则的面积为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】数形结合，将分为两角，再运用余弦定理和三角形面积公式计算即得. 【详解】因，故， 如图，过点作射线交线段于点，使，则， 则， 在中利用余弦定理得，，解得， 在中利用余弦定理得，，则， 则. 故答案为：. 22．（2025·山东淄博·一模）在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】先根据二倍角公式求出的值，进而求出的值，再利用正弦定理求出的值，判断的范围并求出的值，最后根据三角函数的两角和公式求出的值. 【详解】已知，根据二倍角公式，则有. 因为为锐角，即，等式两边同时除以可得：. 已知，将其代入可得：，解得. 因为为锐角，根据，可得. 由正弦定理，已知，，，则. 因为，根据大边对大角可知，又因为为锐角，所以也为锐角. 根据，可得. 因为，所以， 则 . 故答案为： 23．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】可以根据区间的定义，，得到，然后根据余弦函数单调性和特殊角的余弦值得到或. 【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，，得到，即根据余弦函数的性质，，由题意：，根据函数的周期为，而且其在单调递减，在单调递增，，，即，所以，即， 当时，，在单调递减，则，可得； 当时，，在单调递减，且在单调递增，，. 故答案为：或. 24．（2025·山东济南·一模）函数的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】根据和分类讨论，作出函数图像即可求解. 【详解】当时，即时，， 当时，即时， ， 所以， 作出函数图像：    所以函数的最小值为，当时. 故答案为：. 25．（2025·山东泰安·一模）已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角函数图象的综合应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】先确定函数的解析式，再数形结合，利用函数图象的性质列式求值即可. 【详解】因为. 又函数最小正周期为，且，所以. 所以. 当时，，所以. 做函数，的草图如下： 函数图象关于直线对称. 设，则，.， 所以， ， 解得或（舍去）. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于设，根据题意列出，坐标，根据纵坐标的关系列式，求出的值，再求点纵坐标. 26．（2025·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、复合函数的最值 【分析】首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式求出与的关系；通过几何图形作辅助线，构造可得，求出的范围，进而根据二倍角公式，求得的取值范围. 【详解】在中，， ， 即； 又，，即，又； 故， 如图，在中，过作的垂线，且使，则，   ，即，可得， ，即，， , 设，，在区间单调递减， ，即, ，当且仅当时，即三点共线时等号成立. 验证：如下图中，若时，满足， 此时，， 故存在这样的，使得成立.    因此的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系；二是构造几何图形求解的范围，进而利用二倍角公式求解的范围. 四、解答题 27．（2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅助角公式，求得或，可求角； （2）由已知可得为等边三角形，则，中由余弦定理求得的值． 【详解】（1）依题意，，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 法一：即， 因为，所以， 所以，所以：， 所以，即． 法二：即， 所以，即， 因为，所以， 所以，即． （2）因为，又因为， 所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去），故． 28．（2025·山东临沂·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解； （2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理边化角可得， 即， 所以，因为， 所以，又，解得； （2）若，则，这里是三角形外接圆的半径， 解得， 由余弦定理可得. 29．（2025·山东泰安·一模）在中，内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、向量夹角的计算 【分析】（1）由题意及正弦定理可得，根据两角和的正弦可得，根据诱导公式和内角和定理计算即可； （2）由（1）的结论结合余弦定理列方程组求解即可； 【详解】（1）由题意得即， .， ， ，， ； （2）由（1）可得 ，， ，又， ， 由得或 ， 30．（2025·山东聊城·一模）在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）求出的值，利用正弦定理得到，进而得到为的中点，再利用线线平行即可证明线面平行； （2）取中点，连接，利用勾股定理证明，建系，利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）因为，，，所以， 所以， 在中，根据正弦定理得， 又，所以，所以， 因为， 所以，所以，所以， 所以为的中点，又为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 取中点，连接，因为为的中点， 所以，， 因为，即，所以， 因为为等边三角形，且，所以，， 又，所以，所以， 以为原点，分别以为轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 31．（2025·山东潍坊·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． (1)求； (2)若的面积为，是上的点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【详解】（1）因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. （2）因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 32．（2025·山东·一模）如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记． (1)若，求的面积； (2)若，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，求得以及，再利用三角形面积公式即可求解； （2）在中，由余弦定理得，结合三角形面积公式求得与，所以四边形的面积，再由三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中， 由余弦定理：， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形，所以，且， 所以， 则的面积为． （2）在中， 由余弦定理：， 所以，， 所以四边形的面积， 又因为，所以， 所以，， 即四边形的面积的取值范围为． 33．（2025·山东淄博·一模）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为：（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为． (1)求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）； (2)求证：； (3)定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点做斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两点求斜率、椭圆的参数方程 【分析】（1）根据距离公式得到方程，化简即可得到椭圆方程，再改写成参数方程即可； （2）左边变形得，再利用两角和差的正弦公式展开即可； （3）设出几个点坐标，则得到的坐标，再证明出，最后再利用两点斜率表达式证明即可. 【详解】（1）根据题意，动点的轨迹方程为， 将上式两边平方并化简得：．即， 故动点的轨迹方程， 则参数方程为. （2）证明: . （3）设， ，则， 则 ， 同理， 因此， 所以， 即， 所以， 下面证， ， 同理， 因此. 即平行。 【点睛】关键点点睛：本题第二问的证明关键是灵活运用两角和差的正弦公式即可. 34．（2025·山东济南·一模）如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列.    (1)用表示出的外接圆半径； (2)当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； (3)若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 【答案】(1); (2)证明见解析； (3)； 【难度】0.4 【知识点】三角函数定义的其他应用、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式； （2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可； （3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围. 【详解】（1）设的外接圆半径为，由题意知， ，， 又，故. 故的外接圆半径为. （2）设的外心为，外接圆半径为，的中点为，， 则，，.    注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合. 由题意知，，均在的中垂线上. 而， ， 故. 另一方面，， 故的外接圆内切于的外接圆. 从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部. （3）若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故. 由（2）知， ， 由题意，，即，解得. 故. 当，同上可得. 由（2）知，，共线，故，即. 故，故的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为. 35．（2025·山东济宁·一模）已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由； (2)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围； (3)证明：函数为“切线支撑”函数． 【答案】(1)是； (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）先由降幂公式和辅助角公式得到，再结合函数新定义和正弦函数的取值可得； （2）先由导数分析单调性得到切点必在轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函数新定义构造函数，分析单调性得到极值； （3）由函数新定义结合导数的意义得到点处的切线方程，再结合余弦函数的取值证明. 【详解】（1）, 显然， 令，得，即， 所以是的极小值点，且为曲线得一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取. （2）当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的左侧； 所以切点必在轴的两侧. 不妨设，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为两点处的切线重合，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为. （3）因为，设， 所以点处的切线方程为和， 所以， 所以， 不妨取， 则，即， 所以，不妨取，则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造函数，利用单调性得到隐零点，再求极值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$