专题05 统计与概率-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（山东专用）

专题05 统计与概率 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）的展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·一模）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（   ） A．0.24 B．1 C．0.5 D．0.52 3．（2025·山东青岛·一模）若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（    ） A．平均数变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．方差变大 4．（2025·山东泰安·一模）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B． C．60 D．240 5．（2025·山东临沂·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 6．（2025·山东菏泽·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A． B． C． D． 7．（2025·山东临沂·一模）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东日照·一模）高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（    ） A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 9．（2025·山东潍坊·一模）若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则数据、、、、、、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 10．（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东济宁·一模）的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 12．（2025·山东烟台·一模）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 13．（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·山东济宁·一模）设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（） A．2 B．4 C．6 D．8 15．（2025·山东聊城·一模）设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 17．（2025·山东临沂·一模）甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：，，，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第60百分位数是252 B．乙组数据的中位数是246 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 18．（2025·山东济南·一模）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 19．（2025·山东菏泽·一模）若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（   ） A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．这四点能构成三棱锥的个数为58 C．若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可以为30° 20．（2025·山东泰安·一模）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，认为变量与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 C．若随机变量，且，则 D．数据的第75百分位数是9 21．（2025·山东淄博·一模）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 22．（2025·山东·一模）下列说法正确的是（   ） A．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 B．若随机变量X服从正态分布，，则 C．20张彩票中有2张能中奖，现从中一次性抽取n张，若其中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n的最小值为5 D．已知数据，，…，的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 23．（2025·山东聊城·一模）将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（   ） A．每个盒子中恰有球的概率为 B．事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立 C．随机变量的方差为 D．随机变量的均值为 24．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B．展开式中的常数项为 C．若方程表示椭圆，则 D．点在直线上运动，的最大值是 25．（2025·山东临沂·一模）将曲线经过旋转可得到双曲线，若直线与只有一个公共点，与交于两点，则（    ） A． B． C． D． 26．（2025·山东日照·一模）已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（    ） A．图形内部空白区域的面积最小值为 B．图形上的点到原点的最小距离为 C．当时，图形关于对称 D．当时，图形内外边界的长度和为 27．（2025·山东菏泽·一模）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 28．（2025·山东聊城·一模）设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（   ） A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为 C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为 三、填空题 29．（2025·山东临沂·一模）设随机变量，若，则 . 30．（2025·山东烟台·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为 .（用数字作答） 31．（2025·山东泰安·一模）从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答） 32．（2025·山东济南·一模）将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答） 33．（2025·山东临沂·一模）2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是 . 34．（2025·山东菏泽·一模）若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为 . 35．（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ． 36．（2025·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 37．（2025·山东临沂·一模）点在直线上，点在抛物线上，记两点间的最小距离为，若，则 . 四、解答题 38．（2025·山东菏泽·一模）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 39．（2025·山东日照·一模）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：． 附：相关系数． 40．（2025·山东临沂·一模）《教育强国建设规划纲要（年）》中指出深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板，某中学为了解学生每天参加综合体育活动的情况，随机调查了100名男生和100名女生，统计他们周一到周五在校期间的运动步数，数据如下表所示： 运动步数（万步） 合计 人数（男） 12 9 4 100 人数（女） 14 7 2 100 表中数据成等差数列；成公比为正整数的等比数列. (1)若周一到周五在校期间的运动步数达到5万步视为体育锻炼达标，估计该中学男生体育锻炼的达标率； (2)为进一步了解女生每天参加综合体育活动的情况，在步数位于两组内的女生中，采用等比例分层抽样的方法抽取10人，现从这10人中随机抽取3人进行访谈，记步数在内的人数为，求的分布列和期望. 41．（2025·山东泰安·一模）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人多赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人每局比赛获胜的概率分别为. (1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求； (2)受机器人电池蓄航能力影向，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的数学期望. 42．（2025·山东淄博·一模）某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．    (1)规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表： 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 30 非优质水源日出游 6 合计 50 请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？ (2)从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 43．（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 44．（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 45．（2025·山东烟台·一模）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. (1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 46．（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 47．（2025·山东聊城·一模）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. (1)求的值和样本容量； (2)估计所有参赛学生的平均成绩； (3)假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 48．（2025·山东德州·一模）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 49．（2025·山东·一模）两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为． (1)求和； (2)证明：； (3)证明：． 50．（2025·山东烟台·一模）已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值. 51．（2025·山东淄博·一模）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为：（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为． (1)求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）； (2)求证：； (3)定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点做斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：． 52．（2025·山东临沂·一模）已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 53．（2025·山东菏泽·一模）定义正方形数阵满足，其中i，. (1)若，求数阵所有项的和T； (2)若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； (3)若，，且，求的值为奇数的概率. 54．（2025·山东潍坊·一模）维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中． (1)若，，且点，，写出所有的点的坐标； (2)任取维空间中的不同两点． （i）若，求的概率； （ii）记随机变量，求的取值范围． 55．（2025·山东菏泽·一模）已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上.    (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率与统计 一、单选题 1．（2025·山东临沂·一模）的展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】由二项式定理展开式通项即可验算. 【详解】的展开式通项为，对比选项依次代入得对应项， 的展开式中的项可以是. 故选：C. 2．（2025·山东淄博·一模）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（   ） A．0.24 B．1 C．0.5 D．0.52 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式，分别计算出第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，以及第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，然后将这两个概率相加，即可得到王同学第二天去餐厅用餐的概率. 【详解】已知王同学第一天随机选择一家餐厅用餐，那么去餐厅的概率为 （因为只有、两家餐厅，随机选择一家，去每家的概率都是）. 又已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为 （表示在第一天去餐厅的条件下，第二天去餐厅的概率）. 根据条件概率公式 （其中、为事件，表示与同时发生的概率）， 可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为： 同理，第一天去餐厅的概率为. 已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为 （表示在第一天去餐厅的条件下，第二天去餐厅的概率）. 根据条件概率公式，可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为： 因为“第一天去餐厅且第二天去餐厅”与“第一天去餐厅且第二天去餐厅” 这两个事件是互斥的（即这两个事件不可能同时发生）， 所以根据互斥事件的概率加法公式 （其中、为互斥事件，表示或发生的概率）， 可得王同学第二天去餐厅用餐的概率为： 故选：C 3．（2025·山东青岛·一模）若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（    ） A．平均数变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．方差变大 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均数公式和方差公式计算即可. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，变化后的数据的平均数为，方差为， 根据题意有：， 所以， 故选：D. 4．（2025·山东泰安·一模）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B． C．60 D．240 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式可求得常数项． 【详解】由题意，解得． 展开式通项为， 由得，解得，∴常数项为． 故选：C． 5．（2025·山东临沂·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据给定条件，求出圆心距即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 则，所以两圆外切. 故选：C. 6．（2025·山东菏泽·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、抛物线中的定值问题 【分析】假设三个点的坐标，分别求出其斜率，根据条件即可求解A的坐标. 【详解】设，，， 则， 所以， 解得，故， 故点A的坐标为， 故选：B. 7．（2025·山东临沂·一模）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可. 【详解】，所以该直线的一个方向向量为， 因为，所以向量与向量是共线向量， 其他选项的向量与向量不是共线向量， 故选：B 8．（2025·山东日照·一模）高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（    ） A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 9．（2025·山东潍坊·一模）若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则数据、、、、、、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由平均数公式可得，由方差公式可得，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】因为一组样本数据、、、的平均数为，方差为， 则，可得，方差为，可得， 因此，数据、、、、、、、的平均数为 ， 方差为 . 故选：A. 10．（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 11．（2025·山东济宁·一模）的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】写出的展开式的通项，再将运算进去，分别令x的指数为0，求出各自的常数，再相加即可. 【详解】， 的二项展开示的通项为 ①， ②， 在①式中，令得11，故的常数项为， 在②式中，令得，则的常数项为， 故的展开式中的常数项为， 故选：B. 12．（2025·山东烟台·一模）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】残差的计算、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A 13．（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件，根据条件概率计算公式求解. 【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 14．（2025·山东济宁·一模）设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】利用抛物线的性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，过作垂直于准线于点，作于点， 则， ，同理可证 ，解得， 所以， ， 故选：D． 15．（2025·山东聊城·一模）设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义，结合三角形的三边关系以及共线关系可得周长范围，再与给定范围比对即可得解. 【详解】令椭圆右焦点为，， 周长，当且仅当共线时取等号，则，即， 又，因此， 则，解得，所以C的离心率为. 故选：A. 16．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】求点到直线的距离 【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值. 【详解】依题意在区间上有零点， 整理得在上有解， 表示坐标系中，直线（看成参数）上的点， 所以表示原点到直线上的点的距离的平方， 设， 由于，所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程. 距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性. 二、多选题 17．（2025·山东临沂·一模）甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：，，，，，，，，，，， 乙组：，，，，，，，，， 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第60百分位数是252 B．乙组数据的中位数是246 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】对于A直接利用百分位数计算公式即可；对于B根据公式计算中位数和平均数；对于C根据古典概率公式计算即可；对于D，求出两者平均数判断即可. 【详解】对于选项A，因为，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误； 对于选项B，因为，所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数，即，故B正确； 对于选项C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人， 所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 ，故C正确； 对于选项D，甲组的平均成绩为厘米， 乙组的平均成绩为厘米， 所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确. 故选：BCD. 18．（2025·山东济南·一模）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】独立性检验解决实际问题 【分析】根据独立性检验的判断原则一一分析即可. 【详解】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对； 对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 故选：BC. 19．（2025·山东菏泽·一模）若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（   ） A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．这四点能构成三棱锥的个数为58 C．若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可以为30° 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、几何组合计数问题 【分析】举例说明A是错误的；利用组合数公式求三棱锥的个数，判断B的真假；找出表面积最大的三棱锥判断C的真假；找出连接正方体顶点的两条直线所成角的最小值可判断D的真假. 【详解】如图： 对A：设，则，，所以A不正确； 对B：从正方体的8个顶点中任选4个的选法有中，其中不能构成三棱锥的有：①四个点在正方体的一个面上，即所选四点为：,，，，，共6个；②所选四个点在正方体的相对棱上，即所选的四点为：，，，，，，共6个. 所以所选的四个点可以构成三棱锥的个数为：个，故B正确； 对C：正方体棱长为a，从正方体的8个顶点中选3个，构成三角形，其中面积最大的就是象这样的等边三角形，其边长为，面积为，所以四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大的就是三棱锥这样的正四面体，其表面积为，故C正确； 对D：在正方体的8个顶点中选4个，连成两条直线，所成的角最小的就是形如直线与的所成的角，设为，则，所以，故D正确. 故选：BCD 20．（2025·山东泰安·一模）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，认为变量与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 C．若随机变量，且，则 D．数据的第75百分位数是9 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】独立性检验解决实际问题、二项分布的方差、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【分析】根据二项分布的方差公式、百分位数、正态分布、独立性检验等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，若随机变量，则，故A正确； 对于B，因为，所以能根据作出判断，认为变量与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05，故B正确； 对于C，对称轴为，则，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，数据从小到大排列为1，1，2，2，3，3，3，9，11，12， 所以，所以第75百分位数为9，故D正确. 故选：ABD. 21．（2025·山东淄博·一模）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、正态曲线的性质 【分析】由正态分布可求得，判断A；易得在上是减函数，可判断B；计算，可判断C；证明可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，当增大时，减少， 所以在上是减函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若的图象关于点中心对称，则， 因为服从正态分布，所以关于对称， 所以， 则，故D正确. 故选：AD. 22．（2025·山东·一模）下列说法正确的是（   ） A．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 B．若随机变量X服从正态分布，，则 C．20张彩票中有2张能中奖，现从中一次性抽取n张，若其中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n的最小值为5 D．已知数据，，…，的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率、根据正态曲线的对称性求参数、总体百分位数的估计 【分析】对于A，根据百分位数的定义计算即可；对于B，利用正态分布的对称性计算即可；对于C，利用组合数计算概率，列得不等式求解即可；对于D，根据方差公式计算即可. 【详解】对于A，由，知数据5，8，10，12，13得第40百分位数是，故A正确； 对于B，由正态曲线的对称性，知，所以，故B正确； 对于C，由题意得，，又为正整数，得n的最小值为6，故C错误； 对于D，易知加入5和7两个数后，新数据的平均数仍为6， 由方差公式，得，解得， 则新数据得方差，故D正确. 故选：ABD. 23．（2025·山东聊城·一模）将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（   ） A．每个盒子中恰有球的概率为 B．事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立 C．随机变量的方差为 D．随机变量的均值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、求离散型随机变量的均值、二项分布的方差 【分析】计算出每个盒子中恰有球的概率，可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用随机变量期望公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，每个盒子中恰有球的概率为，A错； 对于B选项，记事件号是空盒，事件号是空盒， 则，， 所以，，故事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立，B对； 对于C选项，由题意可知，故，C对； 对于D选项，由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，，， ， 因此，，D对. 故选：BCD. 24．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B．展开式中的常数项为 C．若方程表示椭圆，则 D．点在直线上运动，的最大值是 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、求点关于直线的对称点、根据方程表示椭圆求参数的范围、求指定项的系数 【分析】对于A，将已知条件两边同时平方，整理得到，结合平面向量的数量积的定义得到，由平面向量的夹角范围，进而可以判断选项；对于B，由二项式在的展开式的通项公式为，令，即可判断；对于C，根据椭圆的定义列出不等式组进行求解；对于D，利用对称性，结合三点共线，即可求解． 【详解】对于A选项，已知，将两边同时平方可得. 展开化简可得，即.可知. 当与同向时，，此时夹角为，不是锐角，所以A选项错误. 对于B选项，对于展开式的通项为. 令，解得. 将代入通项公式可得常数项为，所以B选项正确. 对于C选项，若方程表示椭圆，则需满足. 解得的取值范围是且，C选项错误. 对于D选项，设点关于直线的对称点为. 根据对称点的性质可得，解得，则，即. 根据三角形两边之差小于第三边可知. 根据两点间距离公式，所以的最大值是，D选项正确. 故选：BD. 25．（2025·山东临沂·一模）将曲线经过旋转可得到双曲线，若直线与只有一个公共点，与交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】由双曲线定义、对勾函数性质以及旋转的性质依次求得，进一步只需联立与即可判断D. 【详解】对于BC，由题意将曲线夹在中间的两条渐近线方程为， 所以这两条渐近线所形成的那个锐角的一半为， 曲线的两条渐近线的中间那条直线为， 联立以及，解得或， 由旋转的性质可得，，，解得，故BC正确， 对于A，若直线与只有一个公共点，由对勾函数性质可得，故A错误； 对于D，要求，由双曲线的对称性可知，只需联立与， 解得或，即，故D错误. 故选：BC. 26．（2025·山东日照·一模）已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（    ） A．图形内部空白区域的面积最小值为 B．图形上的点到原点的最小距离为 C．当时，图形关于对称 D．当时，图形内外边界的长度和为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，由题知当时，内部空白区域是以为圆心，为径的圆，即可求解；对于B，利用圆的几何性，即可求解；对于C，设点，存在参数满足，再通过计算得到也在上，即可求解；对于D，内边界的长度，再利用题设定义及几何关系，即可求解. 【详解】对于A，由题知点集是以，为半径的圆， 如图1，当时，内部空白区域是以为圆心，为半径的圆，此时空白区域面积最小， 即内部空白区域的面积最小值为，所以命题A正确； 对于B，因为图形上点到原点距离为， 由构成该图形的动圆中，圆心到原点距离，半径， 故每个圆到原点最小距离均为，故图形到原点的最小距离为，所以B错误； 对于C，当时，设点，存在参数满足， 则点与点关于直线对称，由，取， 代入 ， 即点也在中，故时，图形关于直线对称，所以C正确； 对于D，时，如图2，内边界的长度， 其中为圆，半径为， 、为圆半径为外边界， 而由，，为半圆，半径为， 为半圆半径为，为圆，半径为， 为圆，半径为， 故内外边界和为，所以D正确. 故答案为：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于将图形内外边界的长度转化成，结合题设，利用圆的面积公式求解. 27．（2025·山东菏泽·一模）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B，通过分析方程的特征可求出的范围；对于C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D，对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可. 【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确； 选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求， 得，即，超出，同理的范围也超过，B错误； 选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和， 故弦长为，C正确； 选项D：则即 又，即， 则 同理可得：， 则曲线的上任一点到的距离之和为： 曲线表示以为焦点且的椭圆，则， 则线段的最大值为正确； 故选：ACD 【点睛】点睛：关键点点睛：对于D选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线方程表示的是椭圆，利用椭圆的性质求解即可. 28．（2025·山东聊城·一模）设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（   ） A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为 C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】根据直线的定点求法计算判断A，根据焦点坐标判断B，设l的方程及A、B坐标，利用导数求抛物线切线斜率及切线方程，联立两直线可得P坐标判定C，利用点到直线的距离公式、弦长公式结合幂函数的性质、三角形面积公式可判定D. 【详解】对于A：化简为， 无论为何值时，令，可得定点为，A选项正确； 对于B：的焦点在轴且，所以，所以抛物线的焦点为，B选项错误； 对于C：设，与抛物线方程联立有， 设，，有，， 由，所以的斜率分别为， 又因为,则两切线，， 联立两直线方程解得，所以， 点到坐标原点的距离为， 当时点到坐标原点的最小距离为，所以C正确； 对于D：P到l的距离为， 所以， 当时，此时取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点时应用弦长公式和点到直线距离得出面积结合二次函数最值计算求解. 三、填空题 29．（2025·山东临沂·一模）设随机变量，若，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】正态曲线的性质 【分析】由正态分布的性质即可得解. 【详解】由题意，，所以，解得. 故答案为：. 30．（2025·山东烟台·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为 .（用数字作答） 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题、分组分配问题 【分析】应用部分平均分组，将4人分3组，再作全排列，最后应用分步乘法求结果. 【详解】由题设，需要将4个人分成3组，有种， 再将3组人分配到三个场馆，有种， 所以共有种. 故答案为：36 31．（2025·山东泰安·一模）从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列的意义理解、排列数的计算、分组分配问题 【分析】先从人中选人，将人分成三组，再进行全排，即可求解. 【详解】第一步，从人中选人，共有种取法，第二步，将人分成三组，共有种分法， 再进行全排有种排法， 由分步计算原理知，共有种安排方法， 故答案为：. 32．（2025·山东济南·一模）将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可. 【详解】第一步选2个空给两个1有种选法， 第二步选剩下的3个空给两个3有种选法， 最后剩一个空排5即可， 根据分步乘法计数原理有种排法， 故答案为：. 33．（2025·山东临沂·一模）2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率 【分析】由条件概率知识即可求解. 【详解】我们不妨把勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三个东西， 例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位， 一开始的状态有六种情况，我们用表示一次调换， 那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：， 第二种初始状态下的变换过程为：， 第三种初始状态下的变换过程为：， 第四种初始状态下的变换过程为：， 第五种初始状态下的变换过程为：，（本质上没有调换）， 第六种初始状态下的变换过程为：， 从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况， 在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是（对应的初始状态是第二种初始状态）， 故所求概率为. 故答案为：. 34．（2025·山东菏泽·一模）若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为 . 【答案】80 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、总体百分位数的估计 【分析】求出第75百分位数，然后由二项式定理求解． 【详解】已知数据从小到大排列为：，共8个，， 第6个数是3，第7个数是9， ，所以， 展开式中的系数为， 故答案为：80. 35．（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算求解即得. 【详解】由展开式的通项公式可得，， 所以展开式中第4项的系数为. 故答案为：． 36．（2025·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出渐近线. 【详解】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得. 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以，所以渐近线方程为. 故答案为： 37．（2025·山东临沂·一模）点在直线上，点在抛物线上，记两点间的最小距离为，若，则 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】抛物线的应用 【分析】本题可先求出、两点横坐标的关系，进而得出的表达式，然后求出，最后根据的表达式计算的值. 【详解】已知点在直线上， 则将点代入直线方程可得  ①. 点在抛物线上，则将点代入抛物线方程可得  ②. 因为、两点纵坐标相同，所以. 由①可得，由②可得，则. 令，则，将其转化为顶点式： ， 因为，所以当时，取得最小值，. 因为，所以，则. ， 可以发现上式中相邻两项的分子分母可以约分，约分后可得： . 故答案为： 【点睛】方法点睛： 对于求平面直角坐标系中两点间距离最值的问题，先根据点所在的曲线方程得到坐标之间的关系，再将距离表示为关于某一变量的函数，通过函数的性质（如二次函数的顶点式）来求解最值.在处理连乘形式的式子时，要善于观察式子中各项的规律，通过约分等方法简化计算. 四、解答题 38．（2025·山东菏泽·一模）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)与性别有关联 (2)，意义见解析 【难度】0.85 【知识点】卡方的计算、计算条件概率 【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论； （2）根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】（1）零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关.         根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联. （2）依题意得，，    ，    则         意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等 39．（2025·山东日照·一模）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：． 附：相关系数． 【答案】(1)可用，109 (2)选择方案二更划算 【难度】0.65 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可； （2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断. 【详解】（1）由表中数据可得， ， 所以， 所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系． 而， 则所以 令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109． （2）若选方案一､需付款元． 若选方案二､设需付款元，则的取值可能为， 则， ， 所以， 因此选择方案二更划算． 40．（2025·山东临沂·一模）《教育强国建设规划纲要（年）》中指出深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板，某中学为了解学生每天参加综合体育活动的情况，随机调查了100名男生和100名女生，统计他们周一到周五在校期间的运动步数，数据如下表所示： 运动步数（万步） 合计 人数（男） 12 9 4 100 人数（女） 14 7 2 100 表中数据成等差数列；成公比为正整数的等比数列. (1)若周一到周五在校期间的运动步数达到5万步视为体育锻炼达标，估计该中学男生体育锻炼的达标率； (2)为进一步了解女生每天参加综合体育活动的情况，在步数位于两组内的女生中，采用等比例分层抽样的方法抽取10人，现从这10人中随机抽取3人进行访谈，记步数在内的人数为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）需要根据等差数列的性质求出男生运动步数达到5万步的人数，进而计算达标率；（2）先根据等比数列性质求出相关人数，再利用分层抽样确定抽取人数，最后通过古典概型求出随机变量的分布列和期望. 【详解】（1）已知成等差数列，设公差为，则. 又因，即. 由等差数列性质，可得. 联立方程组，解得，，. 男生运动步数达到5万步（即、、这三组）的人数为人. 所以男生体育锻炼的达标率为. （2）因为成公比为正整数的等比数列，设公比为（）， 且，即. 所以，即. 因为， 当，舍去；当满足题意； 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 当，舍去. 步数位于内的女生人数为人，步数位于内的女生人数为人. 采用等比例分层抽样抽取10人，则从步数位于内抽取人，从步数位于内抽取人. 随机变量表示步数在内的人数，的可能取值为，，. ；；； 所以的分布列为： 期望. 41．（2025·山东泰安·一模）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人多赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人每局比赛获胜的概率分别为. (1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求； (2)受机器人电池蓄航能力影向，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的数学期望. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据独立事件互斥事件的概率公式可得，然后利用条件概率公式求解即可； （2）根据独立事件的概率公式和期望公可得，然后利用错位相减数列求和公式求解即可 【详解】（1）设前两轮比赛中得分为事件得分为事件， ， ， 由题意， 各轮比赛，各局比赛结果互不影响，与互斥， ， ， ； （2）由题意，， 设第轮两队比分为为事件， 各局比赛互不影响， ， ， 由题意，时，， 时，事件“”， 各轮比赛互不影响， ， ， ， 设， ， ， ， ， . 42．（2025·山东淄博·一模）某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．    (1)规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表： 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 30 非优质水源日出游 6 合计 50 请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？ (2)从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【难度】0.65 【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）完善列联表，根据公式计算出卡方，即可得解； （2）由题知的可能取值为，然后计算相对应的概率，画出分布列，最后求出期望. 【详解】（1） 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 18 30 非优质水源日出游 14 6 20 合计 26 24 50 ， 所以有的把握认为优质水源日出游与性别有关. （2）根据题意，第一组有天，第二组有天， 所以的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . 43．（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)89 (2)分布列见详解； 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、总体百分位数的估计 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可； （2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望. 【详解】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92， 因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为. （2）数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分； 数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分； 即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人. 可知X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的概率分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 44．（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【答案】(1) (2)期望为，方差为 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，利用全概率公式可求出的值，再利用条件概率公式可求得的值； （2）分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式即可得解. 【详解】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时， 则，，，， 由全概率公式可得， 由条件概率公式可得. 因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为. （2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为， 由题意可知，所以，，. 45．（2025·山东烟台·一模）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. (1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3)元 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解； （2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值所对应的概率，即可求解； （3）先求出甲参赛队可获得奖金的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可. 【详解】（1）每个项目挑战成功的概率 ， 则 . （2）甲参赛队获得奖金数为随机变量的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0. ；； ； ；. ∴甲获得奖金数的分布列为： 4000 3000 2000 1000 0 （3）由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望 元， 因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元 46．（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【难度】0.65 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、二项分布的方差、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 47．（2025·山东聊城·一模）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为. (1)求的值和样本容量； (2)估计所有参赛学生的平均成绩； (3)假设在抽取的样本中，男生比女生多人，女生的获奖率为，填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？ 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 附：， 【答案】(1)，样本容量为 (2) (3)列联表见解析，无 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得的值，将第一组的容量除以第一组的频率可得出样本容量； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数； （3）根据题意完善列联系表，结合临界值表可得出结论. 【详解】（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为可得，解得， 样本容量为. （2）所有参赛学生的平均成绩为. （3）由题意可知，获奖人数为人， 由题意可得如下列联表 性别 奖励 合计 获奖 未获奖 男 女 合计 所以，， 所以，依据小概率值的独立性检验，男生与女生的获奖无差异. 48．（2025·山东德州·一模）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)两队积分相等的概率小于 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）计算6场比赛甲赢的频率即可； （2）利用第1问求出的概率，分类列出其分布列，再求期望； （3）设第场甲、乙两队积分分别为，，求两者之间的关系，将问题转化为时的概率，再结合第2问可求其概率. 【详解】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于 49．（2025·山东·一模）两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为． (1)求和； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、计算条件概率、数列不等式恒成立问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据给定条件，当1次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母，则为两个盒子中相同字母的卡片进行交换，从而求得概率；当2次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母，分别求得两次都交换相同字母的卡片的概率和第1次交换的是不同字母的卡片，第二次将其换回的概率，求和即可求得概率； （2）用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件，则有，可知，．再由全概率公式可得，由递推关系求得，即可进行证明. （3）利用放缩法可得，故，再结合等比求和公式，即可进行证明. 【详解】（1）对两个盒子中相同字母的卡片进行交换，则． 若第1次交换的是相同字母的卡片，则第二次仍需将两个盒子中相同字母的卡片进行交换， 此时概率为． 若第1次交换的是不同字母的卡片，有种情况， 不妨设将第一个盒子中的A和第二个盒子中的B进行交换， 则第二次需要将第一个盒子中的B和第二个盒子中的A进行交换， 此时概率为．于是． （2）用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件， 则有． 对相同字母的卡片进行交换可知． 假设第一个盒子里装有卡片X，Y，Y，第二个盒子里装有卡片X，Z，Z， 注意到两个盒子中都有两张相同字母的卡片， 因此，只需用第一个盒子中的任意一张写有字母Y的卡片交换第二个盒子中的任意一张写有字母Z的卡片即可变为两个盒子中都是A，B，C三种字母的卡片各一张的状态． 所以． 再由全概率公式可得， 于是，．故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，． 从而有． （3）由于， 于是． 50．（2025·山东烟台·一模）已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题目中的焦距与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联里椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式，可得答案；（ii）根据圆的对称性，分情况求弦长，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由椭圆的焦距为，则， 由椭圆的离心率为，则，解得， 易知，则可得椭圆. （2）（i） 当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，易知，解得； 当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得，解得， 由. （ii） 由圆的对称性，则， 由（i）可知： 当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立，则， 综上可得，故的最小值为. 51．（2025·山东淄博·一模）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为：（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为． (1)求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）； (2)求证：； (3)定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点做斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两点求斜率、椭圆的参数方程 【分析】（1）根据距离公式得到方程，化简即可得到椭圆方程，再改写成参数方程即可； （2）左边变形得，再利用两角和差的正弦公式展开即可； （3）设出几个点坐标，则得到的坐标，再证明出，最后再利用两点斜率表达式证明即可. 【详解】（1）根据题意，动点的轨迹方程为， 将上式两边平方并化简得：．即， 故动点的轨迹方程， 则参数方程为. （2）证明: . （3）设， ，则， 则 ， 同理， 因此， 所以， 即， 所以， 下面证， ， 同理， 因此. 即平行。 【点睛】关键点点睛：本题第二问的证明关键是灵活运用两角和差的正弦公式即可. 52．（2025·山东临沂·一模）已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)，或； (3) 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据弦长求参数 【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可 （3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为该椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； （2）当直线的斜率为零时，此时方程为，此时， 显然此时，不符合题意， 故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， 由 ， 所以直线的方程为，或； （3）由（2）可知：，所以 因此的坐标为， 设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ， 所以的坐标为， 因为的斜率乘积为， 所以，因此的坐标为， 显然边与横轴平行， 因此， 即 即时，取等号，即当时取等号， 所以面积的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的坐标，再根据直线斜率的关系，把两个点的坐标统一一个变量，最后利用基本不等式进行求解. 53．（2025·山东菏泽·一模）定义正方形数阵满足，其中i，. (1)若，求数阵所有项的和T； (2)若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； (3)若，，且，求的值为奇数的概率. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【难度】0.15 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数列新定义 【分析】（1）根据确定的所有取值情况，通过分析的性质，发现以及，从而得出数阵所有项的和为. （2）对进行展开变形，再根据数阵的定义，证得结论成立. （3）先根据以及与具有相同奇偶性，得出为奇数时与一奇一偶，然后分为奇数和偶数两种情况，分别计算的取值情况数，进而计算出概率. 【详解】（1）若，则的所有取值情况为： 故数阵共99项，由知：， ， 所以. （2） 由知，，故， 所以也是数阵中的项. （3）若知：， 由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数， 即i与j必定一奇一偶， 当时，的取值情况有4种，故； 当时，的取值情况有8种，故； 当时，的取值情况有12种，故； 当且n为奇数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 当且n为偶数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 综上所述，当且n为奇数时，；当且n为偶数时，. 【点睛】方法点睛： 对于求满足特定条件的数阵所有项的和，先确定数阵中元素的组成情况，再通过分析元素之间的关系（如本题中的对称关系与）来简化求和过程. 证明一个式子是数阵中的项，通常对式子进行代数变形，使其符合数阵元素的定义形式，再结合数阵中参数的取值范围进行判断. 求概率问题，先分析事件发生的条件（如本题中为奇数时与的奇偶性要求），然后根据条件计算满足条件的情况数以及总情况数（利用排列组合知识），最后根据概率公式计算概率.当参数有不同取值情况（奇数或偶数）时，要进行分类讨论. 54．（2025·山东潍坊·一模）维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中． (1)若，，且点，，写出所有的点的坐标； (2)任取维空间中的不同两点． （i）若，求的概率； （ii）记随机变量，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【难度】0.15 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、计数原理与概率综合 【分析】（1）根据新定义，列出方程，求解即可； （2）（i）根据新定义、组合、古典概型求解即可； （ii）根据概率、组合数的性质，结合导数化简，求出，再作差比较法判断单调性，利用单调性确定取值范围即可. 【详解】（1）由定义可知，。 即，且， 所以解得满足方程的B点坐标为： （2）（i）（固定点P）：设点, 因为， 因为或1，或1， 所以中有两项等于0，两项等于1， 所以满足条件的所有可能情况有， 因为两不同点所有可能情况共有种， 所以的概率. （ii）设随机变量,其中 因为， 所以， 因为， 两边同时求导，得， 上式两边同乘,求导得 ， 令，得， 所以， 因为， 所以单调递减， 因为， 所以. 55．（2025·山东菏泽·一模）已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上.    (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见详解；②是定值，. 【难度】0.15 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据已知条件得到关于的方程组，求解即可； （2）①设切线的方程为，由圆O的圆心到直线的距离公式可得，将直线的方程代入双曲线方程，由韦达定理即向量数量积的运算可得，同理可得，进而得到Q，O，R三点共线，由双曲线的对称性即可得证； ②由，可得，再利用向量数量积的运算及圆的性质即可得解. 【详解】（1）由双曲线C的渐近线方程，可知，即. 把点带入双曲线C的方程得，由，解得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为， 由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ，    把代入消y得， 由题意知.设，，， 则由韦达定理可知，， 则， 所以， 所以，所以， 同理可得，所以Q，O，R三点共线， 又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称. ②是定值，证明如下：     连接，，，由①知：，，所以， 所以，所以为定值. 【点睛】关键点睛：将直线方程代入双曲线方程，借助韦达定理推出是关键. 2 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$