精品解析：四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高一下学期3月教学质量检测数学试题

铧强中学24级高一下3月教学质量检测 数学试题 考试范围：第五章和第六章第一二节；考试时间：120分钟；命题人：余仁宏 审题人：李嘉航 第I卷（选择题58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的弧长为5，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中既是上的奇函数又在上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 4. 函数的周期为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 如图，已知平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：为角的正矢，记作；为角的余矢，记作.则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 若，则 C. 若函数，则的最大值为 D. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知菱形的边长为2，则向量__________. 13. _________. 14. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）已知，求. 16. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 17 已知函数． （1）化简的表达式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间． （3）若，求函数的值域. 18. 已知函数（其中，，）图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值. （3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 19. 如图所示，立德中学植物园为矩形区域，其中为植物园入口.已知有三条路、、，路上点处为植物园的物品管理站，其中，路上有一个地标建筑L，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设. （1）当，时，求张角的正切值； （2）当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此时的总费用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 铧强中学24级高一下3月教学质量检测 数学试题 考试范围：第五章和第六章第一二节；考试时间：120分钟；命题人：余仁宏 审题人：李嘉航 第I卷（选择题58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】根据三角函数的定义，可得. 故选：A. 2. 已知某扇形的弧长为5，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式和面积公式即可求解. 【详解】因为扇形的弧长为5，圆心角为， 由弧长公式可知：，所以该扇形的半径， 由扇形面积公式可知：，所以该扇形面积为． 故选：D. 3. 下列函数中既是上的奇函数又在上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数的性质判断即可. 【详解】对于A，因为是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，因为是偶函数，不是奇函数，故B错误； 对于C，因为是奇函数，在上单调递增，故C正确； 对于D，因为是上奇函数，不是上的奇函数，故D错误. 故选：C 4. 函数的周期为（ ） A 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切周期公式计算求解即可. 【详解】函数的周期为. 故选：A. 5. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 6. 已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式，直接求解三角函数图像平移即可. 【详解】因为， 即图像上所有的点向右平移个单位， 又， 即上述图像再次向右平移个单位， 综上，为了得到的图象， 只要把上所有的点向右平行移动个单位长度. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用同角三角函数关系求出则，再根据两角和差余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以. 故选：B. 8. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，特殊角三角函数值代入即可；对于B，利用余弦的二倍角公式化简计算即可；对于C，利用两角差的正弦公式化简求值即可；对于D，利用正切的倍角公式化简即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确 故选：ABD 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到， 对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确. 【详解】由图可知：的最小正周期， 当时，，所以； 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根， 则，正确； 故选：ACD. 11. 在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：为角的正矢，记作；为角的余矢，记作.则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 若，则 C. 若函数，则的最大值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A求单调减区间即可判断，对于B，代入即可判断，对于C即可求出的最大值，对于D即可判断. 【详解】由已知有，， 对于A：， 令， 当时，，所以函数在为减函数，故在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B：，则，故B正确； 对于C：， 则的最大值为4，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知菱形的边长为2，则向量__________. 【答案】2 【解析】 【分析】应用向量加减法的几何意义化简得，即可得答案. 【详解】由图知. 故答案为：2 13. _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、两角和的余弦公式计算可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 14. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）已知，求. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及商数关系化简即可求解； （2）找到角与角的关系，利用诱导公式即可求解. 【详解】（1）. （2）. 16. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦的和差角公式的展开式，联立可得即可根据弦切互化求解， （2）根据平方和公式，结合余弦和角公式即可求解. 【详解】（1）由可得故 故， （2）由可得，故， 即，解得 17. 已知函数． （1）化简表达式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间． （3）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2）最小正周期为，单调递增区间为， （3） 【解析】 分析】（1）用二倍角公式和辅助角公式化简函数. （2）根据正弦型函数的性质求最小正周期和单调递增区间. （3）根据的取值范围求出的取值范围，进而求出函数的值域. 【小问1详解】 因为，又， 所以． 【小问2详解】 函数的最小正周期为， 令，， 则，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 已知，则，. 当时，取得最小值； 当时，取得最大值. 所以，则， 即的值域为. 18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值. （3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 【答案】（1）,图象如图所示 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得； （2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值； （3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为，由题意，， 且，解得，则，即有， 将点代入，化简可得，则， 即，因，故得，即. 取函数在一个周期上的五点列表如下： 0 2 0 0 在直角坐标系中作图如下： 【小问2详解】 依题意，是偶函数， 故，解得，即， 因，则得，则时，取得最小值为 . 【小问3详解】 由（2）分析可得，因，则， 结合余弦函数的图象性质可得，故得， 因对任意的，恒有成立，故得， 解得或，即的取值范围为. 19. 如图所示，立德中学植物园为矩形区域，其中为植物园入口.已知有三条路、、，路上点处为植物园的物品管理站，其中，路上有一个地标建筑L，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设. （1）当，时，求张角的正切值； （2）当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此时的总费用. 【答案】（1） （2）时，总费用最少为 【解析】 【分析】（1）根据已知得、，再由及差角正切公式求值即可； （2）根据题设有修建费用且，应用平方关系、倍角正弦公式及二次函数性质求最小值，并确定对应，即可得答案. 【小问1详解】 由题知，，，即，故， 所以. 【小问2详解】 由题知，，则，且， 所以修建费用，且，即， 而， 由，则，故， 所以在上单调递增， 所以，故，即， 此时，总费用最少为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$