2025年高考数学之数列的概念与简单表示法

2025高考数学之数列的概念与简单表示法 一、目录 二、数列的概念与简单表示法 1 题型一、数列的规律与周期 1 题型二、递增数列与递减数列 3 题型三、数列的通项公式 5 题型四、递推数列 8 三、巩固提升 10 二、数列的概念与简单表示法 题型一、数列的规律与周期 例1.已知数列满足，若，则（ ） A. B.2 C.1 D. 【答案】B 【分析】根据给定条件，逐项计算确定周期，再求出. 【详解】数列中，，，则， 因此数列是周期数列，其周期为3， 所以. 故选：B 例2.数列，…中，根据规律，有序实数对可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据数列的项发现规律，利用解方程组即可确定. 【详解】由数列中的项可发现规律：， 即得，解得. 故选：D. 变式训练1.已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（ ） A.8项 B.9项 C.10项 D.11项 【答案】B 【分析】观察数列可得通项公式为，解不等式可得结果. 【详解】根据规律可得该数列的通项公式为， 由得，. 因为，所以该数列中小于1的项有9项. 故选：B. 变式训练2.已知数列满足，则（ ） A. B. C.0 D. 【答案】B 【分析】根据题意，由递推关系可得是以8为一个周期的周期数列，代入计算，即可得到结果. 【详解】由，得且，所以，故， 所以是以8为一个周期的周期数列， 又，所以，所以. 故选：B. 变式训练3.在数列中，，，则（ ） A.4 B. C. D.1 【答案】C 【分析】首先利用列举法判断数列的周期，再求值. 【详解】由题意可知，，， 所以，，，， 所以数列的周期为3的数列，则. 故选：C 变式训练4.已知数列满足，则___________. 【答案】 【分析】判断出是周期为4的数列可得答案. 【详解】由题设，则，而， 所以， 故是周期为4的数列，且， 所以. 故答案为：. 题型二、递增数列与递减数列 例1.已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分和判断的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，单调递减， 此时，； 当时，，单调递减， 此时，， 所以取到最小值时的值是. 故选：B. 例2.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 变式训练1.已知数列的通项公式为，前n项和为，则取得最小时n的值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【分析】令，解得：或，分类分析的单调性求解即可. 【详解】令，解得：或， 当时，，故当时，递增，且 当时，，故当时，递减； 当时，，递增. 且，，，，，， 故，所以取得最小时n的值为. 故选：C 变式训练2.已知数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用数列的函数性质，结合一元二次函数即可求解. 【详解】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 变式训练3.已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】由数列为严格增数列，得，， 因此，，而数列为严格减数列，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式训练4.已知数列{an}的通项，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为___________. 【答案】； 【分析】通过研究通项的单调性，即可求出数列前项中的最大项与最小项. 【详解】＝， 当时，＞0，且单调递减； 当时，＜0，且单调递减. 因此数列{an}前项中的最大项与最小项分别为第项，第项， 故答案为： 题型三、数列的通项公式 例1.已知数列满足，，则的值为（ ） A.22 B.42 C.79 D.149 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法求和即得. 【详解】数列中，，， . 故选：C 例2.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据和的关系求解即可. 【详解】由， 当时，， 当时，，满足上式， 所以. 故选：B. 变式训练1.在数列中，，.则（ ） A.4 B.2 C. D. 【答案】C 【分析】由累乘法可求得，代入求值即可. 【详解】，即， 所以，， 显然满足上式，所以， 则. 故选：C. 变式训练2.已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 变式训练3.已知正项数列的前项和满足，则___________. 【答案】 【分析】通过题给条件逐项计算发现规律，即可写出的值. 【详解】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 变式训练4.已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为___________. 【答案】 【分析】利用可求，但需代入检验. 【详解】当时，有， 当时，不满足上式， 所以. 故答案为： 题型四、递推数列 例1.数列满足，则（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【分析】根据递推公式逐一代入计算即可. 【详解】因为：， 所以， 故选：C. 例2.数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据递推式可得，，即可求出，，求出结果. 【详解】因为，，， 所以，，， 所以，， 所以，， 所以. 故选：B 变式训练1.若首项为1的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】依题意，. 故选：C. 变式训练2.已知数列满足，，则（ ） A. B. C.0 D. 【答案】A 【分析】根据对递推公式赋值计算即可. 【详解】由题意得，则；，则； ，则；，则. 故选：A. 变式训练3.若数列满足，，则___________. 【答案】 【分析】根据题意得到，结合累乘法即可求解. 【详解】由，得. 所以， 又满足上式，所以. 故答案为：. 变式训练4.设数列的前项和为，若，且，则___________. 【答案】 【分析】利用累加的方式可求得，结合已知等式可求得结果. 【详解】，， ， 又， ，. 故答案为：. 三、巩固提升 1.已知为数列的前项和，且（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据与的关系求解即可. 【详解】因为，又， 所以. 故选：D. 2.已知数列满足是数列的前项和，则（ ） A.64 B.75 C.128 D.32 【答案】B 【分析】由递推公式求得前4项，即可求解. 【详解】由， 可得：，得， ，得 ，得 所以， 故选：B 3.数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以 . 故选：C. 4.若数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先利用分离常数法分析数列的单调性，再根据单调性求数列的最大项. 【详解】因为 所以当，即时，，所以. 当，即时，，所以. 且时，易知数列为递减数列， 所以该数列的最大项是. 故选：D 5.数列的通项公式分别为，在数列中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数占比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意，分别列举出与的项，即可得到小于25的项中质数个数，从而得到结果. 【详解】中的项依次为； 中的项依次为； 与的小于25的公共项为：4，16； 在数列中去掉与的公共项后，小于25的项有：； 其中质数有：，所以小于25的项中质数的占比为， 故选：B. 6.已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时，，当时，，从而可求出取到最小值时的值. 【详解】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故选：B 7.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【分析】方法一：由题意得到，从而得到； 方法二：数列为，得到答案. 【详解】方法一：根据题意知，数列，满足， 所以. 方法二：新数列为，故. 故选：D. 8.设数列满足，，则（ ） A.3 B.9 C. D. 【答案】C 【分析】由数列的递推公式计算可得. 【详解】根据题意，数列满足，， 则，， ，则. 故选：C. 9.已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用数列的单调性求解即可. 【详解】数列是单调递减数列， 故，即 且，故. 故选：A 10.若数列满足，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】证明，求出数列的周期即可求解. 【详解】由得， 所以，于是数列的周期为4， 所以. 故选：D. 11.已知数列中，，（，且），则通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 12.已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意列举数列的前几项，可得数列的周期性，可得答案. 【详解】由，，则，，， 所以数列的最小正周期为， 由，则. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考数学之数列的概念与简单表示法 一、目录 二、数列的概念与简单表示法 1 题型一、数列的规律与周期 1 题型二、递增数列与递减数列 1 题型三、数列的通项公式 2 题型四、递推数列 3 三、巩固提升 3 二、数列的概念与简单表示法 题型一、数列的规律与周期 例1.已知数列满足，若，则（ ） A. B.2 C.1 D. 例2.数列，…中，根据规律，有序实数对可以是（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（ ） A.8项 B.9项 C.10项 D.11项 变式训练2.已知数列满足，则（ ） A. B. C.0 D. 变式训练3.在数列中，，，则（ ） A.4 B. C. D.1 变式训练4.已知数列满足，则___________. 题型二、递增数列与递减数列 例1.已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 例2.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知数列的通项公式为，前n项和为，则取得最小时n的值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 变式训练2.已知数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（ ） A. B. C. D. 变式训练3.已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围为___________ 变式训练4.已知数列{an}的通项，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为___________. 题型三、数列的通项公式 例1.已知数列满足，，则的值为（ ） A.22 B.42 C.79 D.149 例2.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 变式训练1.在数列中，，.则（ ） A.4 B.2 C. D. 变式训练2.已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 变式训练3.已知正项数列的前项和满足，则___________. 变式训练4.已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为___________. 题型四、递推数列 例1.数列满足，则（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 例2.数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 变式训练1.若首项为1的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 变式训练2.已知数列满足，，则（ ） A. B. C.0 D. 变式训练3.若数列满足，，则___________. 变式训练4.设数列的前项和为，若，且，则___________. 三、巩固提升 1.已知为数列的前项和，且（），则（ ） A. B. C. D. 2.已知数列满足是数列的前项和，则（ ） A.64 B.75 C.128 D.32 3.数列满足，，则（ ） A. B. C. D. . 4.若数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（ ） A. B. C. D. 5.数列的通项公式分别为，在数列中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数占比为（ ） A. B. C. D. 6.已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 7.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 8.设数列满足，，则（ ） A.3 B.9 C. D. 9.已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10.若数列满足，则一定等于（ ） A. B. C. D. 11.已知数列中，，（，且），则通项公式（ ） A. B. C. D. 12.已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$