精品解析：湖南省湘西州溶江中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

湘西州溶江中学2024—2025学年第一学期期中考试 初三数学试卷 命题人： 审题人： 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A. ，3 B. ， C. 1，3 D. 1， 3. 将方程左边变成完全平方式后，方程是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向上平移3个单位，则所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 中国传统的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它蕴含着丰富的哲学思想和数学文化．从数学角度看，太极图可以看作是由一个圆形的一部分经过旋转等变换得到另一部分．如果把黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度可能是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的对称轴为（ ） A. B. C. D. 8. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 点在它的图象上 C. 它的图象在第一、三象限 D. 当时，随的增大而增大 9. 某服装公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司、两个月营业额的月均增长率，设该公司、两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程的根是_________． 12. 已知一元二次方程的一个根是1，则的值为________． 13. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是____ 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 15. 设，是一元二次方程的两实数根，则的值为______． 16. 已知是方程的一个根，则代数式的值是______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 18. 数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 三、解答题：本题共8小题，共66分．其中第19—20每题6分，21—22题每题8分，23—24题每题9分，25—26题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，关于y轴对称的图形为． （1）点的坐标分别为：_______、_______； （2）请作出关于原点为对称中心的． 21. 反比例函数与一次函数的图像都过． （1）求A点坐标； （2）求反比例函数解析式． 22. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 23. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 24. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 25. 阅读下列材料 定义运算：，当时，；当时，．例如：；．完成下列任务 （1）①______；②______． （2）如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点． ①当时，请直接写出x的取值范围； ②当时，．求这两个函数的解析式． 26. 如图，直线与x，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，且交x轴于另一点A． （1）求B，C两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）如图1，若直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得最小，求出点M的坐标； （3）如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点P（与B，C两点不重合），过点P作轴于点N，与线段交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘西州溶江中学2024—2025学年第一学期期中考试 初三数学试卷 命题人： 审题人： 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 2. 方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A. ，3 B. ， C. 1，3 D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程的二次项系数和常数项分别为1，3， 故选C． 3. 将方程左边变成完全平方式后，方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了配方法解一元二次方程，直接利用完全平方公式配方求出即可． 【详解】解： ， 故选：D． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 5. 把抛物线向上平移3个单位，则所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到答案． 【详解】解：把抛物线向上平移3个单位，则所得抛物线是， 故选：B． 6. 中国传统的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它蕴含着丰富的哲学思想和数学文化．从数学角度看，太极图可以看作是由一个圆形的一部分经过旋转等变换得到另一部分．如果把黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，根据题意可得旋转的角度一定是180度的倍数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度一定是180度的倍数， 故选：C． 7. 二次函数的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可． 【详解】解：中， ，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了求二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 8. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 点在它的图象上 C. 它的图象在第一、三象限 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的k的符号判断该函数图象的单调性、所在的象限以及所经过的点的坐标． 【详解】：解：A、∵2＞0，反比例函数经过第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项正确； B、当时，，即点在它的图象上；故本选项正确； C、∵，反比例函数经过第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项正确； D、∵，反比例函数经过第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项错误． 故选D． 9. 某服装公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司、两个月营业额的月均增长率，设该公司、两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据增长后的量=增长前的量（1+增长率），即可表示出月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到万元，即可列方程． 【详解】解：该服装公司今年10月的营业额为万元，该公司，两个月营业额的月均增长率为， 该服装公司今年月的营业额为万元，月的营业额为万元． 根据题意得：， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，根据题意正确列出方程是解题关键． 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程的根是_________． 【答案】， 【解析】 【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可． 12. 已知一元二次方程的一个根是1，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程，得到关于的一元一次方程，然后解此一元一次方程，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是1， ∴把代入，可得：， 解得：， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 13. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， ， 故答案为： 14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的知识点，解题思路是根据“方程有两个不相等实数根”这一条件，利用判别式建立关于k的不等式求解．解题关键是熟练掌握判别式与根的个数的关系，易错点是在解不等式时，忘记不等号方向改变的规则（当不等式两边同时除以负数时，不等号方向改变）． 【详解】方程的判别式; 由题意，即，解得． 故答案为： ． 15. 设，是一元二次方程的两实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系进行计算即可得． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两实数根， ∴， 故答案为：． 16. 已知是方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先将a代入方程，得出，将所求的代数式变形为，然后利用整体代入的方法进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将a代入方程，得出，即， ∵， ∴把代入，可得． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，已知式子的值求代数式的值，正确理解一元二次方程的根的定义是解本题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 18. 数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．其中第19—20每题6分，21—22题每题8分，23—24题每题9分，25—26题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，关于y轴对称的图形为． （1）点的坐标分别为：_______、_______； （2）请作出关于原点为对称中心的． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：∵关于y轴对称的图形为，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 反比例函数与一次函数的图像都过． （1）求A点坐标； （2）求反比例函数解析式． 【答案】（1）点A的坐标为（4，4） （2）y＝ 【解析】 【分析】（1）把点A（n，4）代入一次函数y=2x-4求出n的值即可得出A点的坐标； （2）再把点A的坐标代入反比例函数求出k的值即可． 【小问1详解】 解：将点A（n，4）代入y＝2x﹣4得：2n﹣4＝4，解得：n＝4， ∴点A的坐标为（4，4）． 【小问2详解】 解：将点A（4，4）代入得：k＝16， ∴反比例函数解析式为y＝． 【点睛】本题主要考查的是一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，掌握函数图像的交点坐标即为函数解析式组成的方程组的解是解答本题的关键． 22. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 23. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 【答案】（1）；； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标； （2）根据A，B，C的坐标求出，长，即可求出的值． 【小问1详解】 解：令，则， ∴； 令，则， 解得：，， ∴；． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算． 24. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）在中，令，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式； （3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得． 【小问1详解】 解：在中，令得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 即w与x之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为， 即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 25. 阅读下列材料 定义运算：，当时，；当时，．例如：；．完成下列任务 （1）①______；②______． （2）如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点． ①当时，请直接写出x的取值范围； ②当时，．求这两个函数的解析式． 【答案】（1） （2）①或 ② 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算和反比例函数图象的性质，熟练掌握新定义运算的法则和反比例函数的性质是解答本题的关键. （1）根据定义运算的法则解答即可； （2）①根据时，可得一次函数的解析式，然后呢求出点的坐标代入反比例函数解析式计算解题． ②根据①的结论和定义运算的法则解答即可； 【小问1详解】 解：①∵， ∴ ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由图象得：当或时，； ②当时，， ∵， ∵一次函数， 当 时，， ， 将点代入中， 得， ， 故答案为：． 26. 如图，直线与x，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，且交x轴于另一点A． （1）求B，C两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）如图1，若直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得最小，求出点M的坐标； （3）如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点P（与B，C两点不重合），过点P作轴于点N，与线段交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式、线段和最值问题、动点问题，解题的关键是表示P的坐标及列方程解决问题． （1）令，可求出点的坐标，令，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时， 取得最小值，故直线与直线的交点即为所求； （3）设，则， 则 ，，由题意可知点是线段的三等分点，分或两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：令得即， 令得 ，解得：，即， 把，两点坐标代入得， ，解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴对称轴是直线， 设直线交直线于点， 由对称性可知， 当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求， 当，， ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ，， 由题意可知：点是线段的三等分点， 或 ， ①当时，， 即：， 解得：， 经检验：不合题意舍去， ； ②当时，， 即：解得：， 经检验：不合题意舍去， ∴， 由①②可知：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $