重庆市渝西中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

重庆市渝西中学校高2026届高二下第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题 1.（原创） 2．设等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则和的值分别为（    ） A． ， B．， C．， D．， 4．与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 5．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数，，的“新驻点”分别为，，。那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线：与直线：相交于点P，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） 二、多选题 9. 已知数列的前项和（），则下列正确的是（   ） A．为递增数列 B． C． D． 10．设函数，且、、，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．若，则 D．对任意，总有，使得 11．已知且，则函数的图象可能是（    ） A． B．C．D． 三、填空题 12．已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为 ． 13. 对于三次函数 给出定义：设 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 =0有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算 . 14.（原创） 四、解答题 15．已知数列中，，，． (1)求，的值； (2)求的前2023项和． 16．（原创）已知函数，，且函数在和处都取得极值． （1）求实数与的值； （2）对任意，方程存在三个实数根，求实数的取值范围． 17．如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点． (1)证明平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（改编）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为. （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）过点且不与轴重合的直线，与轨迹交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，在轨迹上是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 19． （改编）已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较与2的大小，并说明理由。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2026届高二下第一次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A B D D D B AC BC BCD 1．C 【难度】0.94 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据常数函数的求导公式求解即可. 故选：C 2．C 【难度】0.94 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，，，， 因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 3．A 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【解析】根据切点在切线上，将代入切线方程得，再根据导数的几何意义得. 【详解】根据图象知，函数的图象与在点处的切线交于点， ，为函数的图象在点处的切线的斜率，. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题. 4．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【详解】因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 5．D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、判断零点所在的区间、函数新定义 【分析】先根据“新驻点”的概念，得到，，构造函数，根据零点存在性定理，确定范围；由，得到，即可得出结果. 【详解】，则由，即，所以 ，则由，即 设，则，则在上单调递增. , 所以函数有唯一零点在内，即 ,则由，即，则 又，则，即 所以 故选：D 6．D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【解析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数为上的减函数， 由可得，即， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法： （1）对于不等式（或），构造函数； （2）对于不等式（或），构造函数； （3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数； （4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数. 7．D 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线过定点问题、轨迹问题——圆 【分析】由已知得到，过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆，设圆心为，半径为，取的中点，连接，求得，设圆的半径为，求得的最小值，再由得答案． 【详解】解：圆半径，圆心， 直线与垂直，又过定点，过定点， 点轨迹是以为直径的圆，方程为，圆心，半径， 取的中点，连接，由，则， 则， ， 的最小值为． 故选：D． 8．B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、求曲线切线的斜率（倾斜角）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意转化为方程恰有2个不同的实数根，即直线与函数的图象恰有2个不同的交点，用导数法画出其图象，利用数形结合法求解. 【详解】由题意知方程恰有2个不同的实数根． 设，则直线与函数的图象恰有2个不同的交点， 因为，当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 当时，，当时，，当时，， ∴可以作出的大致图象，如图所示， 易知直线过定点，当直线与函数的图象相切时，设切点为， 则，解得或， 当直线与函数的图象相切时，或， 数形结合可知，实数a的取值范围为. 故选：B． 【点睛】思路点睛：函数恰有两个不同的零点，转化为方程恰有2个不同的实数根，即直线与函数的图象恰有2个不同的交点，利用导数判断函数的单调性，极值，数形结合求解. 9． AC 【难度】0.85 【分析】根据与的关系求出，逐一判断选项即得. 【详解】∵，∴令得，当时，①， ②， 由①-②可得：， 因当时，，故. 因时，单调递增，且，故为递增数列， 即A，C都正确，B，D都错误. 故选：AC. 10．BC 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式 【解析】利用函数在上的单调性可判断A选项的正误；证明出，可判断B选项的正误；利用函数在上的单调性可判断C选项的正误；取，，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，构造函数，其中，则， 所以，函数在上为减函数，当时，， 因为，则，则，即， 所以，，A选项错误； 对于B选项，当时，，， 所以，函数在上单调递增，当时，， 因为，则，则，即， 所以，，结合A选项可知，， 若，则，所以，，B选项正确； 对于C选项，由B选项可知，函数在上单调递增， ，则，即，则， 所以，，即，C选项正确； 对于D选项，取，，由AB选项可知，， 则， 若存在，则，此时，，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 11．BCD 【难度】0.4 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析 【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案. 【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增， 令，求导可得在上恒成立， 则在上单调递增，所以， 易知，使得，则，即， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 所以，由，则， 令，求导可得，令，解得， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减. 由，，则存在，使得， 易知时，，所以当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 对于AB，由图可得，故，故A错误，B正确； 对于CD，，此时符号不定，故BC可能正确， 故选：BCD. 12． 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由点在抛物线上代入得，再由定义转化为到准线距离可求. 【详解】由在抛物线上，得，所以． 又焦点的坐标为，准线为， 所以． 故答案为：. 13．2021 【难度】0.65 【知识点】导数的加减法、由函数对称性求函数值或参数、导数新定义 【分析】由题设对求二阶导并确定零点，进而可得对称中心，利用求目标式的值即可. 【详解】由题设，，， 令，则，而， 所以是的对称中心，即， 所以，且， 则. 故答案为：. 14．1 （同构法或者切线放缩法） 【难度】0.4 15．(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】 （1）由递推公式令和代入即可得出答案； （2）由递推公式可证明数列是以4为周期的周期数列，再由周期数列的性质求解即可. 【详解】（1）当时，，所以；当时，，所以． （2）当时，，所以． 由知，所以，故数列是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以． 16．（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、根据极值点求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求，由题意可得且即可求与的值； （2）利用导数判断的单调性，即可求得在上的极值和最值，由与图象有三个交点列不等式即可求解. 【详解】（1）由可得， 因为函数在和处取得极值， 所以解得：， 当时，， 满足在和处都取得极值，符合题意，所以. （2）由（1）知：，， 由可得：或， 由可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增， 所以时，取得极大值为， 时，取得极小值为， ，， 若方程存在三个实数根，则函数与图象有三个交点， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为：. 17．(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面. （2）取中点，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得且， 而且，又为的中点，则且，于是且， 因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令， 取中点，连接，而为中点，则，有底面， 由正，得，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，令，得，令直线与平面所成的角为， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 18．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点，的方程为或，理由见解析. 【难度】0.64 【知识点】椭圆 【详解】试题分析：（Ⅰ）直接根据题设条件列出等式，再进行化简，即可得到动点的轨迹的方程；（Ⅱ）先假设存在，并设出直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理得到中点坐标，进而表示出点的坐标，再根据点在椭圆上即可求出直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）设动点，则由题意可得 ，化简整理得的方程为. （Ⅱ）假设存在满足条件，设依题意可设直线方程为， 于是，消去，可得， 令，， 于是，， 所以的中点的坐标为. 因为， 所以直线的方程为， 令，解得，即. 因为、关于点对称， 所以，， 解得，，即. 因为点在椭圆上，所以 解得，于是，即， 所以的方程为或. 考点：1、椭圆及其方程；2、存在性问题的探求. 【思路点睛】本题是一个圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，对于（Ⅰ）直接根据题设条件列出等式，再进行化简，即可得到动点的轨迹的方程；对于（Ⅱ）先假设存在，并设出直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理得到中点坐标，进而表示出点的坐标，再根据点在椭圆上即可求出直线的方程. 19．(1) (2) (3) 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，得到切线方程即可. （2）对的参数进行分类讨论，转化为不等式的恒成立问题，求解参数范围即可. （3）利用上一问证明的不等式结合赋值法证明不等式即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 此时，故切点为， 设切线斜率为，而， 故， 则切线方程为，化简得， （2）若， 则， 当时，，， 故在上单调递减， 当时，，与矛盾，故排除， 当时，当时，， ，故，与矛盾，故排除， 当时，，令，解得， 令，解得，故在上单调递减， 在上单调递增，则有极小值， 极小值为，只需要即可， 令，记，则， 记， 则， 得到在上单调递减，而， 即，故，在上单调递减， 而，若，则， 得到，解得，故的取值范围为. （3）令，得到， 由上问得恒成立，故恒成立， 得到恒成立，两边取指数得恒成立， 令，则， 令，则， 两式相加得，即成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用已经证明的不等式结合赋值法建立不等式，然后利用不等式的性质得到所要求的不等关系即可． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$