第4章 第1节 多项式的导数与极值-【高考零起点】2025年新高考数学总复习学用word（艺考）

第四章　导　　数 第一节　多项式的导数与极值 1．多项式求导公式(以下n∈Q) (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0. (2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝nxn－1，当n＝1时，f′(x)＝1. (3)(axn)′＝a(xn)′＝anxn－1(a为常数)． (4)(a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn)′＝(a0)′＋(a1x)′＋(a2x2)′＋…＋(anxn)′＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1(ai为常数，其中i＝0,1,2，…，n)． 2. 函数y＝f(x)在点(a，f(a))处的导数f′(a)等于该函数图象上过该点切线的斜率． 3. 如果在某区间上有f′(x)>0，则y＝f(x)在此区间上为增函数；反之，如果在某区间上f′(x)<0，则y＝f(x)在此区间上为减函数． 4. 函数的极值点和极值的概念 如图所示为函数y＝f(x)的图象，我们把一个光滑函数图象上类似P这样的局部最高点叫做波峰，把类似Q这样的局部最低点叫做波谷．把波峰和波谷的横坐标分别叫做极大值点和极小值点(如图中a为极大值点，b为极小值点)，极大值点和极小值点统称为极值点．其中极大值点对应的函数值f(a)叫做该函数的极大值，极小值点对应的函数值f(b)叫做该函数的极小值，极大值和极小值统称为极值．若x0为函数y＝f(x)的极值点，则一定有f′(x0)＝0. 5. 函数y＝f(x)(x∈R)，方程f′(x)＝0有两个根，且两个根为a，b(a<b)，如果a，b为该函数的两个极值点，进一步判断二者哪个为极大值点哪个为极小值点的方法如下： (1)解不等式f′(x)>0，求出函数y＝f(x)的两个递增区间(不失一般性，设为(－∞，a)和(b，＋∞))，则(a，b)为该函数的递减区间． (2)由增函数和减函数的图形特征画出该函数的草图(如图所示)，由图可知，a为该函数的极大值点，b为该函数的极小值点． 6. 求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上最值的方法 先求出该函数在闭区间[a，b]上的极值，再将所求得的极值与函数在端点处的函数值f(a), f(b)放在一起，从中选取一个最大值即为所求的最大值，选取一个最小值即为所求的最小值． 注意　极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值． 7. 如果函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)存在两个极值点(由y′＝3ax2＋2bx＋c，此时Δ＝4b2－12ac>0)，则当a>0时，函数在直角坐标系中的图象形状大致为 x→－∞时，y→－∞；x→＋∞时，y→＋∞ 当a<0时，函数在直角坐标系中的图象形状大致为 x→－∞时，y→＋∞；x→＋∞时，y→－∞ 8. 求函数y＝f(x)在非闭区间上最值的方法 将函数的单调区间求出来即可作出判断． 例1　求函数f(x)＝5x4－6x3＋x2－7x＋3的导数． f′(x)＝(5x4－6x3＋x2－7x＋3)′＝(5x4)′－(6x3)′＋(x2)′－(7x)′＋3′＝20x3－18x2＋2x－7.　 例2　 求函数f(x)＝2x3＋x2＋1(x>0)在其图象上点A(1,4)处的切线斜率及此切线的方程． f′(x)＝6x2＋2x，将点A的横坐标1代入导函数得f′(1)＝8，所以原函数在点A处的切线斜率为8.由直线的点斜式方程可知此切线方程为y－4＝8(x－1)，整理得 8x－y－4＝0.　 例3　求函数f(x)＝－x2－3x＋1的单调区间． f′(x)＝x2－2x－3，由x2－2x－3>0得x<－1或x>3，所以该函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)；单调递减区间为(－1,3)．　 例4　 求函数f(x)＝＋2x2＋3x－1的极大值点和极小值点、极大值和极小值并画出函数的草图． 由f′(x)＝x2＋4x＋3＝0解得x1＝－1，x2＝－3. 令导函数f′(x)>0得函数的单调递增区间为(－∞，－3)和(－1，＋∞)，于是函数的单调递减区间为(－3，－1)．所以x1＝－1为函数的极小值点，x2＝－3为函数的极大值点．故函数的极小值为f(－1)＝－，极大值为f(－3)＝－1.函数草图如图所示． 　 例5　求函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,3]上的最大值和最小值． 令f′(x)＝3x2－3＝0得两根x1＝1和x2＝－1，即该函数在[－2，－1)和(1,3]上为增函数，在(－1,1)上为减函数，由f(1)＝－2, f(－1)＝2，f(－2)＝－2，f(3)＝18可得该函数在区间[－2,3]上的最小值为－2，最大值为18.　 一、计算题 1. 求下列函数的导函数： (1)f(x)＝x4＋2x3－x2－x－1；　　　 (2)f(x)＝5x3－2x2－4. (1)f′(x)＝4x3＋6x2－2x－1 (2)f′(x)＝15x2－4x　 2. 求曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程． 3x－y－1＝0　 3. 求函数f(x)＝x3－2x2＋x＋1的单调区间． 递增区间为和，递减区间为　 4. 求函数f(x)＝－x2＋ax＋1的单调区间． f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a). (1)当a>1时，递增区间为和，递减区间为； (2)当a<1时，递增区间为和，递减区间为； (3)当a＝1时，在R上为增函数．　 5. 求函数f(x)＝x3＋6x2－15x＋3的极大值和极小值． 令f′(x)＝3x2＋12x－15>0，得x2＋4x－5>0，解得x<－5或x>1， 所以f(x)的递增区间为和，递减区间为(－5,1)．所以原函数的极小值为f(1)＝－5，极大值为f(－5)＝103.　 二、选择题 1. 函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　D　) A．2 B．3 C．4 D．5 2. 已知a为函数 f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　D　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 3. 若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　D　) A．2 B．3 C．6 D．9 4. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(　C　) A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19 5. (多选)下列函数图象中直线y＝x＋b能作为其切线的有(　BCD　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex 6．(2023全国乙卷)函数f＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　B　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3,0) 7. (多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　ABD　) A．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增 B．函数f(x)在区间上单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极小值 8. (2024新高考Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　ACD　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 学科网（北京）股份有限公司 $$