2025年中考复习数学教材梳理第6章 圆课件

第六章 圆 第28课时　与圆有关的位置关系 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） （三） (一)点、直线与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系：如图，设☉O的半径是r，点到圆心O的距离是d. (1)点在圆外⇔d＞r，如点A； (2)点在圆上⇔d＝r，如点B； (3)点在圆内⇔d＜r，如点C. （一） （二） （三） 2.直线与圆的位置关系： 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0 1 2 数量关系 d＞r d＝r d＜r 1.已知☉O的半径是3 cm，点P到圆心O的距离为d. (1)当d＝2 cm时，点P在☉O________； (2)当d＝3 cm时，点P在☉O________； (3)当d＝5 cm时，点P在☉O________. （一） （二） （三） 内 上 外 2.已知☉O的半径为5 cm，点O到直线l的距离为d， (1)当d＝4 cm时，直线l与☉O______； (2)当d＝_______cm时，直线l与☉O相切； (3)当d＝6 cm时，直线l与☉O_______. （一） （二） （三） 相交 5 相离 （一） （二） （三） (二)圆的切线 1.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 2.判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线 二者缺一不可 （一） （二） （三） 3.*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图，若PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，则有PA＝PB， ∠APO＝∠BPO＝∠APB. 3.如图，AB是☉O的直径. (1)若AC与☉O相切，A为切点，∠ACB＝50°， 则∠B＝_____°； (2)若∠ABC＝45°，AB＝AC，则AC是☉O的_____. （一） （二） （三） 40 切线 4.如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别为A，B，∠APB＝60°，OA＝2，则∠APO＝________°，PA＝_______. （一） （二） （三） 30 2 （一） （二） （三） (三)三角形的外接圆与内切圆 名称 图示 定义 圆心 圆心的特点 外 接 圆 过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，如左图中的点O 外心到三角形的三个顶点的距离相等，即OA＝OB＝OC＝r （一） （二） （三） 名称 图示 定义 圆心 圆心的特点 内 切 圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，如左图中的点O 内心到三角形三条边的距离相等，OD＝OE＝OF＝r 注意：外心不一定在三角形内部，内心一定在三角形内部. 考点1 考点2 考点3 考点1　点、直线与圆的位置关系 例1：如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为2，小圆半径为1，点A在大圆上，点P是小圆上的一个动点，则AP长的最小值为_______，AP长的最大值为_______；当AP＝时，直线AP与小圆的位置关系是__________.[2024福州屏东中学模拟改编] 1 3 相切 考点1 考点2 考点3 考点2　圆的切线[8年7考] 例2：如图，点A、B、C在☉O上，∠ABC＝31°，过点C作☉O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为[2024厦门第一中学二模4分]( ) A.32° B.31° C.28° D.27° C 考点1 考点2 考点3 【变式题1】如图，过☉O外一点P作圆的切线PA，PB，A，B为切点，AC为直径，若∠P＝50°，则∠C的度数为 [2024福建百校联考三模4分]( ) A.55° B.60° C.65° D.70° C 考点1 考点2 考点3 【变式题2】如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于 [2024福建4分]( ) A.18° B.30° C.36° D.72° A 考点1 考点2 考点3 【变式题3】如图，AB为☉O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与☉O相切，切点分别为C，D.若AB＝6，PC＝4，则 sin ∠CAD＝______. 考点1 考点2 考点3 例3：如图，已知△ABC内接于☉O，CO的延长线交AB于点D，交☉O于点E，交☉O的切线AF于点F，且AF∥BC. (1)求证：AO∥BE； 证明：∵AF是☉O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°. ∵CE是☉O的直径，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE＝90°. ∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC， 即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE. 考点1 考点2 考点3 (2)求证：AO平分∠BAC.[2023福建8分] 证明：∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角， ∴∠ABE＝∠ACE. ∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC， ∴∠ABE＝∠OAC. 由(1)知∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC， ∴AO平分∠BAC. 找到关键词“切线” “相切““切点”，则连接圆心与切点，得直角. 考点1 考点2 考点3 考点1 考点2 考点3 例4：如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画☉O，☉O与边AC相切于点C，连接OA，AO平分∠CAB. (1)求证：AB是☉O的切线； 考点1 考点2 考点3 证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D， ∵☉O与边AC相切于点C，∴OC⊥AC. 又∵AO平分∠CAB，OD⊥AB， ∴OC＝OD，即OD是☉O的半径， ∴AB是☉O的切线. 考点1 考点2 考点3 (2)若AB＝10，tan B＝，求☉O的半径.[2024莆田校模拟8分] 解：设☉O的半径为4r，在Rt△ODB中，tan B＝＝， ∴BD＝OD＝3r，∴OB＝＝5r， ∴BC＝OC＋OB＝9r. 在Rt△ABC中，tan B＝＝， ∴AC＝BC＝12r.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2， ∴＋＝102，解得r＝(负值已舍去)，∴☉O的半径为. 考点1 考点2 考点3 例5：如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且DC＝DB. 考点1 考点2 考点3 (1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由； 解：直线CD与☉O相切. 理由如下：如图，连接OC. ∵OA＝OC，CD＝BD， ∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB. ∵∠AOB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ACO＋∠DCB＝90°， ∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD. ∵OC是☉O的半径，∴直线CD与☉O相切. 考点1 考点2 考点3 (2)已知tan∠DOC＝，AB＝40，求☉O的半径.[2024三明三元区一模8分] 解：由(1)可得∠OCD＝90°， ∵tan∠DOC＝，∴可设CD＝7x，则BD＝CD＝7x， OA＝OC＝24x， ∴OD＝＝25x，∴OB＝OD＋BD＝25x＋7x＝32x. ∵AB2＝AO2＋OB2，∴402＝＋， 解得x＝1(负值已舍去)，∴AO＝OC＝24，∴☉O的半径为24. 考点1 考点2 考点3 例6：如图，AB与☉O相切于点B，AO交☉O于点C，AO的延长线交☉O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝. (1)求∠BED的大小； 考点1 考点2 考点3 解：连接OB，∵AB与☉O相切于点B， ∴OB⊥AB. ∵sin A＝，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°， ∴∠BOD＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°. 考点1 考点2 考点3 (2)若☉O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与☉O相切.[2020福建8分] 证明：连接OF，由(1)得OB⊥AB，∠BOD＝120°. ∵OB＝3，BF＝3，∴OF＝＝6， ∴∠OFB＝30°，∴∠BOF＝60°，∴∠DOF＝60°. 考点1 考点2 考点3 在△BOF和△DOF中， ∴△BOF≌△DOF(SAS)，∴∠ODF＝∠OBF＝90°. ∴OD⊥DF.又∵OD是☉O的半径，∴DF与☉O相切. 考点1 考点2 考点3 考点3　三角形的外接圆与内切圆 例7：如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则关于△ABF外心的位置，下列说法正确的是( ) A.在△ABF内 B.在△BFE内 C.在线段BF上 D.在线段BE上 D 考点1 考点2 考点3 例8：如图，边长为2的等边三角形ABC的内切圆的半径为_______. 1 考点1 考点2 考点3 1.任意三角形的内切圆(如图①)，利用等面积法得r＝. 2.直角三角形的内切圆(如图②)，利用等面积法得r＝，利用切线长定理得r＝. 考点1 考点2 考点3 例9： 如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接DB，DC.求证：DB＝DC＝DE. 证明：如图，连接BE. ∵E为△ABC的内心，∴AE平分∠BAC， BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD， ∴＝，DB＝DC. 考点1 考点2 考点3 ∵＝，∴∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DE＝DB，∴DB＝DC＝DE. 1 2 3 4 1.如图，PA，PB是☉O的切线，A、B为切点，点C在☉O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于 [2019福建4分]( ) A.55° B.70° C.110° D.125° B 1 2 3 4 2.如图，AB是☉O的直径，过圆上一点C作☉O的切线，交AB的延长线于点P，若tan∠APC＝，☉O的半径为2，则PB的长是 [2024宁德一模4分]( ) A.2－2 B.2－4 C.2－2 D.2 A 1 2 3 4 3.如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作☉C，半径为r，已知线段AB和☉C有交点，则r的取值范围为_______________. 2.4≤r≤4 证明：连接OC，CD，如图. ∵CA＝CB，∴∠A＝∠B. ∵BD是☉O的直径， ∴∠BCD＝90°. 1 2 3 4 4.如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点.以O为圆心，OB长为半径的☉O过点C，交AB于另一点D，若D是OA的中点，求证：AC是☉O的切线.[2024福州二模8分] 1 2 3 4 ∵D是OA的中点，∴AD＝OD.又OB＝OD， ∴AO＝BD，∴△AOC≌△BDC(SAS)， ∴∠ACO＝∠BCD＝90°， ∴OC⊥AC. ∵OC为☉O的半径，∴AC是☉O的切线. $$第六章 圆 第27课时　圆的基本概念及性质 教材梳理篇 圆 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 定义 与圆有关的位置关系 与圆有关的计算 性质 定点定长构造圆 相交 相离 相切 边：垂径定理 形： 三角形的 外接圆； 圆内接四 边形；正多边形和圆 角： 圆周角定理及推论；弦、弧、圆心角的关系 性质定理、 判定定理 三角形的内切圆 切线长定理 扇形弧长、面积 圆锥 轴对称图形 旋转不变性 中心对称图形 全章纵览 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 教材梳理篇 （一） （二） （三） (一)圆的有关概念及性质 1.概念 圆 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.其固定的端点叫做圆心，线段叫做半径 弦 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦 （一） （二） （三） 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 （一） （二） （三） 等圆 能够完全重合的两个圆叫做等圆 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 （一） （二） （三） 2.性质 ①对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，对称轴有无数条；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合. （一） （二） （三） 3.弧、弦、圆心角之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 1.如图，OA，OB，OC，OD是☉O的半径. (1)若AB＝CD，则＝____，∠AOB＝_______； (2)若∠AOB＝∠COD，则AB＝____，＝______； （一） （二） （三） ∠COD CD 　 (3)若＝，则∠AOC＝________； (4)若＝，∠AOB＝30°，∠AOD＝130°， 则∠AOC的度数为_______； (5)连接AC得△AOC，根据三边关系得OA＋OC________AC，从而可推得_______是圆中最长的弦. （一） （二） （三） ∠BOD 160° ＞ 直径 （一） （二） （三） 2.如图，已知AB是☉O的直径， BC＝CD＝DE，∠BOC＝42°，则∠AOE＝________°. 54 （一） （二） （三） (二)垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （一） （二） （三） 拓展 如图，根据圆的对称性，有以下五个结论： (1)＝；(2)＝； (3)AM＝BM(AB不是☉O的直径)； (4)AB⊥CD；(5)CD是☉O的直径. 提示：只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三” （一） （二） （三） 3.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，它们相交于点E.  (1)若AB⊥CD，则DE＝_____，当AB＝10， CD＝8时，OE＝_______； (2)若E为弦CD的中点，则AB_____CD，当CD＝8，BE＝2时， AB＝________. CE 3 ⊥ 10 （一） （二） （三） (三)圆周角定理及推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； (3)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 4.如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上一点，∠A＝64°，则∠BOD＝_________°，∠BCD＝_________°，∠DCE＝________°. （一） （二） （三） 128 116 64 （一） （二） （三） 5.如图，AB是☉O的直径，点C为☉O上一点， ∠A＝23°，则∠B＝________°. 67 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1　圆的有关概念 例1：如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，称之为“四点共圆”.如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为_______. 6 考点1 考点2 考点3 考点4 例2：如图，在☉O中，C，D两点在弦AB上，且AC＝BD，求证：OC＝OD.[2024三明尤溪一模4分] 证明：∵AB是☉O的弦， ∴点A、B在☉O上，∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA. 又∵AC＝BD，∴△OAC≌△OBD， ∴OC＝OD. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2　弧、弦、圆心角之间的关系[8年4考] 例3：如图，在☉O中，＝，∠ACB＝60°. (1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC； 证明：∵＝，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形. 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明：如图，连接OD. ∵D是的中点，∴ ＝， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝∠ACB＝60°. 又∵OD＝OA，OD＝OB，∴△OAD和△OBD都是等边三角形， ∴OA＝AD＝OD，OB＝BD＝OD，∴OA＝AD＝DB＝BO，∴四边形OADB是菱形. 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3　垂径定理及其推论[由选学调整为必学][8年1考] 例4：如图，在☉O中，点C是弦AB上一点， 连接OA，OC. (1)若C是AB的中点，∠OAB＝37°， 则∠AOC＝__________； (2)若☉O的半径为5，弦心距OC＝3， 则弦AB的长是_______. [2024泉州一模改编] 53° 8 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题】如图是一个隧道的截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，高CD＝8米，则此圆的半径OA的长度为 [2024福州格致中学模拟4分]( ) A.6.5米 B.6米 C.5.5米 D.5米 D 考点1 考点2 考点3 考点4 例5：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用.如图，筒车的半径为2 m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动.通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3 s，离开水面6 s后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是 ________. [2024厦门二模改编] 2 m 考点1 考点2 考点3 考点4 考点4　圆周角定理及其推论[8年6考] 例6：如图，C，D是☉O上直径AB两侧的两点，若∠ABC＝32°，则∠BDC＝__________. [2024福州一模改编] 58° 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题1】如图，△ABC的三个顶点均在☉O上，BD是☉O的直径.若∠BAC＝130°，则∠CBD的度数为_______. [2024福州时代华威中学模拟改编] 40° 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题2】如图，AB是☉O的直径，AC，CD是☉O的弦，CD交AB于点E，且OD＝DE，连接BC.若∠BAC＝15°，则∠ODC的度数为______.[2024福州三模改编] 40° 考点1 考点2 考点3 考点4 例7： 如图，A，P，B，C是☉O上的四个点，且∠APC＝∠CPB＝60°. (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论； 解：△ABC是等边三角形.证明：∵＝， ＝，∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形. 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)若BC的长为2，求☉O的半径. 解：延长BO交☉O于点E，连接CE，则∠BCE＝90°. 由圆周角定理得，∠E＝∠BAC＝60°， ∴BE＝＝4，∴☉O的半径为2. 　圆周角定理及其推论在证明中的常见思路 1.看到直径，找直径所对的圆周角，构造直角三角形； 2.当遇到圆周角是直角时，要知道圆周角所对的弦是直径. 考点1 考点2 考点3 考点4 $$第六章 圆 第29课时　与圆有关的计算 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)正多边形与圆 图例 中心 外接圆的圆心，如图O （一） （二） 中心角 每一边所对的圆心角，如图，θ＝ (n为正多边形的边数，以下同) 边长 如图，a＝2R·sin 边心距 中心到边的距离，如图，r＝ 周长 如图，l＝na 面积 如图，S＝ lr＝ nar 1.填表： （一） （二） 名称 圆内接正三角形 圆内接正方形 圆内接正六边形 图形(圆的 半径均为R) 中心角 边心距 边长 边心距∶半径∶边长 120° 90° 60° R R R R R R 1∶2∶2 1∶ ∶2 ∶2∶2 （一） （二） (二)弧长与扇形面积 1.弧长、扇形面积公式 (1)弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝. (2)扇形面积公式：如果扇形的半径为R，圆心角为n°， 那么扇形面积的计算公式为S扇形＝； 弧长是l，半径是 R的扇形面积为S扇形＝lR. （一） （二） 2.扇形与圆锥的关系 如图，已知圆锥的底面圆的半径为r，母线长为R，高为h，将圆锥的侧面展开得到一个扇形，该扇形的圆心角的度数为n°，则 (1)圆锥底面圆的周长＝侧面展开扇形的弧长，即l＝2πr＝. （一） （二） (2)圆锥的侧面积＝侧面展开扇形的面积，即S＝lR＝＝πrR. (4)圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrR＋πr2. (3)圆锥底面半径、母线和高的关系为R2＝r2＋h2. 2.半径为4，圆心角为90°的扇形弧长为___，扇形面积为___. 3.已知的长为6π，其所对的圆心角度数为120°，则所在圆的半径为_______. （一） （二） 2π 4π 9 4.如图，已知圆锥的底面直径为BC，母线为AC. （一） （二） (1)若BC＝4 cm，AC＝4 cm，该圆锥的侧面积为 _________cm2，全面积为__________cm2； (2)若AC＝5 cm，圆锥的侧面积是15π cm2，则该圆锥的底面圆的半径是_______cm， 沿着它的一条母线剪开后得到的扇形的圆心角为_________°. 8π 12π 3 216 （一） （二） 阴影部分面积解题的核心是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常见计算方法拓展： 公式法 S阴影＝S扇形CBD　　　 S阴影＝S扇形EMN　　　 S阴影＝S扇形AFC （一） （二） 和差法 1.直接和差法：将阴影部分看成两个规则图形的和或差 S阴影＝S△ABC－S扇形ABD　 S阴影＝S△AOC＋S扇形OCB 2.构造和差法：作辅助线将阴影部分转化为几个规则图形的和或差 S阴影＝S扇形OBE＋S△OCE－S扇形OCD （一） （二） 等面积 转化法 1.平行线转化(CD∥AB) S阴影＝S扇形OCD 2.平移转化(点E，F分别是边AB，CD的中点) S阴影＝S正方形BCFE 3.对称转化(D是AB的中点) S阴影＝S扇形CAB－S△ADC 4.旋转转化 S阴影＝S扇形BAE－S扇形BMN  考点1 考点2 考点3 考点4 考点1　正多边形与圆[8年1考] 例1：如图，正五边形ABCEF内接于☉O，点D在☉O上，则∠D的度数为________°.[2024厦门六中二模改编] 72 考点1 考点2 考点3 考点4 例2：我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆 术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形的面积近似估计☉O的面积，可得π的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为[2023福建改编]( ) A. B.2 C.3 D.2 C 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2　弧长[8年2考] 例3：AB为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板按如图所示放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q.若AB＝6，则的长为( )[2024三明二模4分] A.B. C.π D. C 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为_________ .[2024厦门双十中学二模改编] π 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3　扇形面积[8年2考] 类型1：公式法 例4：如图，正五边形ABCDE的边长为2，以点A为圆心，AB长为半径作弧BE，则阴影部分的面积为___(结果保留π).[2024泉州第七中学模拟4分] 考点1 考点2 考点3 考点4 类型2：和差法 例5：传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②为马面裙的示意图，可以近似看作扇环，其中的长度为 π m，裙长AB为0.6 m，圆心角∠AOD＝60°，则马面裙的面积为 _____m2.[2024厦门第六中学二模4分] π 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3.以点A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______________.[2024福州格致中学模拟4分] 9－－ 考点1 考点2 考点3 考点4 类型3：等积转化法 例6：如图，一张扇形纸片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，连接AB，BC，AC，若OA＝AB，则图中阴影部分的面积为 ____ (结果保留π).[2023福州杨桥中学模拟4分] π 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题1】如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝4，则S阴影＝________. [2023福州一检改编] π 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题2】如图，☉O与反比例函数y＝的图象交于A(1，a)，则图中阴影部分的面积是_______.[2024漳州一模4分] π 考点1 考点2 考点3 考点4 例7：如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为________. [2024福州文博中学模拟4分] ＋2 考点1 考点2 考点3 考点4 考点4　圆锥的相关计算 例8：圆锥的侧面展开图的面积为200π cm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为2∶1，则母线长为( )[2024漳州东盛集团三模4分] A.10 cm B.20 cm C.10 cm D.20 cm B 考点1 考点2 考点3 考点4 例9：如图，已知扇形OAB的圆心角为120°，半径OA为9 cm. (1)求扇形OAB的弧长和扇形面积； 解：由题意，得扇形OAB的弧长＝ ＝6π (cm)， S扇形OAB＝＝27π (cm)2. 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH. 解：如图所示，AH为底面圆的半径，OA为母线长. 由题意可得OA＝9 cm，AH＝＝3(cm)， ∴OH＝＝6 cm. 1 2 3 4 5 1.如图，正八边形内接于☉O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为[2024福州外国语三模4分]( ) A.55° B.50° C.45° D.40° C 2.如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为________.[2024福州第十八中模拟4分] 18 1 2 3 4 5 3.如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与☉O的交点，则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)[2019福建4分] π－1 1 2 3 4 5 4.草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品.某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸(单位：cm)，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为_________.[2024莆田砺成中学一模4分] 20π cm 1 2 3 4 5 5.如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC交☉O于点D，DF∥AB交BC于点E，交☉O于点F，连接AF，CF. (1)求证：AC＝AF； 证明：∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形，∴∠B＝∠D. ∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D， ∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF. 1 2 3 4 5 解：如图，连接AO，CO， 由(1)得∠AFC＝∠ACF，∵∠CAF＝30°， ∴∠AFC＝＝75°， ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°， ∴的长为＝. (2)若☉O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长(结果保留π).[2022福建8分] 1 2 3 4 5 \ $$