期中重难点真题特训之压轴满分题型（72题18个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（72题18个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)若 ，求 的值． (2)已知 是整数，求正整数a的值． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）求值： ． 3．（2024九年级·江苏南通·专题练习）若、、为正有理数，证明： (1)若为有理数，则、为有理数． (2)若为有理数，则、、为有理数． 4．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 压轴满分题二、复合二次根式的化简 5．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先阅读下列解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即：，， 所以。 问题： ① 填空：，； ② 化简：（请写出计算过程） 压轴满分题三、二次根式混合运算 9．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） (3)设有理数满足：，则________； (4)已知，求的值． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式的学习中也有这种相辅相成的“对子”，如，它们的积是有理数，我们说这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：________（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数满足，求的值． 11．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知，则a的值为 ． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 压轴满分题四、二次根式的应用 13．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． (3) 14．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 15．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 16．（23-24八年级下·四川乐山·期末）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，，    ∴， ∴． ∴时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少； (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 压轴满分题五、用勾股定理解三角形 17．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点在线段上，连接，若，，，则长为 ． 19．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，，，D、E分别在边，上，，且，与相交于点F． (1)求证：为等边三角形； (2)若，，求的值； (3)如图2，点H在上， ，交于点G，求证：． 20．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）【方法储备】如图1，在中，为的中线，若，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． (1)在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； (2)【思考探究】如图3，在中，，M为中点，D，E分别为上的点，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点，连接． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，B，C不在同一条直线上），连接，M为中点，且D，E在同侧，连接．若，请直接写出的面积． 压轴满分题六、勾股定理与折叠问题 21．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 23．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 24．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 压轴满分题七、勾股定理的逆定理 25．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）如图1，在中，为内一点，且，求的度数； （2）如图2，在四边形中，，求证：． 26．（24-25八年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数； (3)在（）的条件下，求的面积． 27．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 28．（24-25八年级下·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 压轴满分题八、勾股定理的实际应用 29．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 30．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 31．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 32．（24-25八年级下·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 压轴满分题九、勾股定理中的最短路径问题 33．（24-25八年级下·江苏无锡浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 34．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 35．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 36．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 压轴满分题十、平行四边形的判定与性质 37．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ；；，平分； 正确的序号有 ． 38．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，平行四边形中，点、分别是、的中点，，，，则的长是 ． 39．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 40．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 压轴满分题十一、平行四边形的存在性问题 41．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 42．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ．动点从原点出发，沿轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以、为邻边构造平行四边形，在线段的延长线长取点，使得，连接、．设点、运动的时间为秒．    (1)用含t的代数式表示： 点B的坐标为______，点C的坐标为______； (2)当时：①四边形的面积为______； ②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标． 43．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动。若设运动的时间为秒，当 时，在、、、、、六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．    44．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴正半轴上，BC边在x轴上，已知，，且点B点C关于关于y轴对称    (1)如图1，求点A的坐标． (2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若，求OE的长． (3)如图3，在（2）的条件下，点Q是外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于G，且，请问是否存在点P使得四边形为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴满分题十二、三角形的中位线 45．（24-25八年级下·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：． （3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明． 46．（24-25八年级下·山东淄博·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 47．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图1，在等腰三角形中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，N，P分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段，的数量关系是 ，的大小为 ； (2)探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 48．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知在三角形中，，，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接，将线段绕D点顺时针旋转60°，得到线段（点E不与点B重合）．连接．取的中点P，连接． (1)如图（1），当点E落在线段上时，取的中点G，的中点H，连接， ①求证：； ②求证：． (2)当，，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 压轴满分题十三、矩形的判定与性质 49．（2025·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，，，点M是平面内任意一点，连接，点N是的中点，连接，若，则的最大值为 ． 50．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【回归课本】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长到点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证． 【类比迁移】 （1）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，试判断线段和的数量关系．小明发现可以类比以上思路进行证明． 证明：如图2，延长至点，使，连接，易证___________， __________，，___________， 和的数量关系为___________． 【拓展应用】（2）如图3，在四边形中，，点、分别是、的中点，连接，若，求的长． 51．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为 (1)边的长度为___________，的取值范围为___________． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 52．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 压轴满分题十四、菱形的判定与性质 53．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 54．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 55．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． (3)连接，若，，，求的面积． 56．（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）如图1，在菱形中，，点是菱形内一点，且，延长交于点，连接，设． (1)①填空：________，________；（用含的代数式表示） ②求的度数． (2)将沿翻折得到，如图2，连接． ①求证：； ②若，，连接，求的长． 压轴满分题十五、正方形的判定与性质 57．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，在正方形中，，E是边上的一点，将正方形沿折叠，点D的对应点为点F，点G为的中点，当点F恰好落在线段上时．求证： (1)； (2)． 58．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． (1)求证：； (2)在图1中，若在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 59．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 60．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系． 压轴满分题十六、中点四边形 61．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 62．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 63．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，若,则 ．    64．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    压轴满分题十七、平行四边形中的最值问题 65．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 66．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               67．（2024八年级下·江苏常州·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 68．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    压轴满分题十八、平行四边形的新定义问题 69．（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 70．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 问题解决： 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，． （1）连接，，问，的数量关系和位置关系是什么?请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 71．（24-25八年级下·广东梅州·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为18，，则此完美长方形的边长_____，面积为_____． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为40，，求完美长方形的周长． (3)拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，求此完美长方形的周长与面积． 72．（24-25八年级下·北京西城·期末）对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”． 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．设点，直线为过点且与y轴垂直的直线． (1)若在点中，点________是关于直线的“镜像点”； (2)当时，若x轴上存在关于直线的“镜像点”，则t的最小值为________； (3)已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围； ②已知边长为1的正方形的对角线的交点为，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（72题18个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)若 ，求 的值． (2)已知 是整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的性质，因式分解，以及解二元一次方程组： （1），利用完全平方公式，多项式乘以多项式的法则，推出的结果以，6个数字为一组循环出现，求解即可； （2）根据 是整数，设（为正整数），进而得到，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：令， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即：，， 同法可得：，，，； ∴的结果以，6个数字为一组循环出现， ∵， ∴． （2）∵， 是整数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴， ∵为正整数，为正整数， ∴均为整数，且， ∴， 解得：， 故． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）求值： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 3．（2024九年级·江苏南通·专题练习）若、、为正有理数，证明： (1)若为有理数，则、为有理数． (2)若为有理数，则、、为有理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的定义，完全平方公式的化简计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设(为正有理数)，则，两边同时平方化简即可； （2）设，则，两边同时平方得到，则，故．后续同（1）求解． 【详解】（1）解：设(为正有理数) ∴ ∴    ∴，   ∴ ∴，为有理数． （2）解：设，则 ∴ ∴ ∴． 把看成（1）中的，看成（1）中的， 由（1）知为有理数，为有理数，为有理数 ∵ ∴为有理数  由（1）知、为有理数 ∴、、为有理数． 4．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 压轴满分题二、复合二次根式的化简 5．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)14或46 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②． 【答案】（1）④；；（2）①；② 【分析】（1）第④步出现了错误，==． （2）类比例题，将13和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误； = =． （2）① = = =． ② = = ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先阅读下列解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即：，， 所以。 问题： ① 填空：，； ② 化简：（请写出计算过程） 【答案】（1），；（2）. 【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对的形式化简后就可以得出结论了． 【详解】解：（1） ； （2） 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用． 压轴满分题三、二次根式混合运算 9．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） (3)设有理数满足：，则________； (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）先利用有理化因式的定义进行化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可； （4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． （4）解：设，， 则， ∵， ∴，即． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式的学习中也有这种相辅相成的“对子”，如，它们的积是有理数，我们说这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：________（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可； （3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：，，， ∴， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ①，同理②， ∴①②得：， ， ． 11．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 压轴满分题四、二次根式的应用 13．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． (3) 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 14．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 15．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 16．（23-24八年级下·四川乐山·期末）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，，    ∴， ∴． ∴时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少； (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (2)菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为； (3)四边形面积的最小值为． 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负数的性质求解即可； （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设一边为xm，则另一边长为m， ∴菜园的面积， 又∵， ∴当时，菜园的面积有最大值为1250， 答：菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为； （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是2和3， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 压轴满分题五、用勾股定理解三角形 17．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，过作于，可得，即得，，得到，得到，， 得到，进而根据角平分线可得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于，过作于， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点在线段上，连接，若，，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，过点作交的延长线于点，在延长线上截取，证明得出，进而得出，则设，则，中，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，在延长线上截取， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 延长至，使得 又∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴中， ∴ 在中， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，，，D、E分别在边，上，，且，与相交于点F． (1)求证：为等边三角形； (2)若，，求的值； (3)如图2，点H在上， ，交于点G，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)19 (3)见解析 【分析】（1）在上截取，连接，证明，和，则，即可得结论； （2）过点A作于M，根据勾股定理计算高，可得和的长，即可解答； （3）延长至K，使，连接，，证明和，即可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：如图2，过点A作于M， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）证明：延长至K，使，连接，，如图3所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等边三角形的性质和判定，平方差公式等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）【方法储备】如图1，在中，为的中线，若，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． (1)在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； (2)【思考探究】如图3，在中，，M为中点，D，E分别为上的点，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点，连接． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，B，C不在同一条直线上），连接，M为中点，且D，E在同侧，连接．若，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析；②7 【分析】（1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解； （2）延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解 （3）①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证； ②如图5，延长至点F，使得，连接，首先证得，得到，，，进一步证得，得到，推导出为等腰直角三角形，在中，，得到为直角三角形，且，推导出，且有D，E，B三点共线，，进而得到，，即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， （2）延长至点，使得，连接，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：； （3）①延长至点，使得，连接，， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， ∴为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形； ②解：．理由如下： ∵均为等腰直角三角形， ∴，， 如图5，延长至点F，使得，连接， ∵M为中点，同上“倍长中线”方法可得， ∴，，， 设， ∵ ， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴为直角三角形，且， ∴，， ∴，且有D，E，B三点共线， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 压轴满分题六、勾股定理与折叠问题 21．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于，作交于，，可得，设，则，，即，解得，设，则，，，在中，，，解方程可得，从而可得，，设点H到的距离为h，利用等面积法求出答案即可． 【详解】解：如图所示，作交的延长线于，作交于， 由翻折的性质可得：， 为等边三角形， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴， ，， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 22．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分和两种情况，根据折叠的性质，中垂线的性质，勾股定理，进行求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：①当时，如图，设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 综上：或； 故答案为：或 23．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)能；证明见解析 (2)，   、、、 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的的综合题，解题的关键是分情况讨论思想的运用． （1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据翻折的性质和勾股定理即可求解； 根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：能，证明见下： 连接， 如图：  ， ， ， ； （2）解：设，则，又， 根据翻折可知： ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ，， 所以、两点的坐标为，； 如图：    当点在轴正半轴上且时， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得， ， ； 当点在轴正半轴上且时， ， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 综上，符合条件的所有点的坐标为：、、、． 24．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵长方形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 压轴满分题七、勾股定理的逆定理 25．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）如图1，在中，为内一点，且，求的度数； （2）如图2，在四边形中，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理逆定理、等边三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形成为解题的关键． （1）如图1：作，连接，根据全等三角形的性质可得、，进而得到是等腰直角三角形，则、；再说明为直角三角形可得，最后根据角的和差即可解答； （2）如图2，连接，，易得是等边三角形可得；将绕C旋转到，连接，证明为等边三角形可得，进而得到，然后根据勾股定理以及等量代换即可证明结论． 【详解】解：（1）如图1：作，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴ （2）如图2，连接，， ∴是等边三角形， ∴， 将绕C旋转到，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 26．（24-25八年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数； (3)在（）的条件下，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由全等三角形的性质得，由勾股定理得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，据此即可求解； （）延长到，使，连接，可得为等腰直角三角形，即得，得到三点共线，同理（）可证，得，，即得，利用勾股定理求得，得到，进而得到，即得，据此即可求解； 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴， 即， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （3）解：延长到，使，连接， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 【答案】（1）①为直角三角形；理由见解析；②；（2）①；②或；（3） 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【详解】解：（1）①为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形； ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴； （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或． （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 28．（24-25八年级下·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 压轴满分题八、勾股定理的实际应用 29．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 30．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km． （2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下： ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴海港会受到此次台风的影响． （3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响． ∵ ∴在中，，即 解得：PE=100 同理得： ∵台风的速度为25km/h ∴台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港8小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言． 31．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 32．（24-25八年级下·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 压轴满分题九、勾股定理中的最短路径问题 33．（24-25八年级下·江苏无锡浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 34．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题、两点之间，线段最短、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连接，如图1；把上面展开到正面上，连接，如图2；把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，再进行大小比较即可． 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 35．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 36．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，25千米 (3)5 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，也考查二次根式运算． （1）根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作于，根据矩形的性质得到，求得千米，根据勾股定理得到（千米），作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则此时的值最小，即总造价最低，过作于，则千米，千米，根据勾股定理得到（千米）； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵ ∴，，， ∴， ∴梯形的面积，四边形的面积，的面积， ∵梯形的面积四边形的面积的面积， ， 化简得； （2）解：过作于， ，， ， 四边形是长方形， ，， 千米，千米， 千米， 千米， （千米）， 作点关于直线的对称点，则，， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点， 过作于，则四边形为长方形， 则千米，千米， （千米）， （千米）， 答：两条公路的总长为25千米； （3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形， 设，则 ∴，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值，最大值为． 压轴满分题十、平行四边形的判定与性质 37．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ；；，平分； 正确的序号有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求出，即可求出，即可判断①；证明，即可判断②；根据三角形面积公式及平行四边形面积公式即可判断③；证明是的中位线，进而证明，即可证明，求出，易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可判断④；利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，，即可判断⑤． 【详解】解：过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，平分（三线合一），故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤ ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键 ． 38．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，平行四边形中，点、分别是、的中点，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于M，过点E作于N，先证明，得到，再证明是等边三角形，得到；求出，得到，则可得到；根据线段的和差关系求出，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：延长交的延长线于M，过点E作于N， ∵E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵点F为的中点， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 39．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理依次判定选项即可． 【详解】解：∵和是一对全等的等腰直角三角形， ∴，四边形是正方形， ∵，，， ∴，故①正确； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，故③错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，选项①②④正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 40．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，再证四边形是平行四边形，结合得出，再在中利用勾股定理求出，再计算面积即可； （2）连接，取中点，连接，，同（1）可得四边形是平行四边形，通过导角得出，再证明，由点、点分别为、的中点，为中点，利用中位线得出，，，，可得，再进行导角可得，是等腰直角三角形，得，再利用线段的和差即可证明； （3）先证明，推导出、是等腰直角三角形，再求出，，，过点作于点，连接，通过证明推导出，推出点，，共线，可知点的轨迹为直线，过点作直线的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时取最小值，证明四边形是平行四边形，可知，最后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，取中点，连接，， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点、点分别为、的中点，为中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴，， 如图，过点作于点，连接， 由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，，共线， ∴点的轨迹为直线， 如图，过点作直线的对称点，连接， 则，当且仅当，，依次共线时取最小值， 此时如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 压轴满分题十一、平行四边形的存在性问题 41．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 【详解】（1）解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形是平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 42．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ．动点从原点出发，沿轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以、为邻边构造平行四边形，在线段的延长线长取点，使得，连接、．设点、运动的时间为秒．    (1)用含t的代数式表示： 点B的坐标为______，点C的坐标为______； (2)当时：①四边形的面积为______； ②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标． 【答案】(1)，； (2)①12；②；；． 【分析】（1）由题意可得点的坐标为，点的坐标为； （2）①根据计算即可； ②分三种情形讨论即可①当为对角线时，点的坐标为；②当为对角线时，点的坐标为；③当对角线时，得点的坐标为； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，沿轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿轴负方向以每秒1个单位的速度运动， ∴， ∵以、为邻边构造平行四边形， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，． （2）解：①时，   ， 故答案为：12． ②当时，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则可得点的坐标有三种情况， 当为对角线时，平行四边形是由向左平移个单位，再向上平移个单位得到的，故点的坐标为，即； 当为对角线时，平行四边形是由向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，故点的坐标为，即； 当对角线时，平行四边形是由向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，故点的坐标为，即； 综上分析可知：点D的坐标为：或或．    【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 43．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动。若设运动的时间为秒，当 时，在、、、、、六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．    【答案】或4或2或3 【分析】如图，由题意可得：，，则，，再分六种情况讨论①当时， ②当，③当时，解得：，④当时，⑤当时，⑥当时，再逐一检验即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∵，， ∴，，    当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得，不合题意，舍去； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：， 综上所述．当t的值为或4或2或3时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 故答案为：或4或2或3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解本题的关键． 44．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴正半轴上，BC边在x轴上，已知，，且点B点C关于关于y轴对称    (1)如图1，求点A的坐标． (2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若，求OE的长． (3)如图3，在（2）的条件下，点Q是外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于G，且，请问是否存在点P使得四边形为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据对称性得到，由勾股定理得到，则； （2）如图所示，在上取一点H使得，设，则，由勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形外角的性质得到，进而证明，则； （3）如图所示，延长到H，使得，连接，证明得到，则，设，则，再由推出，再证明，进而证明，得到，如图所示，过点Q作于M，则四边形是矩形，得到，证明，得到，则，设点P的坐标为，由的中点坐标相同，得到，解得，则． 【详解】（1）解：∵，且点B、点C关于关于y轴对称， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）解：如图所示，在上取一点H使得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B、点C关于关于y轴对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （3）解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图所示，过点Q作于M，则四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 压轴满分题十二、三角形的中位线 45．（24-25八年级下·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：． （3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】证明：（1）是的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 46．（24-25八年级下·山东淄博·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【详解】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，是解题的关键． 47．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图1，在等腰三角形中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，N，P分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段，的数量关系是 ，的大小为 ； (2)探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)为等边三角形，理由解析 (3)面积的最大值为 【分析】（1）由，可得出，再根据三角形中位线得，，，，从而可证，最后利用平行线的性质可证得； （2）由旋转的性质可证明，得到，，再由（1）同理证得，再根据三角形外角定理和平行线的性质证明，即可判定为等边三角形； （3）由三角形三边关系，可得的最大值，再根据中位线定理可得的最大值，从而得到面积的最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵ ∴ ∴是等边三角形． （3）由（2）可知，， ∴当最大时，，则等边的面积最大， ∵， ∴当时最大， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角定理、等边三角形的判定以及三角形三边关系等，熟练掌握相关知识点并灵活应用相关性质是解题的关键． 48．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知在三角形中，，，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接，将线段绕D点顺时针旋转60°，得到线段（点E不与点B重合）．连接．取的中点P，连接． (1)如图（1），当点E落在线段上时，取的中点G，的中点H，连接， ①求证：； ②求证：． (2)当，，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，线段的长为或 【分析】（1）①由直角三角形斜边中线的性质得，再公共，利用边边边判定即可证明； ②由三角形中位线定理得，，则；由旋转知是等边三角形，且P是中点，则，；再由H是中点，是等边三角形，则，则可证明，即有，从而； （2）分两种情况考虑：当点E在线段上时；当点E在线段延长线上时；利用等边三角形的性质及勾股定理即可计算． 【详解】（1）证明：①∵分别是斜边上的中点， ∴， ∵， ∴； ②∵G、H分别是的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 由旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∵P是的中点， ∴，； ∴； ∵H是中点，， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：当点E在线段上时，如图，过点C作于N； ∵，P是的中点， ∴； ∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴； ∴； 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 当点E在线段的延长线上时，如图，过点C作于N； 同理，得， ∴； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，构造出全等三角形是解本题的关键． 压轴满分题十三、矩形的判定与性质 49．（2025·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，，，点M是平面内任意一点，连接，点N是的中点，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，延长到J，使得，连接，证明，求出的最大值可得结论． 【详解】解：如图，延长到J，使得，连接， ，， ， 四边形都是矩形， ， ，， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 50．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【回归课本】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长到点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证． 【类比迁移】 （1）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，试判断线段和的数量关系．小明发现可以类比以上思路进行证明． 证明：如图2，延长至点，使，连接，易证___________， __________，，___________， 和的数量关系为___________． 【拓展应用】（2）如图3，在四边形中，，点、分别是、的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1），，，；（2） 【分析】（1）按照步骤作答即可； （2）过点、分别做，，交于、，分别延长、，使，，可求得，，求得，，继而求得四边形是矩形，即，根据，求得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图2，延长至点，使，连接， ∵， ， ，， ， ， ， ， ， 和的数量关系为， 故答案为：，，，； （2）解：过点、分别做，，交于、， 分别延长、，使，，连接， ∵，点、分别是、的中点， ∴，，， 又∵，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，矩形的性质，中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，合理做出辅助线是解题的关键． 51．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为 (1)边的长度为___________，的取值范围为___________． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点，运动路程和速度可得的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）根据列方程可得时；由；根据，可得，可得出结论； 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 点从点出发，以的速度向点运动，， 点运动到的时间为：， 同理得：点运动到点的时间为：， ； 故答案为：，； （2）解：如图所示当是矩形时 ， ， 解得：； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 当时， ， ， ， 四边形矩形， ， ，即， ， 如图，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， 即当时，，此时； 综上所述，当或时，； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键 52．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接，， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 压轴满分题十四、菱形的判定与性质 53．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点K，连接，过D作交的延长线于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∴， ∵H是中点， ∴， ∵四边形是边长为4的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含30度角的直角三角形，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到． 54．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）①；②；③；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题． （1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； ②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果； ③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，．证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是正方形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，． ， 四边形是平行四边形， ，． ， 在和中， ， ； ，， 设，，则，． 在中，， 在中，， ． 在中，， ． ； （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ． 55．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． (3)连接，若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）证明即可； （2）连接交于点P，得到，则，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即； （3）设，由勾股定理得，由，结合菱形性质得到，那么，则，则，而，则，化简得到，而，则，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是菱形，是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：在菱形中，连接交于点P，则， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图： 设 ∵， ∴， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴，而 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是合理利用菱形的性质． 56．（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）如图1，在菱形中，，点是菱形内一点，且，延长交于点，连接，设． (1)①填空：________，________；（用含的代数式表示） ②求的度数． (2)将沿翻折得到，如图2，连接． ①求证：； ②若，，连接，求的长． 【答案】(1)①，；② (2)①证明见解析；②5 【分析】（1）①根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；由，得到，继而根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；②由平角得意义得到，即可求解； （2）①连接，由折叠的性质可证明为等边三角形，再证明为等边三角形，即可证明；②求出，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：，； ②∵， ∴； （2）①证明：连接， 由翻折得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． 压轴满分题十五、正方形的判定与性质 57．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，在正方形中，，E是边上的一点，将正方形沿折叠，点D的对应点为点F，点G为的中点，当点F恰好落在线段上时．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据证，再根据折叠的性质即可得出； （2）根据（1）知，即，再利用外角的性质可得出即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠知：，， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． （2）证明：由（1）知， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． (1)求证：； (2)在图1中，若在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）因为为正方形，所以，，又因为，则，即可求证； （2）因为，，则有，又因为，所以，，则，故成立； （3）①过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得的长；②把旋转得到，过作于，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质可得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，把旋转得到，过作于， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 59．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②； (3)8 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． （3）根据正方形的性质和勾股定理求得，由（2）得，则． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①过点E作于，于，如图，   正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，   ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 由（2）得， 则． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 60．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)图形见解析，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可知，即可证明结论； （2）①连接，，首先证明，得，再证明，得，，得出是等腰直角三角形，从而得出答案； ②连接，首先利用，证明四边形是平行四边形，得，则，在中，利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：补全图形如图， 证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）①证明：如图，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：． 证明：连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 压轴满分题十六、中点四边形 61．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质． （1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； （3）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故答案为：④； （2）解：； 理由如下：如图1， ∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴， 故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”． 62．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)见解析 (3)8 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质可得，根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； （2）证明：如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， 又∵∠， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵的值为32， ∴， 根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 63．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，若,则 ．    【答案】6 【分析】连接，，，，可得是的中位线，，，分别是，，的中位线，，即四边形为菱形，可知对角线互相垂直，即可证得：，由此即可求得，即，由此即可求出． 【详解】解：如图，连接，，，，    ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴, 同理可得，，分别是，，的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，且垂足为， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， 等式两边同时乘以4得：， ∴，即． 故，（，负值不合题意舍去） 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，三角形中位线、勾股定理应用，重点在于根据中点做出对应的中位线． 64．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】： （3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由． （5）若，求的最小值．    【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ． 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （5）如图，记、的中点分别为E、F，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）（4）的结论即可求得答案． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； （5）如图， 连接交于O，连接、，    当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究（1）知：， 又∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 由拓展应用（4）知：； 又∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 压轴满分题十七、平行四边形中的最值问题 65．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①点在上时，的值最小；②点在上时，的值最小，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据是等边三角形，得，根据， ，得； （2）①连接交于点O，当M点落在O点时，A、M、C三点共线，的值最小；②连接，根据，得，根据，，得是等边三角形．得．当M点位于上时，， 的值最小． （3）过E点作交的延长线于F，则，设正方形的边长为x，则．，根据，解得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，正方形中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接交于点O，当M点落在O点时， A、M、C三点共线，的值最小； ②如图，连接， 当M点位于上时，的值最小． 理由如下： 连接，由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∴，最短， ∴当M点位于上时，的值最小， 即等于的长． （3）解：过E点作交的延长线于F， 则． 设正方形的边长为x， 则，， 在中，∵，且， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形性质，是解题的关键． 66．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作于点G，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了全等三角形综合、勾股定理以及三角形的三边关系，直角三角形的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键． 67．（2024八年级下·江苏常州·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 68．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 压轴满分题十八、平行四边形的新定义问题 69．（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①；②详见解析 (3)为或 【分析】（1）根据“奋进四边形”定义即可得解； （2）①先证明四边形为正方形，得出，，再根据勾股定理求出即可； ②连接、，根据，，得出，证明垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据“和谐奋进四边形”的定义即可得出结论； （3）根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”，先证明四边形为矩形，再由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：正方形有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角， 所以正方形是“奋进四边形”； （2）①解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， ，， ； ②证明：连接、，如图： ，， ， 垂直平分， ； “奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； （3）解：，， 根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”； 当时，连接，过点作于点，如图： ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ； 当时，连接，过点作于点，如图： 则， ， ， 四边形矩形， ，， ， ； 综上分析可知，为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，并注意进行分类讨论． 70．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 问题解决： 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，． （1）连接，，问，的数量关系和位置关系是什么?请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，理由见解析；（2）是；（3）； 理由见解析 【分析】（1）连接交于， 连接交于，先证明，再证明得到，再证明，得到，即可得到； （2）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； 【详解】解：（1），理由如下； 如图所示，连接交于， 连接交于， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，； （2） 如图， 设四边形的边的中点分别为， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”， 故答案为：是； （3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 71．（24-25八年级下·广东梅州·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为18，，则此完美长方形的边长_____，面积为_____． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为40，，求完美长方形的周长． (3)拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，求此完美长方形的周长与面积． 【答案】(1)3；9 (2)18 (3)周长为70，面积是300 【分析】（1）根据折叠得到是中点，过点作于，根据△的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知，，从而求出的长，根据平行四边形的面积求出的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点、分别是、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据、之间的数量关系，利用勾股定理求出、的长后即可求出此完美矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ，点是中点， ， 如图，过点作于，交于点， ， ， 由折叠可知：， ， 完美矩形的面积为：． 故答案为：3；9； （2）解：由折叠可知：，， ， 同理可知：，， 矩形的面积为：， ， 矩形的周长； （3）解：由折叠可知：点、分别是、的中点， ，， 由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ，， 此完美矩形的周长为．面积是． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查新定义问题，平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 72．（24-25八年级下·北京西城·期末）对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”． 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．设点，直线为过点且与y轴垂直的直线． (1)若在点中，点________是关于直线的“镜像点”； (2)当时，若x轴上存在关于直线的“镜像点”，则t的最小值为________； (3)已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围； ②已知边长为1的正方形的对角线的交点为，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)点和点 (2) (3)①，② 【分析】（1）将已知点放入直角坐标系中，根据对称性求得对应的对称点，结合“镜像点”逐点判断即可； （2）根据题意可知这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的，观察竖直方向，上离x轴最远的点为C，则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C．此时，直线位于x轴和点C的正中间即可． （3）①结合图像可知t取最小值和最大值时直线上存在关于直线的“镜像点”，结合对称性和临界点的性质即可求得最大值和最小值； ②根据正方形的性质可知四个顶点坐标分别为，，，．设正方形边上一点，其关于直线：的对称点，则正方形四个顶点及对角线交点关于直线∶的对称点的坐标，进一步列出不等式组求解，再结合对称正方形的对角线交点纵坐标不能小于0即可． 【详解】（1）解：将各个点标示在平面直角坐标系中， ∵关于直线的对称点为，，， ∴点和点是关于直线的“镜像点”． 故答案为：点和点； （2）解∶求t的最小值，这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的， 所以观察竖直方向，上离x轴最远的点为C， 则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C． 此时，直线位于x轴和点C的正中间． 因此，t的最小值为， 故答案为：； （3）解∶ ①由题意可知直线的解析式为， 则直线上的点关于的对称点为， 那么，过点的直线为， ∴与直线有交点，且交点的临界值为和． ∴当过点A时，t的最大值为；当过点C时，t的最小值为， 故直线上存在关于直线的“镜像点”，t的取值范围为． ②正方形的对角线交点为，边长为1，则四个顶点坐标分别为，，，． 如果设正方形边上一点，过点P作交直线：于点B，则点，连接，结合直线和对称性即可知， 那么，点关于直线：的对称点． ∴正方形四个顶点及对角线交点关于直线：的对称点的坐标分别为，，，，， ∵正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，并且正方形位于直线的右下方， ∴对称正方形的左边顶点的横坐标不小于，对称正方形的上面顶点的纵些标不大于1， 即，解得， 同时，对称正方形的对角线交点纵坐标不能小于0(不能在x轴以下)，即，解得， 综上，t的取值范围为． 【点睛】本题主要考查直角坐标系中轴对称的性质，等腰三角形的性质和正方形的性质，解一元一次不等式方程组，解题的关键是在新定义“镜像点”下结合对称轴的性质和正方形的性质找到对称点和不等式组． 学科网（北京）股份有限公司 $$