专题05 平行四边形的探究性问题（5题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（山西专用）

专题05 平行四边形的探究性问题 题型概览 题型01 最值问题 题型02 翻折问题 题型03 动点问题 题型04 旋转问题 题型05 尺规作图 ( 题型01 ) 最值问题 1. （2024秋•阳泉期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为　　 A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 2. （2024春•忻府区期中）如图，在菱形中，，．是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为　　 A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 3. （2023春•怀仁市期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为　　 A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 4. （2024春•中阳县期中）如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点在边上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是 　 　． ( 题型02 ) 翻折问题 1. （2024春•孝义市期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•尧都区校级期中）如图1，有一数学课本长为厘米、宽为厘米、厚为1厘米．现用如图2所示的长方形包书纸包这本数学书，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度，折叠进去的宽度为2厘米． （1）求该长方形包书纸的面积．（用含，的代数式表示） （2）若该数学课本的长为26厘米，宽为18.5厘米，求该长方形包书纸的面积． ( 题型03 ) 动点问题 1. （2024秋•武乡县期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以 的速度由点向点运动，它们运动的时间为 ，连结，．当△与△全等时，的值为　　 A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 2. （2024春•忻府区期中）如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若、分别是、的中点，且，当、、、为顶点的四边形为矩形时，的值为 　 　． 3. （2021春•浑源县期中）如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，，当时，点的运动时间值是 　 　秒． ( 题型04 ) 旋转问题 1. （2024春•灵丘县校级期中）已知，如图1，正方形和正方形，三点、、在同一直线上，连接和， （1）判定线段和线段的数量有什么关系？请说明理由． （2）将正方形，绕点顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）若在图2中连接和，且，求正方形和正方形的面积之和为 　10　．（直接写出结果）． 2. （2024秋•榆社县期中）综合与实践 问题情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． ( 题型0 5 ) 尺规作图 1. （2024秋•太谷区期中）如图，在菱形中，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点．再分别以点，为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•云冈区校级期中）如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线交于点，则　　 A． B． C． D． 3. （2024春•朔州期中）如图，已知△，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接，．可直接判定四边形为平行四边形的条件是　　 A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 4. （2024春•孝义市期中）如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点、点为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线，交于点，交于点，连接．则△的周长为 　 　． 1. （2022春•怀仁市期中）如图，在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，点为的中点，则的最小值为　　． 2. （2022春•尧都区期中）如图，边长为8的菱形两条对角线相交于点，以为斜边向外作，连接，则线段长度的最大值为 　 　． 3. （2022春•右玉县期中）如图，在矩形中，用直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，若，，则的长为 　 　． 4. （2022春•阳高县期中）如图，中，点是边上一个动点，过作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）求证：； （2）当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． （3）当点在边上运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行四边形的探究性问题 题型概览 题型01 最值问题 题型02 翻折问题 题型03 动点问题 题型04 旋转问题 题型05 尺规作图 ( 题型01 ) 最值问题 1. （2024秋•阳泉期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为　　 A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【分析】由题意可知，当取最小值时，的值最小，在等腰三角形中利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，得出三角形的面积，再根据等面积法求出的长即可得出结果． 【解答】解：如图，过点作于， ，分别是，的中点， ， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点时，的值最小， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 故选：． 2. （2024春•忻府区期中）如图，在菱形中，，．是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为　　 A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【分析】连接，由菱形的性质得，，，利用勾股定理可以求得的长为5，又因为，，可证四边形为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得，当时，最短，再利用面积法求出的长即可求解的最小值． 【解答】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 由勾股定理得， 又，， 四边形为矩形， ， 当时，值最小， 此时，， ， 的最小值为2.4． 故选：． 3. （2023春•怀仁市期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为　　 A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知：的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【解答】解：如图，连接． 在中，，，， ，即． 又于点，于点， 四边形是矩形， ． 的最小值即为直角三角形斜边上的高，即4.8， 的最小值为4.8， 故选：． 4. （2024春•中阳县期中）如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点在边上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是 　 　． 【分析】取的中点，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、、三点共线时，点到点的距离最大，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理列式求出的长，两者相加即可得解． 【解答】解：如图，取的中点，连接、、， ， 当、、三点共线时，点到点的距离最大， 矩形的形状保持不变，其中，， ， ， 点到点的最大距离是， 故答案为：． ( 题型02 ) 翻折问题 1. （2024春•孝义市期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】由矩形的性质得，由折叠的性质得，，即可得出答案． 【解答】解：四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ． 故选：． 2. （2023秋•尧都区校级期中）如图1，有一数学课本长为厘米、宽为厘米、厚为1厘米．现用如图2所示的长方形包书纸包这本数学书，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度，折叠进去的宽度为2厘米． （1）求该长方形包书纸的面积．（用含，的代数式表示） （2）若该数学课本的长为26厘米，宽为18.5厘米，求该长方形包书纸的面积． 【分析】（1）用大长方形的面积减去阴影部分的面积即可得到答案； （2）将，代入进行计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 答：该长方形包书纸的面积为平方厘米； （2）当，时，（平方厘米）， 答：该长方形包书纸的面积为1256平方厘米． ( 题型03 ) 动点问题 1. （2024秋•武乡县期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以 的速度由点向点运动，它们运动的时间为 ，连结，．当△与△全等时，的值为　　 A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【分析】由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，可根据“”证明△△，由，求得；二是当，时，可根据“”证明△△，由，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是边长为的正方形， ，， 为边上一点，且， ， 当，时， 在△和△中， ， △△， ， ； 当，时， 在△和△中， ， △△， ， ， 故选：． 2. （2024春•忻府区期中）如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若、分别是、的中点，且，当、、、为顶点的四边形为矩形时，的值为 　 　． 【分析】连接，根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出，，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可． 【解答】解：连接， 四边形是矩形， ，， ， 、分别是、的中点， ， 、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为， ， ， 即， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当，四边形是矩形，分两种情况： ①当时，， 即， 解得：， ②当时，， 即， 解得：， 当或4.5时，四边形是矩形， 故答案为：0.5或4.5． 3. （2021春•浑源县期中）如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，，当时，点的运动时间值是 　 　秒． 【分析】当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【解答】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平方线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平方线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． ( 题型04 ) 旋转问题 1. （2024春•灵丘县校级期中）已知，如图1，正方形和正方形，三点、、在同一直线上，连接和， （1）判定线段和线段的数量有什么关系？请说明理由． （2）将正方形，绕点顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）若在图2中连接和，且，求正方形和正方形的面积之和为 　10　．（直接写出结果）． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）先求出，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证； （3）连接、，设、交点为，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，从而证明得到，再根据勾股定理求出，然后根据正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可． 【解答】解：（1）． 理由如下：在正方形和正方形中，，，， 在和中， ， ， ； （2）仍然成立． 理由如下：在正方形和正方形中，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）如图2，连接、，设、交点为， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 正方形和正方形的面积之和为． 故答案为：10． 2. （2024秋•榆社县期中）综合与实践 问题情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由矩形的判定可得四边形是矩形，由旋转可知，四边形是正方形； （2）由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）四边形是正方形， 理由如下：是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，，，， 又， ， 四边形是矩形， 由旋转可知， 四边形是正方形； （2）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于， ， ， ， 又， ， ，， ， ． ( 题型0 5 ) 尺规作图 1. （2024秋•太谷区期中）如图，在菱形中，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点．再分别以点，为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由作图可知，根据菱形的性质得到，，进而得到，，根据三角形内角和，依次求出、的度数即可． 【解答】解：由作图可知， 菱形， ，， ，， ，， 故选：． 2. （2022秋•云冈区校级期中）如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线交于点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质得到，由作图知，，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：四边形是正方形， ， 由作图知，， ， 故选：． 3. （2024春•朔州期中）如图，已知△，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接，．可直接判定四边形为平行四边形的条件是　　 A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知，，， 四边形为平行四边形， 故判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：． 4. （2024春•孝义市期中）如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点、点为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线，交于点，交于点，连接．则△的周长为 　 　． 【分析】由作图知直线是线段的垂直平分线，再证明△是等边三角形，利用平行四边形的性质得到，据此求解即可． 【解答】解：由作图知直线是线段的垂直平分线， ， ， △是等边三角形， 在中，， ， ， △的周长为， 故答案为：12． 1. （2022春•怀仁市期中）如图，在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，点为的中点，则的最小值为　　． 【分析】根据矩形的性质就可以得出，，互相平分，且，垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可． 【解答】解：四边形是矩形， ，互相平分．且， ，的交点就是点． 当的值最小时，的值就最小， 当时，的值最小，即的值最小． ．．， ．．． 在中，由勾股定理，得 ． ，， ． 故答案为：． 2. （2022春•尧都区期中）如图，边长为8的菱形两条对角线相交于点，以为斜边向外作，连接，则线段长度的最大值为 　 　． 【分析】取的中点，连接，，利用菱形的性质可得是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线可得，由三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：取的中点，连接，， 四边形是菱形， ， 点是的中点， ， 以为斜边向外作，点是的中点， ， 在中，， ， ， 线段长度的最大值为8， 故答案为：8． 3. （2022春•右玉县期中）如图，在矩形中，用直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，若，，则的长为 　 　． 【分析】由矩形的性质得出，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可求出的长． 【解答】解：四边形是矩形， ，， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即的长为； 故答案为： 4. （2022春•阳高县期中）如图，中，点是边上一个动点，过作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）求证：； （2）当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． （3）当点在边上运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？ 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，进而得出答案； （2）根据，可得四边形平行四边形，再证明利用矩形的判定得出即可； （3）当点在边上运动到中点时，若，四边形为正方形，首先证明为矩形，再证明根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论． 【解答】（1）证明：交的平分线于点，交的外角平分线于点， ，， ， ，， ，， ，， ； （2）当点在边上运动到中点时，四边形是矩形． 证明：如图1，当为的中点时，， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． （3）当点在边上运动到中点时，若，四边形为正方形． 证明：如图2，由（2）可得点在边上运动到中点时平行四边形是矩形， ， ， 平行四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是正方形． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$