专题04 平行四边形的性质和判定（6题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（山西专用）

专题04 平行四边形的性质和判定 题型概览 题型01 直角三角形的斜边中线 题型02 三角形的中位线定理 题型03 平行四边形的性质和判定 题型04 矩形的性质和判定 题型05 菱形的性质和判定 题型06 正方形的性质和判定 ( 题型01 ) 直角三角形的斜边中线 1. （2024秋•榆社县期中）如图，在△中，，点是的中点．若，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2. （2024秋•太谷区期中）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点间距离为　　 A． B． C． D． 3. （2024秋•太原期中）如图，在△中，，于点，点是的中点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4. （2024秋•晋源区期中）如图，在中，，且，分别是，上的高，，分别是，的中点，若，则的长为 A．10 B．12 C．13 D．14 ( 题型02 ) 三角形的中位线定理 1. （2024春•朔州期中）如图，在中，，是边上的高，垂足为，点在边上，连接，为的中点，连接，若，则的长为　　 A．3 B．6 C．5 D．4 2. （2024春•灵丘县校级期中）如图，在中，，分别是，边的中点，若，则的长度是　　 A．6 B．5 C．4 D．3 3. （2023秋•尧都区期中）如图，中，，，．若，，则的长为　　 A．19 B．18 C．17 D．10 4. （2023秋•潞州区期中）如图，是的中线，、分别是，的中点，连结．若，则的长为　　 A．4 B．3 C．6 D．5 ( 题型03 ) 平行四边形的性质和判定 1. （2024春•长治期中）如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 2. （2024春•临汾期中）如图，在中，对角线与相交于点，，△的周长为10，则的长为　　 A．8 B．6 C．4 D．2 3. （2024春•孝义市期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是　　 A．①对角相等 B．②有一组邻边相等 C．③有一组邻边相等 D．④有一个角是直角 4. （2024春•朔州期中）如图，已知△，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接，．可直接判定四边形为平行四边形的条件是　　 A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 5. （2024春•中阳县期中）如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为　　 A．12 B．10 C．8 D．6 6. （2024春•临汾期中）如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在线段上，且，，求证：． 7. （2024春•山西期中）如图，在平行四边形中，平分，延长交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当为边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． ( 题型04 ) 矩形的性质和判定 1. （2024春•孝义市期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是　　 A．4 B．2 C． D． 2. （2024春•朔州期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是　　 A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 3. （2024秋•小店区校级期中）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4. （2024秋•杏花岭区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是　　 A．4 B． C．5 D． 5. （2024春•怀仁市期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是　　 A．测量对角线是否互相平分 B．测量四边形的三个角是否都为直角 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量两组对边是否分别相等 6. （2024秋•临县期中）如图，在矩形中，是边上一点，对角线，相交于点，于点，连接．若，，，则的长为　 　． 7. （2023春•灵丘县期中）如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是　 　． ( 题型0 5 ) 菱形的性质和判定 1. （2024春•孝义市期中）如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为　　 A．24 B．32 C．16 D．40 2. （2024春•朔州期中）如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的中点，轴且，，点的坐标是 A． B． C． D． 3. （2024春•山西期中）如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为　　 A． B． C． D． 4. （2024春•中阳县期中）如图，在菱形中，，是对角线上的一动点，连接，以为边向右作等边，连接．则的度数是　　 A． B． C． D．无法计算 5. （2023春•平城区校级期中）已知在菱形中，，，则菱形的面积为　　 A．160 B．80 C．40 D．96 6. （2024秋•太原期中）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是　　 A． B． C． D． 7. （2024秋•小店区校级期中）如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是　　 A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 正方形的性质和判定 1. （2024春•朔州期中）如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点，则线段的长是　　 A． B． C． D． 2. （2024春•忻府区期中）如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，若，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3. （2024春•中阳县期中）如图，在矩形中，无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则矩形中空白部分的较短的边长为　　 A． B． C． D． 4. （2024春•朔州期中）如图，为正方形对角线上的一点，点到的距离，则点到直线的距离为 　 　． 1. （2024秋•晋源区期中）如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 　　． 2. （2024春•潞城区期中）综合与实践 【问题背景】课上，老师布置了一个探究任务：请画一条直线，把分成面积相等的两部分． 【操作发现】同学们思考后，给出了以下方法： 如图1，过平行四边形一组对角顶点画直线，可以把分成面积相等的两部分； 如图2，过平行四边形一组对边的中点画直线，可以把分成面积相等的两部分． 同学们进一步观察、对比、分析，联想平行四边形的对称性，发现：平分平行四边形面积的直线都经过平行四边形对角线的交点． 【问题解决】 （1）如图3，在中，对角线，相交于点，过点任意作一条直线，分别交，于点，．求证：． （2）如图4是一块空地，，，现要用一条直线将其等分成两块地种植不同品种的花卉，请你画出两块地的分界线． 3. （2024春•朔州期中）如图，的对角线，交于点，过点交于点，交于点，是的中点，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 4. （2023春•运城期中）如图，四边形的两条对角线相交于点，是边上一点，连接并延长交于点．若，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，△的周长为9，求的长． 5. （2024春•朔州期中）山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜，计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算的长度． 课题 校史馆展柜设计 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明 机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点和点的安全距离都为． 计算结果 6. （2024秋•代县期中）“学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究： 项目主题 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” 项目任务 项目一：测量锥形容器内部底面内径 项目二：测量斜坡的倾斜角度 所需材料 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等 正方形板、指针、重锤、打印机等 测量方案示意图 实施步骤 1．用螺丝钉将两根小棒、在它们的中点处固定； 2．再将两根小棒的、端分别置于杯子内部底面内径的两端； 3．用刻度尺测量两根小棒的、端之间的距离 1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”； 2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定； 3．读出指针所对的的度数 测量数据 项目结论 锥形容器内部底面内径 斜坡的倾斜角度为 （1）项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 　　； ． ． ． ． （2）项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，，请你证明：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形的性质和判定 题型概览 题型01 直角三角形的斜边中线 题型02 三角形的中位线定理 题型03 平行四边形的性质和判定 题型04 矩形的性质和判定 题型05 菱形的性质和判定 题型06 正方形的性质和判定 ( 题型01 ) 直角三角形的斜边中线 1. （2024秋•榆社县期中）如图，在△中，，点是的中点．若，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得解． 【解答】解：点是的中点，， ， 故选：． 2. （2024秋•太谷区期中）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点间距离为　　 A． B． C． D． 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到． 【解答】解：连接， ， ， 是中点， ， ，两点间距离为． 故选：． 3. （2024秋•太原期中）如图，在△中，，于点，点是的中点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据于点，得出的度数，再由点是的中点得出，故可得出，进而可得出结论． 【解答】解：于点，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， 故选：． 4. （2024秋•晋源区期中）如图，在中，，且，分别是，上的高，，分别是，的中点，若，则的长为 A．10 B．12 C．13 D．14 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：如图：连接、， ， 是的中点，，， ， 是的中点， ，， 在中，， 故选：． ( 题型02 ) 三角形的中位线定理 1. （2024春•朔州期中）如图，在中，，是边上的高，垂足为，点在边上，连接，为的中点，连接，若，则的长为　　 A．3 B．6 C．5 D．4 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【解答】解：， ． ，， ， ， 是的中位线， ． ． ． ． 故选：． 2. （2024春•灵丘县校级期中）如图，在中，，分别是，边的中点，若，则的长度是　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】直接利用三角形中位线定理与性质进而得出答案． 【解答】解：在中，，分别是，边的中点， 是的中位线， ， 的长度是：4． 故选：． 3. （2023秋•尧都区期中）如图，中，，，．若，，则的长为　　 A．19 B．18 C．17 D．10 【分析】根据三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质即可得到结论． 【解答】解：如图，延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 故选：． 4. （2023秋•潞州区期中）如图，是的中线，、分别是，的中点，连结．若，则的长为　　 A．4 B．3 C．6 D．5 【分析】根据三角形的中线的概念求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：是的中线，， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 故选：． ( 题型03 ) 平行四边形的性质和判定 1. （2024春•长治期中）如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由，可得，，，由是的平分线，可得，则，，根据，计算求解即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故选：． 2. （2024春•临汾期中）如图，在中，对角线与相交于点，，△的周长为10，则的长为　　 A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】利用平行四边形的性质可知，，，再结合已知即可求得的值；根据△的周长，结合的值即可求出的长． 【解答】解：在中，对角线与相交于点，， ，， ， ， △的周长为10， ， 故选：． 3. （2024春•孝义市期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是　　 A．①对角相等 B．②有一组邻边相等 C．③有一组邻边相等 D．④有一个角是直角 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果； 【解答】解：、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； 、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：． 4. （2024春•朔州期中）如图，已知△，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接，．可直接判定四边形为平行四边形的条件是　　 A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知，，， 四边形为平行四边形， 故判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：． 5. （2024春•中阳县期中）如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为　　 A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证明，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案． 【解答】解：四边形是平行四边形，，， ，，，， 四边形、是平行四边形， 在和中， ， ， 即和的面积相等； 同理和的面积相等，和的面积相等， 故四边形和四边形的面积相等，即． 故选：． 6. （2024春•临汾期中）如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在线段上，且，，求证：． 【分析】根据四边形是平行四边形证出，，再根据，证出，证明△△，得出，即可证明． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ． 7. （2024春•山西期中）如图，在平行四边形中，平分，延长交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当为边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，以及等腰三角形的性质即可得到结论； （2）由证明，证得四边形是平行四边形，再证，即可得出结论 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分， ， ， ； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． ( 题型04 ) 矩形的性质和判定 1. （2024春•孝义市期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是　　 A．4 B．2 C． D． 【分析】先由矩形的性质得出，再证明△是等边三角形，再求解即可． 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， △是等边三角形， ， 故选：． 2. （2024春•朔州期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是　　 A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等； 故选项、、不符合题意，符合题意； 故选：． 3. （2024秋•小店区校级期中）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质得出，再结合平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：延长与直线交于点， ，， ． 四边形是矩形， ， ， ． 故选：． 4. （2024秋•杏花岭区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是　　 A．4 B． C．5 D． 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【解答】解：连接， 点，点， ， 四边形是矩形， ， 点的横坐标为5， 故选：． 5. （2024春•怀仁市期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是　　 A．测量对角线是否互相平分 B．测量四边形的三个角是否都为直角 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量两组对边是否分别相等 【分析】矩形的判定定理有： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 【解答】解：、对角线是否相互平分，能判定平行四边形； 、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状； 、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩； 、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形． 故选：． 6. （2024秋•临县期中）如图，在矩形中，是边上一点，对角线，相交于点，于点，连接．若，，，则的长为　 　． 【分析】取中点，连接，如图所示，由中点定义、矩形对角线相互平分及三角形中位线的判定与性质得到相关线段长及，在由矩形的判定与性质确定长，最后在△中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【解答】解：取中点，连接，如图所示： ， 四边形是矩形， 是△的中位线，即，， ，即， ， ， 则， ， 四边形是矩形，即， ， 在△中，，，， ， 故答案为：． 7. （2023春•灵丘县期中）如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是　 　． 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【解答】解：添加的条件是（答案不唯一）， 理由是：，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． ( 题型0 5 ) 菱形的性质和判定 1. （2024春•孝义市期中）如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为　　 A．24 B．32 C．16 D．40 【分析】先根据题意得出是△的中位线，故可得出的长，再由菱形的性质即可得出结论． 【解答】解：、分别是，的中点， 是△的中位线， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长， 故选：． 2. （2024春•朔州期中）如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的中点，轴且，，点的坐标是 A． B． C． D． 【分析】根据题意得出是等边三角形，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，进而得出点的坐标，根据中心对称的性质即可求解． 【解答】解：如图所示，设与轴交于点， 四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形，则， 是菱形的对角线的中点， 轴，则， ，， ，关于对称， ， 故选：． 3. （2024春•山西期中）如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据菱形的性质求得，，由，得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是菱形，且周长为，长为， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 4. （2024春•中阳县期中）如图，在菱形中，，是对角线上的一动点，连接，以为边向右作等边，连接．则的度数是　　 A． B． C． D．无法计算 【分析】根据已知条件判断出是等边三角形，再根据是等边三角形得出相等的线段和角，从而证明，最后根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：四边形是菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故选：． 5. （2023春•平城区校级期中）已知在菱形中，，，则菱形的面积为　　 A．160 B．80 C．40 D．96 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【解答】解：四边形是菱形，， ，， 在△中，， ， ， ． 故选：． 6. （2024秋•太原期中）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是　　 A． B． C． D． 【分析】由菱形的判定方法，即可判断． 【解答】解：、，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相垂直，四边形的对角线又互相平分，判定是四边形是菱形，故不符合题意； 、四边形的四条边相等，判定四边形是菱形，故不符合题意； 、四边形的对角线互相平分，只能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是菱形，故符合题意； 、由同旁内角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又相等，判定四边形是菱形，故不符合题意． 故选：． 7. （2024秋•小店区校级期中）如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据菱形的判定解答即可． 【解答】解：．由图可知，平行四边形的一个角为，一边与对角线夹角，根据三角形内角和定理得另一边与对角线夹角为，所以三角形为一般三角形，则平行四边形的邻边不相等，所以该平行四边形不是菱形，故不符合题意； ．平行四边形的一条边为10，对角线的一半分别分为8，6，其满足勾股定理的逆定理：，所以对角线相互垂直是菱形，故符合题意； ．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，缺少对角线互相垂直的条件，不是菱形，故不符合题意； ．由图可知，故对角线不垂直，所以不是菱形，故不符合题意； 故选：． ( 题型0 6 ) 正方形的性质和判定 1. （2024春•朔州期中）如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点，则线段的长是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作交于，利用证明，可得，，证得是等腰直角三角形，得出，由，可得，，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2. （2024春•忻府区期中）如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，若，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先利用证明△△，故得，进而得出，在△中利用勾股定理即可解得的长． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 又， ， ， △△， ， 又， ， △中，． 故选：． 3. （2024春•中阳县期中）如图，在矩形中，无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则矩形中空白部分的较短的边长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积求出边长，即可求解． 【解答】解：（1）两张正方形纸片的面积分别为和， 它们的边长分别为，， 矩形中空白部分的较短的边长为， 故选：． 4. （2024春•朔州期中）如图，为正方形对角线上的一点，点到的距离，则点到直线的距离为 　 　． 【分析】根据平分即可求解． 【解答】解：由题意得：平分， 点到的距离， 点到直线的距离为． 故答案为：5． 1. （2024秋•晋源区期中）如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 　　． 【分析】连接，由菱形的性质得，，，则是等边三角形，过作于点，过作于点，则，得，再由勾股定理得，然后证四边形是平行四边形，，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接、， 四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 过作于点，过作于点， 则， ，， ， ， ， ， ，且， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：． 2. （2024春•潞城区期中）综合与实践 【问题背景】课上，老师布置了一个探究任务：请画一条直线，把分成面积相等的两部分． 【操作发现】同学们思考后，给出了以下方法： 如图1，过平行四边形一组对角顶点画直线，可以把分成面积相等的两部分； 如图2，过平行四边形一组对边的中点画直线，可以把分成面积相等的两部分． 同学们进一步观察、对比、分析，联想平行四边形的对称性，发现：平分平行四边形面积的直线都经过平行四边形对角线的交点． 【问题解决】 （1）如图3，在中，对角线，相交于点，过点任意作一条直线，分别交，于点，．求证：． （2）如图4是一块空地，，，现要用一条直线将其等分成两块地种植不同品种的花卉，请你画出两块地的分界线． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△△，△△，△△，再根据全等三角形面积相等，即可证明； （2）延长交于点，连接，交于点，连接，于点，连接交和分别于点，，即为所求答案． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，，， △△，△△，△△， ，，， ，， ． （2）解：延长交于点，连接，交于点，连接，于点，连接交和分别于点，． ，， 四边形，都是平行四边形， ，是两个平行四边形对角线的交点， ，， 四边形，，，是平行四边形， 根据（1）中结论即可得出，， ， 即可以将其等分成两块地种植不同品种的花卉． 3. （2024春•朔州期中）如图，的对角线，交于点，过点交于点，交于点，是的中点，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【分析】先证，得，再证，即可得出四边形是平行四边形． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 是的中点，是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 4. （2023春•运城期中）如图，四边形的两条对角线相交于点，是边上一点，连接并延长交于点．若，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，△的周长为9，求的长． 【分析】（1）利用平行线的性质证明，根据证明△△，推出，根据对角互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，利用△的周长为9，求得，证明△△，求得，据此求解即可． 【解答】（1）证明：， ，， 又， △△， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， △的周长为9， ， ，， 同理，△△， ， ． 5. （2024春•朔州期中）山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜，计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算的长度． 课题 校史馆展柜设计 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明 机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点和点的安全距离都为． 计算结果 【分析】延长，交于点，连接，依题意得四边形与四边形为矩形，进而得四边形为矩形，则，，，，，由此根据勾股定理得，则，然后根据可得出答案． 【解答】解：延长，交于点，连接，如图所示： 矩形展厅里的展柜1和展柜2都是矩形， 四边形与四边形为矩形， ，，，， 又， 四边形为矩形， ，，， ， 机器人的宽度是， 又机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点和点的安全距离都为， ， 在△中，由勾股定理得：． ， ． 6. （2024秋•代县期中）“学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究： 项目主题 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” 项目任务 项目一：测量锥形容器内部底面内径 项目二：测量斜坡的倾斜角度 所需材料 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等 正方形板、指针、重锤、打印机等 测量方案示意图 实施步骤 1．用螺丝钉将两根小棒、在它们的中点处固定； 2．再将两根小棒的、端分别置于杯子内部底面内径的两端； 3．用刻度尺测量两根小棒的、端之间的距离 1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”； 2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定； 3．读出指针所对的的度数 测量数据 项目结论 锥形容器内部底面内径 斜坡的倾斜角度为 （1）项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 　　； ． ． ． ． （2）项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，，请你证明：． 【分析】（1）观察项目一中的条件，得到，，再根据对顶角相等，利用可得出； （2）利用平行线的性质：两直线平行内错角相等，以及等量代换即可得证． 【解答】（1）解：为与的中点， ，， 在和中， ， ， 故选：； （2）证明：， ， ， ， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$