《数学》指数函数情景应用解答题（原卷版+解析版）

编写说明：《中职数学情景应用题》专辑依据中职数学课程标准编写，贴合中职教学实际情况，专注于强化学生的数学情景应用能力。专辑全面涵盖中职数学的所有知识点，精心设计了情景应用选择题、填空题以及解答题。专辑中的试题难度与职教高考高度适配，紧密围绕职教高考对数学应用能力的考查要点展开。旨在助力学生提升情景应用能力，深刻理解数学在实际中的价值，为职教高考以及未来的职业发展筑牢根基。 《中职数学》 指数函数情景应用解答题 以下题目难度：适中 1.某机械零件的磨损量（单位：）与使用时间（单位：月）满足指数函数关系。已知使用个月时，磨损量为；使用个月时，磨损量为。 (1) 求和的值； (2) 预测使用个月时的磨损量。 答案： (1) 将，和，分别代入可得： 由得：，即，解得。 把代入式得：，，解得。 (2) 由 (1) 知，当时，。 解析：本题通过给定两个时间点的磨损量，利用指数函数的性质列出方程组求解参数和，进而可预测其他时间的磨损量。 2.一台机器的价值为万元，每年的折旧率为，经过年后，机器的价值（单位：万元）与的关系为。 (1) 若，求年后机器的价值； (2) 若年后机器的价值为万元，求折旧率。 答案： (1) 当，时，（万元）。 (2) 已知，，代入得，，，解得。 解析：(1) 直接将给定的折旧率代入公式计算年后的价值；(2) 根据已知条件列出方程求解折旧率。 3.某公司的年利润（单位：万元）与年份满足指数函数关系。已知第年利润为万元，第年利润为万元。 (1) 求和的值； (2) 预测第年的利润。 答案： (1) 将，和，代入得： 由得：，即，解得。 把代入式得：，解得。 (2) 由 (1) 知，当时，（万元）。 解析：通过已知两年的利润，利用指数函数性质建立方程组求解参数，再进行利润预测。 4.某人将元存入银行，年利率为，按复利计算，年后的本息和（单位：元）与的关系为。 (1) 若年利率，求年后的本息和； (2) 若年后本息和为元，求年利率。 答案： (1) 当，时，（元）。 (2) 已知，，代入得，，，解得。 解析：(1) 按复利公式直接代入计算；(2) 根据已知条件列方程求解年利率。 5.某种细胞分裂时，由个分裂成个，个分裂成个，，依此类推，分裂次数与细胞个数的关系为。 (1) 求分裂次后的细胞个数； (2) 若细胞个数达到个，求分裂次数。 答案： (1) 当时，（个）。 (2) 已知，即，因为，所以。 解析：(1) 直接代入指数函数计算；(2) 通过指数运算求解分裂次数。 6.某地区的一种传染病，最初有人感染，经过天后感染人数与的关系近似为。 (1) 求天后感染的人数； (2) 若感染人数达到人，求经过的天数。 答案： (1) 当时，（人）。 (2) 已知，即，，因为，所以。 解析：(1) 代入时间计算感染人数；(2) 根据感染人数列方程求解时间。 7.某品牌汽车购买时的价格为万元，每年的折旧率为，年后汽车的价值（单位：万元）与的关系为。 (1) 求年后汽车的价值； (2) 若汽车价值变为万元，求经过的年数。 答案： (1) 当时，（万元）。 (2) 已知，即，，因为，所以。 解析：(1) 按折旧公式计算；(2) 根据价值列方程求解年数。 8.一杯的热水放在室温的房间里，分钟后水温（单位：）与的关系为。 (1) 求分钟后的水温； (2) 若水温降到，求经过的时间。 答案： (1) 当时，。 (2) 已知，即，，，因为，所以，解得分钟。 解析：(1) 代入时间计算水温；(2) 根据水温列方程求解时间。 9.某城市人口呈指数增长，初始人口为，经过年后人口与的关系为。已知初始人口万，年后人口为万。 (1) 求的值； (2) 预测年后的人口。 答案： (1) 将，，代入得，，解得。 (2) 由 (1) 知，当时，（万）。 解析：(1) 利用已知条件列方程求解底数；(2) 代入时间预测人口。 10.一个放射性物质的质量（单位：克）与时间（单位：天）满足指数函数关系，其中是初始质量，为半衰期。已知初始质量克，半衰期天。 (1) 求天后该放射性物质的质量； (2) 若质量变为克，求经过的时间。 答案： (1) 当，，时，（克）。 (2) 已知，，，代入得，，因为，所以，解得。 解析：(1) 按公式代入计算质量；(2) 根据质量列方程求解时间。 11.某新型机械的生产效率（件 / 小时）与投入使用的年限满足指数函数关系。已知投入使用第 1 年时，生产效率为件 / 小时；投入使用第 3 年时，生产效率为件 / 小时。 (1) 求和的值； (2) 预测投入使用第 5 年时的生产效率。 答案： (1) 将，和，分别代入可得： 由式得，将其代入式：，即，，解得。 把代入式得，解得。 (2) 由 (1) 知， 当时，（件 / 小时）。 解析：通过已知两个时间点的生产效率，利用指数函数性质列出方程，先消去求出，再求，进而预测其他时间的生产效率。 12.某新兴金融产品的价值（万元）与持有时间（年）满足指数函数关系。已知初始购买时价值万元，持有 2 年后价值为万元。 (1) 求年利率的值； (2) 预测持有 5 年后该金融产品的价值。 答案： (1) 将，，代入得，，，解得。 (2) 由 (1) 知，当时，（万元）。 解析：(1) 利用已知条件列方程求解年利率；(2) 代入时间预测金融产品价值。 13.某环保型清洁剂在水中的有效浓度（）与时间（分钟）的关系为。 (1) 求 30 分钟后清洁剂的有效浓度； (2) 若有效浓度降至，求经过的时间。 答案： (1) 当时，（）。 (2) 已知，即，，因为，所以，解得。 解析：(1) 代入时间计算有效浓度；(2) 根据有效浓度列方程求解时间。 14.某家庭每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为。 (1) 当气温为时，求天然气使用量(保留两位小数）； (2) 若天然气使用量为立方米，求此时的气温。 答案： (1) 当时，（立方米）。 (2) 已知，即，， 两边取对数，解得。 解析：(1) 代入气温计算天然气使用量；(2) 根据天然气使用量列方程，通过对数运算求解气温。 15.某机械零件在特殊工艺处理后的耐用度（小时）与工作时长（小时）满足指数函数关系。 (1) 求工作小时后的耐用度。 (2) 若耐用度降至小时，大约工作了多长时间？（结果保留整数，参考数据：，） 答案： (1) 当时， 所以工作小时后的耐用度约为小时。 (2) 已知，则，即。 两边取对数得，所以（小时） 解析：(1) 直接将工作时长代入函数计算耐用度；(2) 根据给定耐用度列方程，利用对数运算求解工作时长。 16.一台先进制造设备的产能（件 / 天）与投入使用年限的关系为。 (1) 求投入使用年后的产能。 (2) 若产能降至件 / 天，求投入使用的年限。（结果保留一位小数，参考数据：，） 答案： (1) 当时， 所以投入使用年后的产能约为件 / 天。 (2) 已知，则，即。 两边取对数得 所以（年） 解析：(1) 按照公式代入年限计算产能；(2) 根据产能列方程，通过对数知识求解年限。 17.某创新型投资产品的年化收益率与投资期限（年）满足指数函数关系。 (1) 若投资年，年化收益率是多少？ (2) 若希望年化收益率达到，投资期限至少为多少年？（结果保留整数，参考数据：，） 答案： (1) 当时， 所以投资年的年化收益率是。 (2) 已知，则，即。 两边取对数得，所以（年） 解析：(1) 代入投资期限计算年化收益率；(2) 根据目标年化收益率列方程，借助对数求出投资期限。 18.某企业的资产增值模型为，其中为资产总额（万元），为年份。 (1) 求第年的资产总额。 (2) 若资产总额要达到万元，需要多少年？（结果保留一位小数，参考数据：，） 答案： (1) 当时， 所以第年资产总额约为万元。 (2) 已知，则，即。 两边取对数得，所以（年） 解析：(1) 代入年份计算资产总额；(2) 根据目标资产总额列方程，用对数运算求解年份。 19.一款智能手表的电池续航时间（小时）与使用次数满足指数函数关系。 (1) 使用次后，电池续航时间为多少小时？ (2) 若电池续航时间变为小时，大约使用了多少次？（结果保留整数，参考数据：，） 答案： (1) 当时， 所以使用次后电池续航时间约为小时。 (2) 已知，则，即。 两边取对数得，所以（次） 解析：(1) 代入使用次数计算电池续航时间；(2) 根据给定续航时间列方程，利用对数求解使用次数。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：《中职数学情景应用题》专辑依据中职数学课程标准编写，贴合中职教学实际情况，专注于强化学生的数学情景应用能力。专辑全面涵盖中职数学的所有知识点，精心设计了情景应用选择题、填空题以及解答题。专辑中的试题难度与职教高考高度适配，紧密围绕职教高考对数学应用能力的考查要点展开。旨在助力学生提升情景应用能力，深刻理解数学在实际中的价值，为职教高考以及未来的职业发展筑牢根基。 《中职数学》 指数函数情景应用解答题 以下题目难度：适中 1.某机械零件的磨损量（单位：）与使用时间（单位：月）满足指数函数关系。已知使用个月时，磨损量为；使用个月时，磨损量为。 (1) 求和的值； (2) 预测使用个月时的磨损量。 2.一台机器的价值为万元，每年的折旧率为，经过年后，机器的价值（单位：万元）与的关系为。 (1) 若，求年后机器的价值； (2) 若年后机器的价值为万元，求折旧率。 3.某公司的年利润（单位：万元）与年份满足指数函数关系。已知第年利润为万元，第年利润为万元。 (1) 求和的值； (2) 预测第年的利润。 4.某人将元存入银行，年利率为，按复利计算，年后的本息和（单位：元）与的关系为。 (1) 若年利率，求年后的本息和； (2) 若年后本息和为元，求年利率。 5.某种细胞分裂时，由个分裂成个，个分裂成个，，依此类推，分裂次数与细胞个数的关系为。 (1) 求分裂次后的细胞个数； (2) 若细胞个数达到个，求分裂次数。 6.某地区的一种传染病，最初有人感染，经过天后感染人数与的关系近似为。 (1) 求天后感染的人数； (2) 若感染人数达到人，求经过的天数。 7.某品牌汽车购买时的价格为万元，每年的折旧率为，年后汽车的价值（单位：万元）与的关系为。 (1) 求年后汽车的价值； (2) 若汽车价值变为万元，求经过的年数。 8.一杯的热水放在室温的房间里，分钟后水温（单位：）与的关系为。 (1) 求分钟后的水温； (2) 若水温降到，求经过的时间。 9.某城市人口呈指数增长，初始人口为，经过年后人口与的关系为。已知初始人口万，年后人口为万。 (1) 求的值； (2) 预测年后的人口。 10.一个放射性物质的质量（单位：克）与时间（单位：天）满足指数函数关系，其中是初始质量，为半衰期。已知初始质量克，半衰期天。 (1) 求天后该放射性物质的质量； (2) 若质量变为克，求经过的时间。 11.某新型机械的生产效率（件 / 小时）与投入使用的年限满足指数函数关系。已知投入使用第 1 年时，生产效率为件 / 小时；投入使用第 3 年时，生产效率为件 / 小时。 (1) 求和的值； (2) 预测投入使用第 5 年时的生产效率。 12.某新兴金融产品的价值（万元）与持有时间（年）满足指数函数关系。已知初始购买时价值万元，持有 2 年后价值为万元。 (1) 求年利率的值； (2) 预测持有 5 年后该金融产品的价值。 13.某环保型清洁剂在水中的有效浓度（）与时间（分钟）的关系为。 (1) 求 30 分钟后清洁剂的有效浓度； (2) 若有效浓度降至，求经过的时间。 14.某家庭每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为。 (1) 当气温为时，求天然气使用量(保留两位小数）； (2) 若天然气使用量为立方米，求此时的气温。 15.某机械零件在特殊工艺处理后的耐用度（小时）与工作时长（小时）满足指数函数关系。 (1) 求工作小时后的耐用度。 (2) 若耐用度降至小时，大约工作了多长时间？（结果保留整数，参考数据：，） 16.一台先进制造设备的产能（件 / 天）与投入使用年限的关系为。 (1) 求投入使用年后的产能。 (2) 若产能降至件 / 天，求投入使用的年限。（结果保留一位小数，参考数据：，） 17.某创新型投资产品的年化收益率与投资期限（年）满足指数函数关系。 (1) 若投资年，年化收益率是多少？ (2) 若希望年化收益率达到，投资期限至少为多少年？（结果保留整数，参考数据：，） 18.某企业的资产增值模型为，其中为资产总额（万元），为年份。 (1) 求第年的资产总额。 (2) 若资产总额要达到万元，需要多少年？（结果保留一位小数，参考数据：，） 19.一款智能手表的电池续航时间（小时）与使用次数满足指数函数关系。 (1) 使用次后，电池续航时间为多少小时？ (2) 若电池续航时间变为小时，大约使用了多少次？（结果保留整数，参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $$