专题03 整式的乘法与因式分解（考点串讲）七年级数学下学期新教材沪科版

七年级数学下学期·期中复习大串讲 专题03 整式的乘法与因式分解 沪科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析+三大思想 五大易错易混经典例题 精选12道期中真题对应考点练 目 录 考点透视 考点1　幂的运算 D C -4 考点2　幂的运算的逆运算 7. [2024永州期末]已知 xm ＝2， xn ＝4，则 xm＋ n 的值为(　C　) A. 2 C. 8 B. 6 D. 16 C 8. [2023沧州模拟]若 n 为正整数，且 a2 n ＝4，则 －4 的值为(　D　) A. 4 C. 64 B. 16 D. 192 D 考点3　幂的运算的应用——比较大小 9. [2023连云港模拟]若 A ＝ ， B ＝ ，则 A ， B 的大小关系为(　C　) A. A ＞ B C. A ＝ B B. A ＜ B D. A 、 B 大小不能确定 C 考点4　整式的乘除法 10. 已知 a ( a －2)＝8，则整式 a2－2 a －6的值为(　D　) A. 8 C. －2 B. 14 D. 2 D 11. [2024沧州期末]若(2 x ＋ a )与( x －3)的乘积中不含 x 的一次项，则 a 的值为 (　A　) A. 6 C. 2 B. －6 D. －2 A 12. [2023济南模拟]计算： (1)(14 a3 b2－7 ab2)÷7 ab2； 解：(1)(14 a3 b2－7 ab2)÷7 ab2＝14 a3 b2÷7 ab2－7ab2÷7 ab2＝2 a2－1. (2) ·(－3 a2 b3). 解：(2) ·(－3 a2 b3) ＝(3 ab － ab2－2 ab ＋ ab2)·(－3 a2 b3) ＝ ab ·(－3 a2 b3)＝－3 a3 b4. 考点5　整式乘法的应用 13. 【新视角·实践探究】[2024开封期末]综合与实践 【提出问题】如图，在长方形 ACDF 中，点 B 在 CD 上，点 E 在 DF 上. BC ＝ DE ＝ a ， AC ＝ BD ＝ b ， AB ＝ BE ＝ c ，且 AB ⊥ BE . 求 a ， b ， c 之间的 数量关系. 【探究问题】某校数学社团成员在探究 a ， b ， c 之间的数量关系时，利用学习多项式乘多项式时积累的方法发现，可以利用长方形的面积来探究 a ， b ， c 之间的数量关系.长方形 ACDF 的面积 S 可以用两种不同的方法求解：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到 S ；另一种是将长方形 ACDF 看成是由△ ABC ，△ BDE ，△ AEF ，△ ABE 组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到 S . 请根据以上材料，填空： 方法一： S ＝ ⁠； ab ＋ b2　 方法二： S ＝ S△ ABC ＋ S△ BDE ＋ S△ AEF ＋ S△ ABE ＝ ab ＋ ab ＋ ( b ＋ a )( b － a )＋ c2＝ ab ＋ b2－ a2＋ c2. 【问题解决】 (1)由于方法一和方法二表示的都是长方形 ACDF 的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求 a ， b ， c 之间的数量关系(需要化简)； 解：(1)由题意得， ab ＋ b2＝ ab ＋ b2－ a2＋ c2， ∴2 ab ＋2 b2＝2 ab ＋ b2－ a2＋ c2， ∴ a2＋ b2＝ c2. (2)请直接运用(1)中的结论，求当 a ＝3， c ＝5时 S 的值. 解：(2)∵ a2＋ b2＝ c2，且 a ＝3， c ＝5， ∴32＋ b2＝52， ∴ b ＝4(负值舍去)， ∴ S ＝ ab ＋ b2＝3×4＋16＝28. 考点6　乘法公式 14. 已知 a － b ＝3， a2－ b2＝－12，则 a ＋ b 的值为 ⁠ ⁠. － 4 15. 已知 x ＋ y ＝5， x2＋ y2＝17，则( x － y )2的值是 ⁠. 9　 点拨：∵ x ＋ y ＝5，∴( x ＋ y )2＝25， ∴ x2＋2 xy ＋ y2＝25， 又∵ x2＋ y2＝17，∴2 xy ＝25－17＝8， ∴( x － y )2＝ x2＋ y2－2 xy ＝17－8＝9. 16. [2023杭州模拟]先化简，再求值：(2 x ＋3)(2 x －3)－( x ＋2)2－3 x ( x －1)， 其中 x ＝2 024. 解：原式＝4 x2－9－ x2－4 x －4－3 x2＋3 x ＝－ x －13， 当 x ＝2 024时，原式＝－2 024－13＝－2 037. 考点7　因式分解 17. [2024苏州期末]下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　C　) A. x2－4＋4 x ＝( x ＋2)( x －2)＋4 x B. ( x ＋3)( x －1)＝ x2＋2 x －3 C. x2－6 x ＝ x ( x －6) D. a ( x － y )＝ ax － ay C 18. [2023永州期末]下列因式分解正确的是(　D　) A. x2－4＝( x －4)( x ＋4) B. x2＋2 x ＋4＝( x ＋2)2 C. x2＋2 x ＋1＝ x ( x ＋2)＋1 D. 3 mx ＋6 my ＝3 m ( x ＋2 y ) D 19. [2024上海期末]把12 a2 b3 c －8 a2 b2 c ＋6 ab3 c2分解因式时，应提取的公因式是 (　C　) A. 2 C. 2 ab2 c B. 2 ab D. 2 a2 b2 c C 20. 已知 x － y ＝1， xy ＝2，则 x2 y － xy2的值为(　D　) A. － C. B. －2 D. 2 D 题型一：“将错就错”问题 1. 甲、乙两人共同计算一道整式：( x ＋ a )(2 x ＋ b )，由于甲抄错了 a 的符号，得到的结果是2 x2－7 x ＋3，乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果是 x2＋2 x －3. (1)求(－2 a ＋ b )( a ＋ b )的值； 题型剖析 【解】甲抄错了 a 的符号得到的计算结果为( x － a )·(2 x＋ b ) ＝2 x2＋(－2 a ＋ b ) x － ab ＝2 x2－7 x ＋3. ∴－2 a ＋ b ＝－7， ab ＝－3. 乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数得到的计算结果为( x ＋ a )·( x ＋ b ) ＝ x2＋( a ＋ b ) x ＋ ab ＝ x2＋2 x －3.∴ a ＋ b ＝2， ab ＝－3. ∴解得 ∴(－2 a ＋ b )( a ＋ b )＝[(－2)×3－1](3－1)＝－7×2＝－14. (2)若整式中的 a 的符号不抄错，且 a ＝3，请计算这道题的正确结果. 【解】由(1)可知 b ＝－1.∴正确的计算结果为( x ＋3)(2 x －1)＝2 x2＋5 x －3. 2. [2024长春宽城区模拟]两名同学将一个关于 x 的二次三项式 ax2＋ bx ＋ c 分解因式时，其中一名同学因看错了一次项系数而分解成2( x －1)( x －9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2( x －2)( x －4). (1)求原来的二次三项式； 【解】∵2( x －1)( x －9)＝2 x2－20 x ＋18， 2( x －2)( x －4)＝2 x2－12 x ＋16， ∴原来的二次三项式为2 x2－12 x ＋18. (2)将原来的二次三项式分解因式. 【解】2 x2－12 x ＋18＝2( x2－6 x ＋9)＝2( x －3)2. 题型二： “无关求值”问题 3. 已知将( x3＋ mx ＋ n )( x2－3 x ＋4)展开的结果不含 x3和 x2项.( m ， n 为常数) (1)求 m ， n 的值； 【解】( x3＋ mx ＋ n )( x2－3 x ＋4) ＝ x5－3 x4＋4 x3＋ mx3－3 mx2＋4 mx ＋ nx2－3 nx ＋4 n ＝ x5－3 x4＋(4＋ m ) x3＋( n －3 m ) x2＋(4 m －3 n ) x ＋4 n . 由题意得解得 (2)在(1)的条件下，求( m ＋ n )( m2－ mn ＋ n2)的值. 【解】( m ＋ n )( m2－ mn ＋ n2)＝ m3＋ n3. 当 m ＝－4， n ＝－12时，原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1 728＝－1 792. 4. 已知代数式 A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2. (1)求3 A －(2 A ＋3 B )的值； 【解】∵ A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2， ∴3 A －(2 A ＋3 B )＝3 A －2 A －3 B ＝ A －3 B ＝(2 x2＋5 xy －7 y －3)－3( x2－ xy ＋2) ＝2 x2＋5 xy －7 y －3－3 x2＋3 xy －6＝－ x2＋8 xy －7 y －9. (2)若 A －2 B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值. 【解】∵ A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2， ∴ A －2 B ＝(2 x2＋5 xy －7 y －3)－2( x2－ xy ＋2) ＝2 x2＋5 xy －7 y －3－2 x2＋2 xy －4＝7 xy －7 y －7. ∵ A －2 B 的值与 x 的取值无关，∴7 y ＝0.∴ y ＝0. 题型三：“论证说理”问题 5. [2024厦门思明区月考]认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题. ①32－12＝8＝8×1，②52－32＝16＝8×2， ③72－52＝24＝8×3，④92－72＝32＝8×4， … (1)请写出算式⑤： ⁠，算式⑥： ⁠； 112－92＝40＝8×5　 132－112＝48＝8×6　 (2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的； 【解】两个连续奇数的平方差可表示为(2 n ＋3)2－(2 n＋1)2. ∴(2 n ＋3)2－(2 n ＋1)2＝(2 n ＋3－2 n －1)(2 n ＋3＋2 n ＋1) ＝2(4 n ＋4)＝8( n ＋1). ∴“两个连续奇数的平方差能被8整除”这个规律是成立的. (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由. 【解】这个说法不成立，理由：两个连续偶数的平方差可表示为(2 n ＋2)2－(2 n )2. ∴(2 n ＋2)2－(2 n )2＝(2 n ＋2＋2 n )(2 n ＋2－2 n )＝(4 n ＋2)×2＝4(2 n ＋1). ∴两个连续偶数的平方差能被4整除，但不一定能被8整除.∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是不成立的. 6. 观察下列各式： 4×1×2＋1＝(1＋2)2； 4×2×3＋1＝(2＋3)2； 4×3×4＋1＝(3＋4)2； … (1)根据你发现的规律，写出4×2 024×2 025＋1可以是哪个数的平方？ 【解】4×2 024×2 025＋1＝(2 024＋2 025)2＝4 0492，即4×2 024×2 025＋1可以是4 049的平方. (2)试猜想第 n 个等式，并通过计算验证它是否成立. 【解】猜想第 n 个等式为4 n ( n ＋1)＋1＝(2 n ＋1)2. ∵4 n ( n ＋1)＋1＝4 n2＋4 n ＋1＝(2 n ＋1)2， ∴猜想的等式是成立的. (3)利用前面的规律，将4( x2＋ x )( x2＋ x ＋1)＋1分解因式. 【解】由题意可知， 4 ＋1＝( x2＋ x ＋ x2＋ x ＋1)2＝( x2＋2 x ＋1)2＝( x ＋1)4. 题型四：新定义问题 7. [2023·沈阳期末]设 a ， b 是实数，定义⊗的一种运算如下： a ⊗ b ＝( a ＋ b )2－( a － b )2，则下列结论：① a ⊗ b ＝ b ⊗ a ；②若 a ⊗ b ＝0，则 a ＝0且 b ＝0；③若 a ⊗ b ＝(－ a )⊗ b ，则 a ＝0或 b ＝0；④ a ⊗( b ＋ c )＝ a ⊗ b ＋ a ⊗ c .其中正确的个数是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 点拨：①∵ a ⊗ b ＝( a ＋ b )2－( a － b )2， b ⊗ a ＝( b ＋ a )2－( b － a )2＝( a ＋ b )2－( a － b )2， ∴ a ⊗ b ＝ b ⊗ a ，故①正确； ∴ a ＝0或 b ＝0，故②错误； ②∵ a ⊗ b ＝( a ＋ b )2－( a － b )2＝4 ab ＝0， ③∵ a ⊗ b ＝( a ＋ b )2－( a － b )2，(－ a )⊗ b ＝(－ a ＋ b )2－(－ a － b )2＝( a － b )2－( a ＋ b )2， ∴( a ＋ b )2－( a － b )2＝( a － b )2－( a ＋ b )2， ∴( a － b )2＝( a ＋ b )2，∴ a ＝0或 b ＝0，故③正确； ④∵ a ⊗( b ＋ c )＝( a ＋ b ＋ c )2－( a － b － c )2 ＝4 a ( b ＋ c )， a ⊗ b ＋ a ⊗ c ＝( a ＋ b )2－( a － b )2＋( a ＋ c )2－( a － c )2＝4 ab ＋4 ac ＝4 a ( b ＋ c )， ∴ a ⊗( b ＋ c )＝ a ⊗ b ＋ a ⊗ c ，故④正确. 综上，正确的个数是3.故选C. 题型五：因式分解——十字相乘法 8. 阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 即由( x ＋ p )( x ＋ q )＝ x2＋( p ＋ q ) x ＋ pq ， 可得 x2＋( p ＋ q ) x ＋ pq ＝( x ＋ p )( x ＋ q ). 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”. 例如：将式子 x2＋3 x ＋2分解因式. 解： x2＋3 x ＋2＝ x2＋(1＋2) x ＋1×2＝( x ＋1)( x ＋2). 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： x2＋2 x －8； 解：(1)原式＝ x2＋(4－2) x ＋4×(－2)＝( x ＋4)( x －2). (2)分解因式： x3－8 x2＋12 x ； 解：(2)原式＝ x ( x2－8 x ＋12) ＝ x [ x2＋(－2－6) x ＋(－2)×(－6)] ＝ x ( x －2)( x －6). (3)若 x2＋ px －6可分解为两个一次因式的积，求整数 p 所有可能的值. 解：(3)∵－6＝(－1)×6＝1×(－6)＝2×(－3)＝(－2)×3， ∴ p ＝－1＋6＝5或 p ＝1－6＝－5或 p ＝2－3＝－1或 p ＝－2＋3＝1， ∴整数 p 的值可能为5或－5或1或－1. 题型六：因式分解——分组分解法 9. 阅读与思考 我们熟知的因式分解的方法有提公因式法、公式法和十字相乘法.但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了.因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解.再利用提公因式法或者公式法对整体进行因式分解.请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： 　－2 m2＋2 n2－4 m ＋4 n ＝(－2 m2＋2 n2)＋(－4 m ＋4 n ) ＝－2( m2－ n2)－4( m － n ) ＝－2( m － n )( m ＋ n )－4( m － n ) ＝－2( m － n )( m ＋ n ＋2). 请使用分组分解法解决下列问题： (1)分解因式： m2－ n2－3 m ＋3 n ； 解：(1) m2－ n2－3 m ＋3 n ＝( m2－ n2)－(3 m －3 n ) ＝( m ＋ n )( m － n )－3( m － n ) ＝( m － n )( m ＋ n －3). (2)已知△ ABC 的三边 a ， b ， c 满足 b2＋ ab － bc － ac ＝0，请判断△ ABC 的形状并说明理由. 解：(2)△ ABC 是等腰三角形，理由如下： b2＋ ab － bc － ac ＝( b2＋ ab )－( bc ＋ ac )＝ b ( b ＋ a )－ c ( b ＋ a ) ＝( a ＋ b )( b － c )＝0， ∵ a ＋ b ≠0，∴ b － c ＝0，即 b ＝ c ，∴△ ABC 是等腰三角形. 思想1 分类讨论思想 1. [2024杭州滨江区模拟]若 x2－4 xy － y2＝0( y ＞0)，则 ＝ ⁠. 2＋ 或2－ 　 思想2 数形结合思想 2. [2023北京石景山区期末]著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为 a ，宽为 b 的长方形拼成的正方形，其中 a ＞ b ＞0.根据图形写出一个正确的等式，可以表示为 ⁠ ⁠. ( a ＋ b )2－4 ab ＝( a －b )2(答案不唯一)　  3. 阅读材料：若 x2－2 xy ＋2 y2－8 y ＋16＝0，求 x ， y 的值. 解：∵ x2－2 xy ＋2 y2－8 y ＋16＝0，∴( x2－2 xy ＋ y2)＋( y2－8 y ＋16)＝0. ∴( x － y )2＋( y －4)2＝0.∴( x － y )2＝0，( y －4)2＝0. ∴ y ＝4， x ＝4. 根据你的观察，探究下列问题： 已知△ ABC 的三边长 a ， b ， c 都是正整数，且满足 a2＋ b2－4 a －6 b ＋13 ＝0，求 c 的值. 【解】∵ a2＋ b2－4 a －6 b ＋13＝0，∴( a2－4 a ＋4)＋( b2－6 b ＋9)＝0. ∴( a －2)2＋( b －3)2＝0.∴ a －2＝0， b －3＝0. ∴ a ＝2， b ＝3.∴1＜ c ＜5.∵ c 为正整数，∴ c ＝2或3或4. 4. 数学课上，老师用如图①中的1张边长为 a 的正方形纸片 A ，1张边长为 b 的正方形纸片 B 和2张宽与长分别为 a 与 b 的长方形纸片 C ，拼成了如图②所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： (1)由图①和图②可以得到的等式为 ⁠ (用含 a ， b 的等式表示)； ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2 (或 a2＋2 ab ＋ b2＝( a ＋ b )2)　  (2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为(2 a ＋ b )( a ＋2 b )的大长方形，求需 A ， B ， C 三种纸片各多少张； 【解】(2 a ＋ b )( a ＋2 b )＝2 a2＋4 ab ＋ ab ＋2 b2＝2 a2＋5 ab ＋2 b2. ∴需纸片 A 2张，纸片 B 2张，纸片 C 5张. (3)如图③， S1， S2分别表示边长为 p ， q 的正方形的面积，且 A ， B ， C 三点在一条直线上， S1＋ S2＝20， p ＋ q ＝6，求图中阴影部分的面积. 【解】由题意得 p2＋ q2＝20， p ＋ q ＝6. ∵( p ＋ q )2＝ p2＋ q2＋2 pq ＝62，∴2 pq ＝62－20＝16. ∴ pq ＝8.∴ S阴影＝ pq ×2＝ pq ＝8. 思想3 整体思想 5. [2024北京海淀区一模]已知2 x2＋ x －1＝0，求代数式(2 x ＋1)2－2( x －3)的值. 【解】(2 x ＋1)2－2( x －3)＝4 x2＋4 x ＋1－2 x ＋6＝4 x2＋2 x ＋7. ∵2 x2＋ x －1＝0，∴2 x2＋ x ＝1. ∴4 x2＋2 x ＝2(2 x2＋ x )＝2. ∴原式＝2＋7＝9. 易混易错 押题预测 C C A 押题预测 C 押题预测 -2 1 7或-1 2 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测