专题05 平行线的性质与判定（考点清单，5考点14题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题05 平行线的性质与判定 （5个考点梳理+14种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 【补充说明】 1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 平行线的画法： 1）落：将三角尺一边落在已知直线上； 2）靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 3）推：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 4）画：沿三角尺过已知点的边画直线. 【注意】推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 清单02 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 清单03 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单04 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 清单05 平行线间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 【考点题型一】平行公理及推论的应用（） 1．（21-22七年级下·上海·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 【答案】/ 【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可． 【详解】解∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，过B作，得到，由直角三角形的性质求出的度数，由平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：过B作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对项角相等得出．掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【考点题型二】用直尺、三角尺画平行线（） 4．（21-22七年级下·山东枣庄·期中）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做： 第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；         第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺；         第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到． 请写出其中的道理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据作图过程可得∠1=∠2，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：如下图所示， ∵∠1=∠2， ∴(同位角相等，两直线平行)， 故答案为：同位角相等，两直线平行 【点睛】本题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 5．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 6．（22-23七年级下·山东青岛·期中）（1）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺作图． ①经过点，画线段所在直线． ②过点，画直线所在直线． （2）尺规作图：（用圆规直尺） 已知：如图，点是在内的一点 求作：射线上一点，使．（保留作图痕迹，不要求写画法）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）①根据格点的特征和平行线的作法作图即可； ②根据格点的特征和垂线的作法作图即可； （2）根据同位角相等两直线平行作平行线即可． 【详解】解：（1）①如图，直线即为所求； ②如图，直线即为所求； （2）如图，点D即为所求． 【点睛】本题考查了复杂作图，熟练掌握基本作图方法是解题关键． 【考点题型三】添加条件使两直线平行（） 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①∵，∴，故符合题意； ②∵，∴，不能判断，故不符合题意； ③∵，∴，故符合题意； ④∵，∴，故符合题意； ⑤∴，不能判断，故不符合题意； 综上，①③④都能判定， 故选：B． 8．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题关键； 根据平行线的判定，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行，分别判定即可求解； 【详解】解：， ，正确； ② ， ，错误； ③∵， ，正确； ④， ，正确； 综上所述，②不能判定， 故选：B 9．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 故答案为：③④． 【考点题型四】补充过程使两直线平行（） 10．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图所示，已知，试说明与的位置关系． 解：． 理由：因为（已知）， 并且（________________）， 所以________（________________）， 所以（________________）． 【答案】对顶角相等；，等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，先因为，，得出，再结合同位角相等，两直线平行，证明，即可作答． 【详解】解：． 理由：因为（已知）， 并且（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；，等量代换；同位角相等，两直线平行 11．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“同位角相等，两直线平行”证明，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案． 【详解】解：∵， ∴（等式的性质）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵， ∴（补角定义）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；补角定义；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 12．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 又（已知）， ， （______）． 【答案】垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，垂线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，得，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， ． （对顶角相等）． 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 【考点题型五】通过已知条件证明两直线平行（） 13．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，直线分别与直线、相交于点N、M，平分，交于点H，若，且．（解答过程请注明理由．） (1)直线与平行吗？为什么？ (2)求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是运用平行线的判定与性质． （1）根据，，可得，推出． （2）根据，，推出，再根据平分，推出，进而得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）∵，． ∴． ∵平分． ∴． ∴． ∴． 14．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知如图，交于A，交于D，交于O，，，试判断和的位置关系，并说明为什么． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的性质，利用对顶角的性质得出，则可得出，然后利用平行线的判定即可得出结论． 【详解】解：． 理由：，，， ， ． 15．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知，请你判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】；证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 先根据得出，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：； 证明：∵（已知）， ∴（同一平面内，同时垂直于第三条直线的两直线平行）， ∴（两线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【考点题型六】旋转使两直线平行（） 16．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． (1)将如图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将如图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)将如图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与射线平行；在第______秒时，直线恰好平分锐角．（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)9或；或 【分析】（1）由题意知，，由在的内部，且恰好平分，可得，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可； （3）由题意知，当边恰好与射线平行时有两种情况；如图1，当三角尺在下方且时，， 此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间；如图2，当三角尺在上方且时，，同理求解即可；如图3，由直线恰好平分锐角，可得，则，，此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间；如图4，直线恰好平分锐角，同理求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵在的内部，且恰好平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下； 由题意知，， 得，； （3）解：由题意知，当边恰好与射线平行时有两种情况； 如图1，当三角尺在下方且时，， 此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间（秒）； 如图2，当三角尺在上方且时，，    此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间（秒）； 综上所述，第9或秒时，边恰好与射线平行； 如图3，        图3 ∵直线恰好平分锐角， ∴， ∴， ∴， 此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间（秒）； 如图4， ∵直线恰好平分锐角， ∴， ∴， 此时三角尺沿顺时针方向旋转，时间（秒）； 综上所述，第或秒时，直线恰好平分锐角； 故答案为：9或；或． 【点睛】本题考查了角平分线，三角板中角度的计算，旋转的性质，邻补角，平行线的性质等知识．根据题意分情况求解是解题的关键． 17．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 【答案】(1)10秒后与重合 (2)经过秒或80秒后， (3)经过20秒时间与重合 (4)的值为或 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）用角的度数除以转动速度即可得； （2）求出，结合旋转速度可得时间； （3）设，则，由题意列出方程，解方程即可； （4）分四种情况讨论：平分时（都在上方），平分平分时（上方、下方各一个角)，平分，根据转动速度关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴秒后与重合； （2）解：分两种情况： 在上方时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴经过20秒后，； 在下方时，如图2.2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴经过20秒或80秒后，； （3）解：如图3所示： 则， ∵三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转， 设，则， ∵与重合， 则， 可得：， 解得：秒； 即经过20秒时间与重合； （4）解：分三种情况： ①平分时，此时在上方，如图4所示： ， ∴，无解； ②平分，此时在上方，如图5所示： ， ， 解得：秒； ③当平分时，如图6， ， ， 解得：； ④当平分时，如图7， ， ，无解； 故的值为或． 18．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)；，（答案不唯一）； (2)； (3)①；②10或40． 【分析】（1）由三角板的性质可得出，由三角板的度数求解即可． （2）由图可知，结合已知条件可求出． （3）①设直线与，分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； ②分，，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值． 【详解】（1）解：， 例如：，， 故答案为：；，（答案不唯一） （2）由图可知：， ∴， 由∵， ∴， ∴ （3）①如图，， 设直线与，分别交于P，Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：；    如图，当时， 延长，，分别与交于P，Q， 此时，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：；      综上：所有满足条件的t的值为10或40． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一副三角尺的两个直角顶点C重合叠放在一起，其中． (1)若，则的度数为 ； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若按住三角尺不动，三角尺绕顶点C转动一周，当等于多少度时，？ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当等于或时， 【分析】本题考查了角的和差，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． （1）依据，即可得到的度数，进而可求出的度数； （2）依据，即可得到的度数； （3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当等于或时，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）．理由如下： ， ． （3）解：分两种情况讨论： ①如图①，当时，． ，， ． 又， ， ． ②如图②，当时，． ，， ． 又， ， ． 综上所述，当等于或时，． 【考点题型七】平行线判定的应用（） 20．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是 . 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据同位角相等，两直线平行即可证得． 【详解】如图所示， 由题意得，， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 21．（23-24七年级上·吉林长春·期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；根据题意，，得出，即可求解． 【详解】解：∵根据题意，， ∴，依据为：内错角相等，两直线平行 故答案为：内错角相等，两直线平行． 22．（22-23六年级下·山东泰安·阶段练习）如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是 ，依据是 ．    【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据题意推出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 23．（23-24七年级下·山西朔州·期末）劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴两直线平行； 故选C． 【考点题型八】利用平行线的性质导角（） 24．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如下图，已知，直线，求的度数； （2）如下图，若，则与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1），，；（2）．理见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和对顶角，邻补角的知识点，解题的关键是熟练运用平行线的性质以及角之间的关系进行计算和推理． （1）先根据对顶角相等求出与的度数，再利用平行线性质和邻补角关系求出与的度数； （2）根据平行线性质得到角的关系，再结合已知条件得出与的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ， ． （2）．理由如下： ， ． 又， ． 25．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，平分，平分，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由角平分线的意义和平角的意义得出，再根据两直线平行，内错角性质求解即可． 【详解】∵平分，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补是解题的关键． （1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得，，据此求证即可； （2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴． 【考点题型九】根据平行线的性质探究角的关系（） 27．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1) ； ； ； ； ； ； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 28．（23-24七年级下·山东济宁·期末）【阅读理解】 （1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，，点E，F分别在直线，上，点P为直线，内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接，．求证：． 证明：如图2，过点P作， ， ． （                 ）． ， ． ， （                ）． 【问题解决】 请直接利用（1）中的结论解答下列问题． （2）如图3，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M．若，求的度数； （3）如图4，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M，再分别作和的角平分线交于点N．若，，请直接写出之间满足的数量关系式． 【答案】（1）见详解，（2），（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质， 过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得和，利用等量代换即可得到； 由（1）知，，，结合角平分线的性质得，根据平角定义可得，即可求得； 由（1）知，，，角平分的性质得，，进一步求得 ， ，即可求得三者之间关系． 【详解】证明：（1）如图2，过点P作， ， ． （两直线平行，内错角相等）． ， ． ， （等量代换）； （2）由（1）知，，， ∵和的角平分线交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3）由（1）知，，， ∵和的角平分线交于点M， ∴， ∵和的角平分线交于点N ∴， ∵， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， 即， 则． 29．（23-24七年级下·山东日照·期末）在一次数学小组活动中，同学们在一组平行的格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系． (1)如图，已知，分别在图和图中作出＝． ①如图，点在格线上，当＝时，＝_______； ②如图，点在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)若在图的平行格线中作＝，并作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间所有可能的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质； （1）①根据平行线的性质得出，进而根据＝，即可求解； ②过点作，得出得出即可求解． （2）分当平行与网格线时，当与网格线不平行线时，每种情况再分两种情况，当在的内部和外部时，分别画出图形，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，＝ ∴， ∵，＝ ∴； ②如图所示，过点作， ∴ ∴ （2）当平行与网格线时，如图所示， ①当在的内部时， ∵＝， ∴ ∴， ②当在的外部时，如图所示， ∵ ∴， 当与网格线不平行线时，如图所示，①当在的内部时，作平行与网格线， 由（1）可得， ∴， ②当在的外部时 同理可得， ∴， 综上所述，或 【考点题型十】根据平行线的性质与判定求角度（） 30．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若于，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（）根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （）根据平行线的性质得出，则，又从而求出，最后由角度和差即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 31．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)与平行；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，两直线垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由可得，根据平行线的性质得出，根据，得出，进一步可推得； （2）由角平分线的定义可得，结合（1）的结论可推得，根据两直线垂直的定义可得，由此即得答案． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 32．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图①，，E为直线下方一点，平分． (1)求证：； (2)如图②，平分，过点B作，当时，求的度数； (3)如图③，平分，若的反向延长线和的反向延长线交于点M，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线性质，角平分线性质，三角形内角和定理等． （1）过点E作，继而得到，再利用平行线性质得，继而得到本题答案； （2）利用角平分线性质可得，，设，，利用平行线性质得，继而得到即可得到本题答案； （3）设，，利用平行线性质得，，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：如图①，过点E作， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵分别平分，， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∴， 由（1），知，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵分别平分，，，， 设，，由（1），知，即， 如图②，过点M作， ， ∵， ∴，则，． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 33．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，四边形，点E在线段的延长线上，，交于点F，且，． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)如图1，M为延长线上一点，的平分线交于点N，求的度数； (3)如图2，的平分线交于点G，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)．证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结论：．证明即可． （2）证明，因为，的平分线交于点，推出即可． （3）设，，构建方程组解决问题即可． 【详解】（1）解：结论：． 理由：∵， ∴， ， ∵， ， ∴； （2）解：∵， ， ， ， ，的平分线交于点， ∴的对顶角，的对顶角， ， ； （3）解：如图中， ∵， ， ， ∵， ， 设，， ∵， ， ∴， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质和判定，角平分线的定义，三元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【考点题型十一】根据平行线的性质与判定证明（） 34．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 35．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图1，点是的边上一点，过点作直线平分，以点为端点作线段，连接． (1)如图1，平分，证明：： (2)如图2，平分，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由： (3)如图3，平分，请求出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （2）根据内错角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （3）先证明，结合是的平分线，求出，然后利用三角形外角的性质可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由： ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长交于点G， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）如图1，，．，求的度数 解：如图1，过点P作， ∴（ ） （已知）， ∴（ ） （ ） ∵， ∴． ∴，即． （2）如图2，，点P在外，之间有何数量关系？请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有ɑ的式子表示的度数是 ．（直接写出答案，不需要写出过程） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．（2），理由见解析；（3） 【分析】此题考查平行线的性质与判定，三角形内角和定理， （1）根据平行线的性质与判断，即可解答． （2）过点作，则，根据平行线的性质得出，进而得到，据此可得结论； （3）令与交点为，连接，在中，利用三角形内角和定理进行计算，由（2）知，得到，即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等） ，（已知） （平行于同一条直线的两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补） ． ． 即：． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． （2） 理由如下：过点作，则， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 即． （3）令与交点为，连接如图， 在中，， ∵的平分线和的平分线交于点G， ∴， ∵，， ∴， ∵由（2）知， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【考点题型十二】平行线的性质在生活中的应用（） 37．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．（21-22七年级下·山西吕梁·期末）如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面中，，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点 后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点，在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角 等于反弹线与桌边的夹角同理 (1)如图2，求证： ； (2)如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，若 ，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， （1）由，可得，再利用平角的定义可得，则； （2）同理（1）证明，进而即可说明结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ，， ， ； （2）解：由题意可知，， ， ， ，， ， ． 39．（23-24七年级下·山东德州·期中）【学科融合】运用数学知识可以理解物理学中的很多原理．下面是物理学中“光的反射定律”的相关内容．请阅读并回答下面问题： 经过入射点О并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图）．根据上面的探究活动，可以归纳出如下的规律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 这就是光的反射定律（）． 【理解原理】 （1）小聪发现，光线经过反射面时，其中的数学原理是_________________________． （2）利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图1是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵ (已知)． ∴ ． ∵(已知)， ∴． ∴， 即： ． ∴ ( )． 【尝试探究】 （3）如图2，改变两平面镜之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求α的度数． 【拓展应用】 （4）两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，如图3，光线与相交于点O，请直接写（结果用含α的式子表示）． 【答案】（1）等角的余角相等；（2）；；内错角相等，两直线平行；（3）；（4） 【分析】题目主要考查角平分线的计算及平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合图形求解即可． （1）根据余角的性质即可求解； （2）根据平行线的性质可得，由已知条件可得，由角的和差关系可得，根据平行线的判定定理可得结论； （3）由平行线的性质得出，根据平角的定义得出，进而得到，再根据三角形的内角和即可得解； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求得． 【详解】（1）∵，， ∴小聪发现，光线经过反射面时，其中的数学原理是等角的余角相等． 故答案为：等角的余角相等； （2）潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的，理由： （已知）， ． ，（已知）， ． ， 即：， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：；；内错角相等，两直线平行； （3）， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即； （4），，， ， ， ， ， ． 【考点题型十三】与平行线间的距离有关的计算（） 40．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，已知在的网格中，每个小正方形的边长都是1，请按下列要求操作或解答： (1)将图中的格点三角形平移，使点A平移至点，画出平移后的，并求出的面积； (2)利用网格找出格点（点A除外），使得以该点及点B、点C为顶点的三角形与三角形面积相等，请画出所满足条件的格点（用字母等表示） 【答案】(1)图见解析，3 (2)见解析 【分析】本题主要考查了图形的变换——平移，平行线的性质： （1）根据平移的性质找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）过点A，作的平行线，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，点即为所求． 41．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 【答案】任务1：4；任务2：2；任务3：理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、平行线间的距离，熟练掌握三角形的中线性质是解题关键． 任务1：先求出三角形的面积为4，再根据三角形和三角形的面积相等即可得； 任务2：先画出图形，根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为4，再根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，由此即可得； 任务3：先根据素材1可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得三角形的面积与三角形的面积相等，再根据三角形的中线可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得四边形的面积与三角形的面积相等，由此即可得． 【详解】解：任务1：∵三角形的面积为，三角形的面积为， ∴三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴三角形的面积为4， 故答案为：4． 任务2：由题意，画出图形如下： ∵在三角形中，是的中点，三角形的面积为8， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， ∵是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， 故答案为：2． 任务3：如图，连接，交于点， ∵， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积， 即三角形的面积三角形的面积， ∵在三角形中，点是的中点， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， 即四边形的面积三角形的面积， ∴直线平分三角形的面积． 42．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 【考点题型十四】通过添加辅助线求解平行线相关问题（） 43．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知直线，点为直线、所确定的平面内的一点． (1)如图，写出、、之间的数量关系，并证明； (2)如图，写出、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；证明见解析 (2)；证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，平行公理的应用，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键． （1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）延长交于点E，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，证明如下： 过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 延长交于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴． 44．（24-25六年级下·全国·期末）已知点，，不在同一条直线上，． (1)如图①，当 ， 时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过点作，证明，再结合平行线的性质与角的和差关系可得答案； （2）如图，过点作，同理可得：．证明，．由角平分线的定义证明，，可得．结合，再进一步可得结论； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出、的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵ ，， ∴ ． （2）解：如图，过点作， 同理可得：． ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 由（1）得， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、邻补角、角平分线以及垂线的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 45．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 46．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；②； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分； ， ∴． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 【命题预测】 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）已知：如图，，等边的顶点B在直线m上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟记性质并作辅助线得到内错角相等是解题的关键．延长与直线l相交于D，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长与直线l相交于D， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠—有关角的计算、角的和与差．首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得，根据邻补角的定义可以求出，从而可求，再根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：四边形是长方形纸带， ， ， 如图所示， ， ， 如图所示， ． 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键． 根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可． 【详解】解：①若，，则，故本项符合题意； ②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、角的计算以及四边形内角和等知识点． 过点作，根据平行线的性质可得，，根据角的计算以及角平分线的定义可得，再依据四边形内角和为结合角的计算即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 又， ， 和的平分线相交于， ， 四边形的内角和为， ， 故选：B． 5．（23-24七年级下·广西柳州·期中）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，由可得出，再根据，可得出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 7．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．过点作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点作， ， ， ，， 在和中，，， ，， ，， ， ， 故选：B． 8．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点，过点作交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，由角平分线和三角形内角和定理得到，用勾股定理求出，再证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了等角对等边，平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 9．（20-21八年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）如图，，直线，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．如图，作，得到，根据平行线的性质可得，由即可求解． 【详解】解：如图，作，则， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）一副直角三角板如下图放置，点在的延长线上，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，，，，，若，则 ． 【答案】/43度 【分析】本题考查平行线的性，直角三角形的两个锐角互余，由平行线的性质推出，再求出，即可得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（21-22七年级下·山东菏泽·期中）已知，如图，平分，，．求的度数。 证明：∵（已知） ∴（                 ） （                 ） 又∵平分（已知） ∴（                 ） 又∵（已知） ∴（           ） ∴（                 ） ∴（                 ） 【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；角平分线的定义；等式的性质． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等分别得，，再结合角平分线的定义，得，根据，则，，即可作答． 【详解】证明：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（角平分线的定义）， ∴（等式的性质）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；角平分线的定义；等式的性质． 14．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． （1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据，得出，再根据平分，得出，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线的性质与判定 （5个考点梳理+14种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 【补充说明】 1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 平行线的画法： 1）落：将三角尺一边落在已知直线上； 2）靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 3）推：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 4）画：沿三角尺过已知点的边画直线. 【注意】推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 清单02 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 清单03 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单04 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 清单05 平行线间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 【考点题型一】平行公理及推论的应用（） 1．（21-22七年级下·上海·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是 ．    3．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的值为 ． 【考点题型二】用直尺、三角尺画平行线（） 4．（21-22七年级下·山东枣庄·期中）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做： 第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；         第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺；         第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到． 请写出其中的道理： ． 5．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    6．（22-23七年级下·山东青岛·期中）（1）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺作图． ①经过点，画线段所在直线． ②过点，画直线所在直线． （2）尺规作图：（用圆规直尺） 已知：如图，点是在内的一点 求作：射线上一点，使．（保留作图痕迹，不要求写画法）． 【考点题型三】添加条件使两直线平行（） 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 9．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 【考点题型四】补充过程使两直线平行（） 10．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图所示，已知，试说明与的位置关系． 解：． 理由：因为（已知）， 并且（________________）， 所以________（________________）， 所以（________________）． 11．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 12．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 又（已知）， ， （______）． 【考点题型五】通过已知条件证明两直线平行（） 13．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，直线分别与直线、相交于点N、M，平分，交于点H，若，且．（解答过程请注明理由．） (1)直线与平行吗？为什么？ (2)求的度数． 14．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知如图，交于A，交于D，交于O，，，试判断和的位置关系，并说明为什么． 15．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知，请你判断与的位置关系，并证明你的结论． 【考点题型六】旋转使两直线平行（） 16．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中． (1)将如图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将如图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)将如图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与射线平行；在第______秒时，直线恰好平分锐角．（直接写出结果）． 17．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 18．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一副三角尺的两个直角顶点C重合叠放在一起，其中． (1)若，则的度数为 ； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若按住三角尺不动，三角尺绕顶点C转动一周，当等于多少度时，？ 【考点题型七】平行线判定的应用（） 20．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是 . 21．（23-24七年级上·吉林长春·期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ． 22．（22-23六年级下·山东泰安·阶段练习）如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是 ，依据是 ．    23．（23-24七年级下·山西朔州·期末）劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【考点题型八】利用平行线的性质导角（） 24．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如下图，已知，直线，求的度数； （2）如下图，若，则与有什么数量关系？请说明理由． 25．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，平分，平分，，求的度数．    26．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点题型九】根据平行线的性质探究角的关系（） 27．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 28．（23-24七年级下·山东济宁·期末）【阅读理解】 （1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，，点E，F分别在直线，上，点P为直线，内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接，．求证：． 证明：如图2，过点P作， ， ． （                 ）． ， ． ， （                ）． 【问题解决】 请直接利用（1）中的结论解答下列问题． （2）如图3，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M．若，求的度数； （3）如图4，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M，再分别作和的角平分线交于点N．若，，请直接写出之间满足的数量关系式． 29．（23-24七年级下·山东日照·期末）在一次数学小组活动中，同学们在一组平行的格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系． (1)如图，已知，分别在图和图中作出＝． ①如图，点在格线上，当＝时，＝_______； ②如图，点在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)若在图的平行格线中作＝，并作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间所有可能的数量关系． 【考点题型十】根据平行线的性质与判定求角度（） 30．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若于，，求的度数． 31．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 32．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图①，，E为直线下方一点，平分． (1)求证：； (2)如图②，平分，过点B作，当时，求的度数； (3)如图③，平分，若的反向延长线和的反向延长线交于点M，且，求的度数． 33．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，四边形，点E在线段的延长线上，，交于点F，且，． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)如图1，M为延长线上一点，的平分线交于点N，求的度数； (3)如图2，的平分线交于点G，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【考点题型十一】根据平行线的性质与判定证明（） 34．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 35．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图1，点是的边上一点，过点作直线平分，以点为端点作线段，连接． (1)如图1，平分，证明：： (2)如图2，平分，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由： (3)如图3，平分，请求出的度数． 36．（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）如图1，，．，求的度数 解：如图1，过点P作， ∴（ ） （已知）， ∴（ ） （ ） ∵， ∴． ∴，即． （2）如图2，，点P在外，之间有何数量关系？请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有ɑ的式子表示的度数是 ．（直接写出答案，不需要写出过程） 【考点题型十二】平行线的性质在生活中的应用（） 37．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 38．（21-22七年级下·山西吕梁·期末）如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面中，，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点 后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点，在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角 等于反弹线与桌边的夹角同理 (1)如图2，求证： ； (2)如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，若 ，请你判断与的位置关系，并说明理由． 39．（23-24七年级下·山东德州·期中）【学科融合】运用数学知识可以理解物理学中的很多原理．下面是物理学中“光的反射定律”的相关内容．请阅读并回答下面问题： 经过入射点О并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图）．根据上面的探究活动，可以归纳出如下的规律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 这就是光的反射定律（）． 【理解原理】 （1）小聪发现，光线经过反射面时，其中的数学原理是_________________________． （2）利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图1是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵ (已知)． ∴ ． ∵(已知)， ∴． ∴， 即： ． ∴ ( )． 【尝试探究】 （3）如图2，改变两平面镜之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求α的度数． 【拓展应用】 （4）两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，如图3，光线与相交于点O，请直接写（结果用含α的式子表示）． 【考点题型十三】与平行线间的距离有关的计算（） 40．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，已知在的网格中，每个小正方形的边长都是1，请按下列要求操作或解答： (1)将图中的格点三角形平移，使点A平移至点，画出平移后的，并求出的面积； (2)利用网格找出格点（点A除外），使得以该点及点B、点C为顶点的三角形与三角形面积相等，请画出所满足条件的格点（用字母等表示） 41．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 42．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【考点题型十四】通过添加辅助线求解平行线相关问题（） 43．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知直线，点为直线、所确定的平面内的一点． (1)如图，写出、、之间的数量关系，并证明； (2)如图，写出、、之间的数量关系，并证明． 44．（24-25六年级下·全国·期末）已知点，，不在同一条直线上，． (1)如图①，当 ， 时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值． 45．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 46．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【命题预测】 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）已知：如图，，等边的顶点B在直线m上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点，则(    ) A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·广西柳州·期中）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点，过点作交于点．若，，则 ． 9．（20-21八年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 10．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）如图，，直线，则的度数为 ． 11．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）一副直角三角板如下图放置，点在的延长线上，，，，，则 ． 12．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，，，，，若，则 ． 13．（21-22七年级下·山东菏泽·期中）已知，如图，平分，，．求的度数。 证明：∵（已知） ∴（                 ） （                 ） 又∵平分（已知） ∴（                 ） 又∵（已知） ∴（           ） ∴（                 ） ∴（                 ） 14．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 15．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$