专题06 三角形的内角和定理（考点清单，2考点9题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题06 三角形的内角和定理 （2个考点梳理+9种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 三角形内角和定理 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 清单02 三角形外角和定理 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【考点题型一】三角形内角和定理的证明（） 1．（22-23八年级上·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【考点题型二】与平行线有关的三角形内角和问题（） 3．（2021·青海·中考真题）如图，已知，，，则等于 ．    4．（2024·山东青岛·三模）把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，已知，．    (1)与哪个角相等？为什么？ (2)试判断与有怎样的位置关系，请说明理由． (3)若，，求的度数． 7．（20-21七年级下·山东泰安·期中）如图，点、、、分别在边、、、上，，，． （1）试判断和的位置关系，并说明理由； （2）若，，求和的度数． 【考点题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 8．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，分别为和的平分线，且，则 ． 9．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 10．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，的平分线与的补角平分线相交于点，的补角平分线与的补角平分线相交于点，则 度． 11．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料，并解决问题． 已知在中，，图1－图3的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数． (1)如图1，______；如图2，______；如图3，______； (2)如图4，，的三等分线交于点，，连接，求． 【考点题型四】三角形折叠中的角度问题（） 12．（22-23七年级下·山东济南·期末）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F．当是直角三角形时，度数是 度． 13．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数是 度． 14．（20-21七年级下·山西临汾·期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 15．（21-22七年级下·山东烟台·期中）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 16．（22-23七年级下·吉林长春·期中）将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处． 【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ; 【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系?并说明理由. 【拓展】如果点落在四边形的外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 .                    【考点题型五】三角形内角和定理的应用（） 12．（22-23七年级下·山东济南·期末）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F．当是直角三角形时，度数是 度． 13．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数是 度． 14．（20-21七年级下·山西临汾·期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 15．（21-22七年级下·山东烟台·期中）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 16．（22-23七年级下·吉林长春·期中）将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处． 【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ; 【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系?并说明理由. 【拓展】如果点落在四边形的外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 .                    【考点题型六】三角形内角和的应用（） 17．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）若在中，，则按角分类是 三角形． 18．（23-24七年级下·山东济南·期末）如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 19．（2024·河南南阳·一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图， 图②是其示意图， 其中，都与地面平行，，， 当 度时，． 20．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线…，的角平分线，其中点B，，，…，都在射线上，则 ． 21．（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）“空竹”是我国民间传统游戏，将某一时刻的情形抽象成数学问题．如图，，，，则的度数是 ． 22．（2022·山东烟台·二模）下图是可调躺椅示意图，AE与BD交于点C．小明觉得当躺椅的角度是如图所示的数据时最舒适，此时 度． 【考点题型七】三角形外角和的性质定理（） 23．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为 ．（用含α的式子表示） 24．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，已知直线，，，则∠3的度数为 ． 25．（23-24七年级下·山东淄博·期中）（1）如图1，P是中边的延长线上一点，，则 ； （2）如图2，是的外角，若，则 ； （3）如图3，若，则 ． 【考点题型八】三角形内角和定理与外角和定理的综合（） 26．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图， ．    27．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． （2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，． ① ；（用含x的式子表示） ②求的度数． 28．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，垂直平分，分别交于，连接平分，交于F，若．求的度数； 29．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 【考点题型九】与三角形角度有关的几何模型（） 30．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________； ②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 31．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】 已知：如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出______； 【变式思考】 （2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点O，点F在的延长线上，作的平分线交的延长线于点G．若，猜想与的关系，并说明理由． 32．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 33．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）普于学习的小亮同学借助数学软件做了以下探究．如图①，已知与的角平分线与相交于点，并且平分的外角．设，，．若不断变化的度数，与的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： 50 60 70 80 90 115 120 130 135 25 30 40 45 (1)直接写出上表中　　　　；　　　　； (2)写出数值与的函数关系　　　　；写出数值与的函数关系　　　　；并对其中的一种函数关系解释理由； (3)如图②，用剪刀剪下，剪痕交、分别于、两点，得到四边形，若，求的度数； (4)如图③，在图①的情况下再作与外角的角平分线相交于点，继续作与外角的角平分线相交于点，以此类推，作与外角的角平分线相交于点．直接写出度数的大小（用的关系式表示）． 【命题预测】 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，一块含有30度的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·山东济南·期中）将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·山东菏泽·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）将一块三角板和一把直尺按如图所示摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在中，将，按如图所示方式折叠，点，均落在边上点处，线段，为折痕．若，则的度数为 ． 10．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，，，，若，则等于 ． 11．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 12．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点O，，垂足为点F，现给出以下结论：①点O在的角平分线上； ②；③④若，则.其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 13．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，，平分，，点F是从点A沿向点E运动的一动点，过点F作于点D． (1)如图1，当点F与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当点F位于点A，E之间时，求的度数． 14．（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）如图1，，．，求的度数 解：如图1，过点P作， ∴（ ） （已知）， ∴（ ） （ ） ∵， ∴． ∴，即． （2）如图2，，点P在外，之间有何数量关系？请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有ɑ的式子表示的度数是 ．（直接写出答案，不需要写出过程） 15．（11-12七年级下·湖北孝感·期中）在四边形中，． (1)如图①，若，求出的度数； (2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数； (3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形的内角和定理 （2个考点梳理+9种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 三角形内角和定理 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 清单02 三角形外角和定理 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【考点题型一】三角形内角和定理的证明（） 1．（22-23八年级上·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得，故符合题意． ②．由，则，．由，得，故符合题意． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合题意， 共有：①②④符合条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【答案】(1)①②③④ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明方法． （1）根据辅助线的作法，结合平行线的性质逐个图分析即可； （2）选择方法①，由平行线的性质得，，结合可证． 【详解】（1）解：根据辅助线的作法，结合平行线的性质可知①②③④均能说明“三角形的内角和是”． 故答案为：①②③④； （2）解：选择方法①， 因为 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以三角形内角和为． 【考点题型二】与平行线有关的三角形内角和问题（） 3．（2021·青海·中考真题）如图，已知，，，则等于 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，由垂线的定义得出，求出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山东青岛·三模）把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的公理及性质、三年级内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键． 过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出、，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点作，则 ，，， ， 故选C． 5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数． 【详解】 首先根据三角尺的直角被直线m平分， ∴∠6=∠7=45°； A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意； B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意； C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意； D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 6．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，已知，．    (1)与哪个角相等？为什么？ (2)试判断与有怎样的位置关系，请说明理由． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行，证明，即可作答； （2）根据两直线平行，内错角相等，以及同位角相等，两直线平行，即可证明； （3）两直线平行，同位角相等，以及三角形内角和定理即可作答． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴． ∴； （2），理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 7．（20-21七年级下·山东泰安·期中）如图，点、、、分别在边、、、上，，，． （1）试判断和的位置关系，并说明理由； （2）若，，求和的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）， 【分析】（1）由，，证得，根据平行线的性质及等量代换证得，即得； （2）先由，求得，结合，求得，根据平行线的性质求得，根据，求得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形内角和的计算，熟知以上计算是解题的关键． 【考点题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 8．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，分别为和的平分线，且，则 ． 【答案】/124度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ， ，分别为和的平分线， ，， ． 在中，， ． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 【答案】34 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，由角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理可得：，，从而得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴，， 根据三角形内角和定理可得：，， ∴由得：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，的平分线与的补角平分线相交于点，的补角平分线与的补角平分线相交于点，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，利用角平分线定义和三角形外角的性质可探究出，利用角平分线定义和三角形内角和定理可探究出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵的平分线与的补角平分线相交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵的补角平分线与的补角平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料，并解决问题． 已知在中，，图1－图3的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数． (1)如图1，______；如图2，______；如图3，______； (2)如图4，，的三等分线交于点，，连接，求． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识： （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论． 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 如图2， ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图3，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 故答案为：，，． （2）如图4，    ∵，的三等分线交于点， ∴，，平分，平分， 则平分， ∴ ∴ ∴． 【考点题型四】三角形折叠中的角度问题（） 12．（22-23七年级下·山东济南·期末）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F．当是直角三角形时，度数是 度． 【答案】或 【分析】分和，两种情况进行求解即可． 【详解】解：当时，如图，则： ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图，则：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 综上：的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折痕是角平分线，是解题的关键． 13．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角180°进行计算，得到中除外的两个角度和，最后有三角形内角和180°得到． 【详解】长方形纸条， ， ，， 由折痕，得到，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，计算时综合其他角度计算是常考题，解题时须注意对应关系和复杂计算，找到对应关系和正确的计算是解题的关键． 14．（20-21七年级下·山西临汾·期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 【答案】30° 【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：∠D=∠B， 根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D， ∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B， ∴∠1-∠2=2∠B=60°． ∴∠B=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15．（21-22七年级下·山东烟台·期中）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由见解析： 如图1，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 16．（22-23七年级下·吉林长春·期中）将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处． 【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ; 【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系?并说明理由. 【拓展】如果点落在四边形的外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 .                    【答案】感知：探究： 拓展： 【分析】[感知]根据三角形外角性质得出，根据折叠性质得出，即可求出答案； [探究]根据三角形内角和定理得出，，两式相加可得，即，根据平角的定义得出，可得出，根据折叠性质得出，即可得出； [拓展]根据三角形外角性质得出，，推出，即可得出答案． 【详解】解：[感知]：． 理由如下：当点落在边上时，由折叠可得：； ， ， 故答案为：； [探究]：． 理由如下：，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 故答案为：； [拓展]：如图②，   ，， 由折叠可得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解． 【考点题型五】三角形内角和定理的应用（） 12．（22-23七年级下·山东济南·期末）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F．当是直角三角形时，度数是 度． 【答案】或 【分析】分和，两种情况进行求解即可． 【详解】解：当时，如图，则： ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图，则：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 综上：的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折痕是角平分线，是解题的关键． 13．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角180°进行计算，得到中除外的两个角度和，最后有三角形内角和180°得到． 【详解】长方形纸条， ， ，， 由折痕，得到，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，计算时综合其他角度计算是常考题，解题时须注意对应关系和复杂计算，找到对应关系和正确的计算是解题的关键． 14．（20-21七年级下·山西临汾·期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 【答案】30° 【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：∠D=∠B， 根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D， ∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B， ∴∠1-∠2=2∠B=60°． ∴∠B=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15．（21-22七年级下·山东烟台·期中）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由见解析： 如图1，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 16．（22-23七年级下·吉林长春·期中）将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处． 【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ; 【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系?并说明理由. 【拓展】如果点落在四边形的外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 .                    【答案】感知：探究： 拓展： 【分析】[感知]根据三角形外角性质得出，根据折叠性质得出，即可求出答案； [探究]根据三角形内角和定理得出，，两式相加可得，即，根据平角的定义得出，可得出，根据折叠性质得出，即可得出； [拓展]根据三角形外角性质得出，，推出，即可得出答案． 【详解】解：[感知]：． 理由如下：当点落在边上时，由折叠可得：； ， ， 故答案为：； [探究]：． 理由如下：，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 故答案为：； [拓展]：如图②，   ，， 由折叠可得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解． 【考点题型六】三角形内角和的应用（） 17．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）若在中，，则按角分类是 三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形的分类，掌握三角形内角和等于是解题关键．由已知条件可得，，再结合三角形内角和定理，得到，，，即可判断三角形． 【详解】解： ， ， ， ， ， ，， 按角分类是钝角三角形， 故答案为：钝角． 18．（23-24七年级下·山东济南·期末）如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：（1）若等腰三角形一个底角为，顶角为； （2）等腰三角形的顶角为． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 19．（2024·河南南阳·一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图， 图②是其示意图， 其中，都与地面平行，，， 当 度时，． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，平行的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据得出，根据三角形内角和定理得出，即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线…，的角平分线，其中点B，，，…，都在射线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，找到规律是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而求出，等，总结规律，即可求得的度数． 【详解】解：∵，平分，， ∴，，， ∴， ， ， … ， ∴ 故答案为：． 21．（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）“空竹”是我国民间传统游戏，将某一时刻的情形抽象成数学问题．如图，，，，则的度数是 ． 【答案】/115度 【分析】根据三角形内角和定理求得，再根据平角进行求解即可． 【详解】解：延长至交于一点F， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 22．（2022·山东烟台·二模）下图是可调躺椅示意图，AE与BD交于点C．小明觉得当躺椅的角度是如图所示的数据时最舒适，此时 度． 【答案】120 【分析】根据三角形的内角和定理求出，利用对顶角相等，求出，利用四边形的内角和与周角的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ∵对顶角相等， ∴， ∴ ． 故答案为：120． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和四边形的内角和定理，利用对顶角相等是本题解题的关键． 【考点题型七】三角形外角和的性质定理（） 23．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为 ．（用含α的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形外角的性质，关键是证明，解答．先证明，，再结合三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：的角平分线是 ， ， 为的外角的平分线， ， ，， ； 故答案为：． 24．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，已知直线，，，则∠3的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为： 25．（23-24七年级下·山东淄博·期中）（1）如图1，P是中边的延长线上一点，，则 ； （2）如图2，是的外角，若，则 ； （3）如图3，若，则 ． 【答案】 /度 /度 /度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质： （1）根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和进行求解即可； （2）根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和进行求解即可； （3）先由平角的定义得到，再根据三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数和进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为；． 【考点题型八】三角形内角和定理与外角和定理的综合（） 26．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图， ．    【答案】/180度 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图，    ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 27．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． （2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，． ① ；（用含x的式子表示） ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质： （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和高线的定义分别求出，，即可求出； （2）①根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义即可求解； ②根据角平分线定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高， ∴， ∴在中，， ∴． （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴ 故答案为：； ②∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 28．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，垂直平分，分别交于，连接平分，交于F，若．求的度数； 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的含义，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，先证明，再证明，再结合三角形的内角和定理与三角形的外角的性质可得答案； 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ； 29．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)猜想，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据，可得，再根据平角的定义可得，则； （2）同（1）求解即可； （3）由三角形的外角的性质知：，，据此可得结论； （4）由三角形的外角的性质知：，，再由，则． 【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想，理由如下： 设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， 即； （4）解：，理由如下： 设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， ，， 即， 【考点题型九】与三角形角度有关的几何模型（） 30．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________； ②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①  ② 【分析】本题主要考查几何变换的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质及其运用，学会利用参数解决问题． （1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中, 设 利用（1）中结论,求出即可解决问题． 【详解】（1）结论: 理由： 如图1中，连接并延长到， 因为 所以 ， 即； （2）①如图中, 由（1）知:， 由于 所以 ， 故答案为； ②如图中, 设 ， 由（1）可知:， ， ， ． 31．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】 已知：如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出______； 【变式思考】 （2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点O，点F在的延长线上，作的平分线交的延长线于点G．若，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了双角平分线模型，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线性质，推理出各个角之间的关系是本题的关键． （1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度； （2）同（1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度的关系； （3）利用三角形外角的性质和角平分线性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，   ∴， ∵角平分线、分别平分、， ∴，， ∴， 在中，． 故答案为：， （2） ∵， ∴， ∵角平分线、分别平分、， ∴，， ∴， ∴． （3） ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴． 32．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105 33．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）普于学习的小亮同学借助数学软件做了以下探究．如图①，已知与的角平分线与相交于点，并且平分的外角．设，，．若不断变化的度数，与的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： 50 60 70 80 90 115 120 130 135 25 30 40 45 (1)直接写出上表中　　　　；　　　　； (2)写出数值与的函数关系　　　　；写出数值与的函数关系　　　　；并对其中的一种函数关系解释理由； (3)如图②，用剪刀剪下，剪痕交、分别于、两点，得到四边形，若，求的度数； (4)如图③，在图①的情况下再作与外角的角平分线相交于点，继续作与外角的角平分线相交于点，以此类推，作与外角的角平分线相交于点．直接写出度数的大小（用的关系式表示）． 【答案】(1)125，35； (2)，，理由见解析； (3) (4) 【分析】（1）观察表格发现，每增加，和增加，据此即可得出答案； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义，可得出数值与的函数关系；根据三角形外角的性质和角平分线的定义，可得出数值与的函数关系； （3）根据四边形内角和，得出，结合角平分线的定义，得到，再根据三角形内角和定理，即可求出的度数； （4）根据（2）得出的与的函数关系，发现规律，即可得出答案． 【详解】（1）解：观察表格发现，每增加，和增加， ，， 故答案为：125，35； （2）解：数值与的函数关系为：，理由如下： ，， ， 、分别平分、， ，， ， ，即； 值与的函数关系为：，理由如下： 是的外角， ， 是的外角， ， 平分， ， ， ，即； （3）解：四边形的内角和为，且， ， 、分别平分、， ，， ， ； （4）解：由（2）可知，， ， ， …… 观察发现， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，多边形内角和，图形类规律探索，正确得出与、与的函数关系是解题关键． 【命题预测】 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．利用三角形内角和定理结合比例分成列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，一块含有30度的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A 3．（22-23七年级上·山东济南·期中）将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形的外角的定义及性质；由三角板可得，，再由三角形的外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】解：如图： ， 根据三角板可得，， 则， 故， 故选：B． 4．（21-22八年级上·山东菏泽·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据平行线性质可得，进而根据三角形外角性质得出，再由即可证明． 【详解】解：如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：D． 5．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到，，结合题意可求得的度数，根据外角性质即可得到结果． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点P， ，， ， ，， 是的外角， ， 故选：A． 6．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）将一块三角板和一把直尺按如图所示摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题关键．由三角形外角可得，再根据两直线平行，同位角相等，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故选：C． 7．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，得出即可． 【详解】解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 故选：C 8．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤． 【详解】解：平分， ， ， ，故①正确； ，，， ，，即， ， 又， ，故④正确； ， ， ，分别平分，， ， ， ， ∵ ∴， ，故③正确； ， ，故②错误； ∵ ∴是直角三角形， 根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误； ∴正确的有①③④， 故选：D． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在中，将，按如图所示方式折叠，点，均落在边上点处，线段，为折痕．若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理的计算，掌握折叠的性质是解题的关键； 根据折叠可得，，由三角形内角和定理得到，由此即可求解. 【详解】解：由折叠可得，， ， ， ， ， 故选： 10．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，，，，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据平行线的性质可得到的度数，再根据直角三角形的性质可求得的长，从而求得的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，以及折痕为角平分线，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点B落在处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40． 12．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点O，，垂足为点F，现给出以下结论： ①点O在的角平分线上； ②； ③ ④若，则. 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的性质，根据平分线的定义得证①是正确的；运用三角形内角和的性质列式换算，得证②是正确的；根据等面积法以及角平分线的性质得出④是正确的，据此即可作答． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点O， ∴点O在的角平分线上（三角形的三条角平分线会交于一点O） 故①是正确的； 在中， 则 ∵ ∴ 则 故②是正确的； ∵和的平分线，相交于点O， ∴ ∵ ∴ ∵的大小关系未知 ∴的大小关系未知 则不一定成立 故③是错误的； 如图：过点分别作 ∵是的角平分线，且 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故④是正确的； 故答案为：①②④ 13．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，，平分，，点F是从点A沿向点E运动的一动点，过点F作于点D． (1)如图1，当点F与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当点F位于点A，E之间时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意求出，再由角平分线的定义求出，即可得到答案； （2）由三角形的外角性质得，，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， 平分， ， 由三角形的外角性质得，， ． 14．（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）如图1，，．，求的度数 解：如图1，过点P作， ∴（ ） （已知）， ∴（ ） （ ） ∵， ∴． ∴，即． （2）如图2，，点P在外，之间有何数量关系？请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有ɑ的式子表示的度数是 ．（直接写出答案，不需要写出过程） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．（2），理由见解析；（3） 【分析】此题考查平行线的性质与判定，三角形内角和定理， （1）根据平行线的性质与判断，即可解答． （2）过点作，则，根据平行线的性质得出，进而得到，据此可得结论； （3）令与交点为，连接，在中，利用三角形内角和定理进行计算，由（2）知，得到，即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等） ，（已知） （平行于同一条直线的两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补） ． ． 即：． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． （2） 理由如下：过点作，则， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 即． （3）令与交点为，连接如图， 在中，， ∵的平分线和的平分线交于点G， ∴， ∵，， ∴， ∵由（2）知， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 15．（11-12七年级下·湖北孝感·期中）在四边形中，． (1)如图①，若，求出的度数； (2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数； (3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了四边形的内角和、三角形的内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． （1）根据四边形的内角和是结合已知条件可得，然后结合即可解答； （2）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据三角形外角的性质即可解答； （3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得，再进一步然后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵和的角平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$