6.3 .1二项式定理课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3二项式定理 第六章 计算原理 课时1 二项式定理 新知探究 探究一：二项式定理 情境设置 问题1：在初中，我们用多项式乘法法则得到了的展开式： .如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 问题2：仿照上述过程，你认为，， 的展开式分别是什么？ 2 新知生成 知识点一 二项式定理 二项式定理公式 叫作二项式定理.简写成.等号右边的式子称为二项展开式， 的展开式共有项，其中称为二项式系数. 3 一、二项式定理 例题1 (1) 求 的展开式. (2) 化简： . 【解析】(1) . （2）原式 . 4 反思感悟 方法总结 二项式定理的双向功能 (1)正用：将展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展 开.对于较复杂的式子，可先化简，再用二项式定理展开. (2)逆用：将展开式合并成的形式，即二项式定理从右到左使用是合并. 对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 5 新知运用 跟踪训练1 (1) 的值为( ). A.1 B. C. D. (2) 若（，为有理数），则 ____. 【解析】(1) . (2) ，， ， . C 44 6 新知探究 探究二：二项展开式的通项 情境设置 问题1：在的展开式中，是展开式的第几项？其二项式系数是什么？ 问题2： 的展开式是什么？其第6项的二项式系数和第6项的系数各是什么？ 7 新知生成 知识点二 二项展开式的通项 二项展开式的通项 展开式中的叫作二项展开式的通项，它表示展开式的第 项，记作 . 8 一、二项展开式的通项的应用 例题2 (1) 求 的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2) 求的展开式中 的系数. 【解析】(1) 由已知得的展开式的通项为 ， 所以的展开式中第6项的二项式系数为 ，第6项的系数为 . (2) 的展开式的通项为 ， 令，可得，即展开式中第4项含，其系数为 . 9 反思感悟 方法总结 1.二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项展开式中某一项的二项式系数”与“二项展开式中某一项的系数”的概念. 2.第.例如， 在的展开式中，第4项是，其二项式系数是，而第4项的系数是. 10 新知运用 跟踪训练2 (1) 在的展开式中，含项的系数为( ). A.240 B.160 C. D. (2) 若的展开式中的常数项为32，则 ( ). A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】(1) 的展开式的通项为 .令，得，所以含项的系数为 .故选A. (2) 的展开式的通项为 ，故常数项为 ，解得 .故选A. A A 11 二、求两个多项式积的特定项 例题3 (1) 的展开式中的系数为( ). A.270 B. C.765 D. (2) 若的展开式中的系数为30，则 _____. 【解析】(1) 因为 ， 而的展开式的通项为 ，所以该展开式中 的系数为 .故选C. (2) 的展开式的通项为 ， 的系数为 ， 则，解得 . C 12 反思感悟 方法总结 求多项式积的特定项的方法——双通法 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中的一般项为，再依据题目中对指数的特殊要求，确定𝑟与𝑘所满足的条件，进而求出𝑟，𝑘的取值情况. 13 新知运用 跟踪训练3 已知的展开式中的系数为448，则展开式中的系数为 ______. 【解析】依题意， ， 的展开式的通项为 ， 所以，解得 ， 的系数为 . 14 新知探究 探究三：有理项问题 情境设置 问题1：什么是展开式中的有理项？ 问题2：什么是展开式中的整数项？与有理项相同吗？ 【解析】(1)展开式中的有理项，就是指系数为有理数，且字母的指数为整数的项，一般是指通项公式中字母的指数为整数的项. (2)展开式中的整数项是有理项的一部分，是有理项中分母不含字母的项，与有理 项不同. 15 新知生成 知识点三 有理项问题 1.求展开式中的有理项的方法，一般是先写出通项，再找出其所有的字母的指数 恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求， 令其为整数，再根据数的整除性来求解. 2.求展开式中的整数项的方法，一般是先写出通项公式，再找出其通项公式中同 一字母的指数是自然数的项，求解方式与求解有理项的方式一致. 16 三、有理项问题 例4 已知的展开式中，第4项和第5项的二项式系数相等，则该展开式中有理 项的个数是( ). A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】的展开式的通项为， ， 1，2， ， 第4项和第5项的二项式系数相等，， ， ，，1,2， ，7， 当为整数，即 ，2，4，6 时，为有理项， 展开式中有理项的个数是4.故选B. B 17 反思感悟 方法总结 求二项展开式的有理项，应写出它的通项，令未知量的指数为整数，便能求出符合题意的有理项. 18 新知运用 跟踪训练4 已知在的展开式中，第2、第3、第4项的二项式 系数依次成等差数列. (1)证明：展开式中没有常数项. (2)求展开式中所有的有理项. 【解析】(1) 由第2、第3、第4项的二项式系数依次成等差数列，得 ， 解得（舍去）或 ， 所以的展开式的通项为 ， 令，得 ，故展开式中没有常数项. (2)令，解得或 ， ， ，故展开式中的有理项为 和 . 19 随堂检测 1. 在的展开式中，的系数为( ). A.20 B.−20 C.160 D.−160 2.化简多项式的 结果是( ). A. B. C. D. 3. 的展开式中的常数项为____. D D 20 随堂检测 4. 已知 . (1)求展开式中𝑥 的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 【解析】(1)由题意知，展开式的第项为 . 令，得，则展开式中的系数为 . (2)由(1)可知，令，则 ，2，4， ，， . 21 课堂小结 1.知识清单： (1)二项式定理； (2)二项展开式的通项； (3)有理项问题. 22 $$