专题02 机械振动和机械波（考题猜想）-2024-2025学年高二物理下学期期中考点大串讲（人教版2019）

专题02 机械振动和机械波 考点1简谐运动的综合问题 考向1　简谐运动的周期性和对称性 考向2　简谐运动的表达式和图像的应用 考向3 简谐运动的回复力和能量 考点2 单摆 考向1　单摆周期公式的理解和应用 考向2 实验：用单摆测量重力加速度 考点3　振动图像与波的图像的综合 考点4　波的干涉 考点5波的多解问题 考向1　波的周期性形成多解 考向2　波的双向性形成多解 考点1简谐运动的综合问题 考向1　简谐运动的周期性和对称性 1． 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做出如下判断： (1) 若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同． (2) 若t2－t1＝nT＋，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反. (3) 若t2－t1＝nT＋或t2－t1＝nT＋，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定． 2． 简谐运动的对称性． 如图所示： (1) 时间的对称 ① 物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD. ② 物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO. (2) 速度的对称 ① 物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反. ② 物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． (3) 加速度的对称 系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力. 1．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为( ) A. 0.53 s　　　　　 B. 1.4 s C. 3 s　　　　　　 D. 2 s 2．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50 s时，振子速度第二次变为－v. (1) 求弹簧振子振动的周期T. (2) 若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s 内通过的路程． 3．（2024北京通州一模）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（    ） A．MN间距离为5cm B．振子的运动周期是0.2s C．时，振子位于N点 D．时，振子具有最大速度 考向2　简谐运动的表达式和图像的应用 简谐运动的位移表达式x＝Asin(ωt＋φ)或x＝Acos(ωt＋φ)，图像是一条正弦或余弦曲线，反映的是位移随时间的变化规律，如图所示． 甲 乙 1． 已知表达式，可以求出振幅、周期、频率、初相位等物理量，可以作出振动图像，推知振子的振动情况． 2． 根据振子的振动情况，可以作出振动图像，可以写出表达式． 3． 根据图像，可以写出表达式，可以推知振子的振动情况． 以位移为“桥梁”分析简谐运动中各物理量的变化情况： (1) 位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．各矢量均在其值为零时改变方向． (2) 位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定． 4．如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝10sincm.下列说法中正确的是 ( ) A. MN间距离为10 cm B. 振子的运动周期是0.25 s C. t＝0时，振子位于N点 D. t＝0.062 5 s时，振子具有最大速度 5． 如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动．取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是( ) 甲 乙 A. t＝0.6 s时，振子在O点右侧6 cm处 B. 振子在t＝0.2 s时和t＝1.0 s时的速度相同 C. t＝6 s时，振子的加速度方向水平向左 D. t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大 6．如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是( ) 甲 乙 A. t＝0.8 s，振子的速度方向向左 B. t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 C. t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同 D. t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 考向3 简谐运动的回复力和能量 1．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。 2．简谐运动的动力学特征:回复力F=-kx (1)凡是满足F=-kx的运动都是简谐运动。k是比例系数,并非一定是弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数),其值由振动系统决定,与振幅无关。 (2)“-”号表示回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移的方向相反。 (3)判断一个物体是否做简谐运动,可找出回复力F与位移x之间的关系,若满足F=-kx,则物体做简谐运动,否则就不是简谐运动。 3．简谐运动的运动学特征:加速度a=-k'x (1) 可以简化为a=-k’x,表示加速度跟位移大小成正比,并总指向平衡位置。当然k也可以写为k,这里用k'表示是为了与F=-kx的比例系数相区别 (2)a=-k'x表明简谐运动是变加速运动,且加速度和速度都在做周期性的变化。 (3)判断一个振动是否为简谐运动就看它是否满足动力学特征或运动学特征。F=-kx与a=-k'x都可以作为判断的依据。 4．判断振动物体是否做简谐运动的方法 ①振动物体的回复力满足F＝－kx； ②振动物体的位移x与时间t满足函数关系； ③振动物体的振动图像是正弦曲线。 1． 规律总结 ①当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；当小球靠近平衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 ②当小球位于B与O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O与C点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；B→O→C过程中，速度方向向右，C→O→B过程中，速度方向向左。 ③简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。 2．分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 ①分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 ②分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 7．(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列说法中正确的是( ) A. 小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大 B. 小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 C. 小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 D. 小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量不变 8． (湖南永州期末)如图甲所示，一弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一小球，弹簧无形变时小球静止于光滑水平地面上O点处．若把小球拉至A点后由静止释放，小球向左运动最远位置为B点，以水平向右为正方向，小球的振动图像如图乙所示，则下列说法中正确的是( ) 甲　 乙 A. A、B之间的距离为6 cm B. 在0.8～1.6 s时间内，小球运动的路程为12 cm C. t＝0.8 s时刻小球位于B点，且此时小球的加速度最小 D. 在0.4～0.8 s时间内，小球运动的速度逐渐减小，弹簧弹性势能逐渐减小 9． 如图所示，小球在轻弹簧拉力作用下静止于光滑斜面上的O点， 现将小球拉至斜面上A点由静止释放．已知弹簧劲度系数为k，OA＝OB ＝x，下列说法中正确的是( ) A. 小球运动中的机械能守恒 B. 小球在弹簧原长处速度最大 C. 小球运动到B点受到的合外力大小为kx D. 小球运动中受弹簧的弹力与离开O点的位移成正比 考点2 单摆 考向1　单摆周期公式的理解和应用 1． 周期公式的成立条件：(1) T＝2π 必须是在小角度摆动的条件下才成立，理论上一般θ角不超过5°. 2． 摆长l是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度或摆线长度加小球半径长． 3． 重力加速度g 在实际问题中，g不一定为9.8 m/s2，而要由单摆所处的空间位置和摆球的运动情况、受力情况决定． (1) 如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，因为系统中重力加速度增大，单摆的周期将变短，如正向上加速运动的航天器中的单摆．但单摆如果在轨道上正常运行的航天器内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动． (2) 如图所示的光滑斜面上，单摆的周期T＝2π .因为单摆的等效重力为摆球重力沿斜面向下的分力mgsin θ，故此场景中的等效重力加速度g′＝gsin_θ. 10.(广东高州期末)如图所示，长度为L的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)，在O点正下方的P点固定一颗小钉子．现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球．点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置．已知点A与点B之间的高度差为h，h<L.A、B、P、O在同一竖直平面内．小球第一次从A点到B点所用时间为t1，小球第一次从B点到C点所用时间为t2，已知t1＝2t2，OA、PC与OB之间的夹角很小．则OP的长度为( ) A. L B. L C. L D. L 11.（24高二下河北邢台阶段练习）盛砂漏斗与悬线构成的砂摆在竖直平面内小角度地摆动，其下方有一薄板垂直摆动平面，匀速拉动薄板，漏出的砂落在薄板上的形状可反映砂摆的振动情况。甲、乙两不同摆长的砂摆落在薄板上的图像如图所示，已知两种情况下薄板的运动速度大小之比为，则两砂摆的周期之比为（　　） A． B． C． D． 12.（24高二下广东佛山期中）如图所示，用细绳系住一摆球，让摆球在倾角为θ的光滑斜面上做小幅度（α<5°）摆动，摆长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．该单摆的周期 B．该单摆的周期 C．摆球的振幅会影响单摆的周期 D．摆球的质量会影响单摆的周期 考向2 实验：用单摆测量重力加速度 一、实验思路 1．实验原理：在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式，可推导得。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。 2．物理量的测量 ①摆长l ：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。 ②周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。 二、实验装置 实验装置如图所示 实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 三、进行实验 1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。 2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。 3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为。 4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 四、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 2 3 2．图像法：由得，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 由周期公式，可推导得，摆长、周期的测量不准确会导致误差。本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点固定,小球质量大、体积小,细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动,这些要求是否符合。 1．测量摆长时引起的误差：使用刻度尺测量摆线长度时,要多次测量取平均值以减小误差。 ①摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等； ②摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)；悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。 2．测量周期时引起的误差：要从摆球通过平衡位置时开始计时,不能多计或漏计摆球全振动次数。 ①周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。 ②周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。 3．数据处理误差：利用图像法处理数据具有形象、直观的特点,同时也能减小实验误差。利用图像法分析处理时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。 六、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。 13.（23-24高二下江西赣州期中）徐同学做“用单摆测定重力加速度”的实验，就地取材组装了几种实验装置。 (1)下列最合理的装置是__________。 A． B． C． D． (2)徐同学用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径 。 (3)徐同学用秒表记录单摆振动的周期，为了获得更准确的实验结果，实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，由于马虎，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出的周期的平方一摆长（）图像如图乙所示，该图像的斜率为 （填“”“”或“”）；根据图乙可以计算得出当地的重力加速度大小 （取3.14，计算结果保留两位小数）。 14.（23-24高一下福建龙岩期中）在“用单摆测重力加速度”的实验中： (1)下列器材和操作最合理的是___________； A． B． C． D． (2)用秒表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为1次，单摆每经过最低点记一次数，当单摆第n次通过最低点时停止计时，显示时间为t，该单摆的周期T= ；（用t、n表示） (3)某同学通过改变摆线的长度L，测得对应的周期T，并作出图像如图所示，则根据图像可求出当地的重力加速度g= 。（用图中的符号a、b表示） 15． （2024北京海淀二模）某同学用图1所示装置测定当地重力加速度。 (1)关于器材选择及测量时的一些实验操作，下列说法正确的是 。 A．摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的 B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C．为了使摆的周期大一些以方便测量，应使摆角大一些 (2)在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t，则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g= 。 (3)实验时改变摆长，测出几组摆长L和对应的周期T的数据，作出L-T2图像，如图2所示。 ①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g= 。 ②因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则由①计算得到的重力加速度的测量值 真实值。（选填“大于”“等于”或“小于”） (4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆，某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足，如图3所示。为了检验猜想正确与否，他设计了如下实验：如图4所示，铁架台上装一根重垂线，在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下，将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，摆杆可绕着立柱自由转动，且不计其间的摩擦。如图5所示，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，静止时摆杆与重垂线的夹角为β，小球实际上相当于是在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地检验猜想是否正确的是 。 A．-sinβ图像 B．-cosβ图像 C．-tanβ图像 考点3　振动图像与波的图像的综合 1． 若问题中同时出现波的图像和振动图像，除了要深刻理解它们各自的特点外，还应注意以下几方面： (1) 波的图像与振动图像外形上很相似，辨别它们时要看图像的横坐标是时间t还是位移x. (2) 简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的振幅、周期均相同． (3) 求解两种图像结合问题的技巧是要从一种图像中找到某一质点的振动信息，再根据该质点的振动信息、题设条件和相应的物理规律推知另一种图像及相关情况． 2． 作为重要的综合题型，求解波的图像与振动图像综合问题的方法是： 波的传播方向与振动方向互判 1．带动法：后面质点依次重复前面质点的振动。 2．同侧法：在水平传播的波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧，如图所示 3．上下坡法：如图所示，沿波的传播方向，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C。 4．微平移法：如图所示，实线为t时刻的波形图，作出微小时间Δt(Δt<eq \f(T,4))后的波形如虚线所示，由图可知t时刻的质点P1(P2)经Δt后运动到P1′(P2′)处，这样就可以判断质点的运动方向了。 16.(多选)(广东深圳实验学校)一列简谐横波在t＝0.2 s时的波形图如图甲所示，P、Q为介质中的两个质点，它们的平衡位置分别为x＝1m和x＝3.5m，质点P的振动图像如图乙所示，则( ) 甲 乙 A. 该简谐波的波速为10 m/s B. t＝0.28 s时，质点P、Q的速度方向相同 C. 该简谐波沿x轴正方向传播 D. t＝0.4 s到t＝1.1 s内，质点Q的路程为7 cm 17.（2024贵州黔南二模）图（a）为湖面上漂浮着的距离不超过的两个浮子A、B。时刻，湖面形成的水波如图（b）所示，波由传向，浮子处于处。时刻起，浮子的振动图像如图（c）所示。下列判断正确的是（　　） A．浮子A经过一段时间后会移动到浮子B处 B．水波的传播速度大小为 C．水波的传播方向沿着x轴负方向 D．浮子的平衡位置可能位于处 18.（23-24高二下河南濮阳期末）水袖舞是中国京剧的特技之一，如图1所示。某京剧演员舞动水袖在时刻形成的机械波可简化为如图2所示的简谐横波，波沿x轴正向传播，P、Q是波传播方向上的两个质点，此时P在波峰，Q在平衡位置，波的传播速度为0.75m/s，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，质点Q正沿x轴正向运动 B．质点Q比质点P振动滞后0.25s C．质点P的振动方程为 D．时刻，质点Q的速度为正、加速度为负 考点4　波的干涉 1． 对波的干涉现象的理解 (1) 稳定干涉图样的产生是有条件的，必须是两列波的频率相同、相位差恒定.如果两列波的频率不相等，在相遇的区域里不同时刻各质点叠加的结果都不相同，看不到稳定的干涉图样． (2) 明显的干涉图样和稳定的干涉图样意义是不同的，明显的干涉图样除了满足相干条件外，还必须满足两列波振幅差别不大．振幅越是接近，干涉图样越明显． (3) 振动加强的点和振动减弱的点始终以振源的频率振动，其振幅不变，但其位移随时间发生变化． 2． 判断振动加强和减弱的常用方法 (1) 条件判断法：振动频率相同、振动步调完全相同的两波源的波叠加时，设某点到两波源的距离差为Δr. ① 当Δr＝k·λ(k＝0,1,2，…)时为加强点. ② 当Δr＝(2k＋1)·(k＝0,1,2，…)时为减弱点. 若两波源振动步调相反，则上述结论相反． (2) 现象判断法：若某点总是波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇，该点为加强点；若某点总是波峰与波谷相遇，则为减弱点．若某点是平衡位置和平衡位置相遇，则让两列波再传播 ，看该点是波峰和波峰(波谷与波谷)相遇，还是波峰和波谷相遇，判断该点是加强点还是减弱点． 19. (广东实验中学)消除噪声污染是当前环境保护的一个重要课题．如图所示的消声器可以用来削弱高速气流产生的噪声．频率为f的声波沿水平管道自左向右传播，在声波到达a处时，分成上下两束波，这两束波在b处相遇时可削弱噪声．设上下两束波从a运动到b的时间差为Δt，不考虑声波在传播过程中波速的变化．关于该消声器的工作原理及要达到良好的消声效果必须满足的条件，下列说法中正确的是() A. 利用了波的干涉，Δt是的奇数倍 B. 利用了波的衍射，Δt是的奇数倍 C. 利用了波的干涉，Δt是的奇数倍 D. 利用了波的衍射，Δt是的奇数倍 20.（23-24高二下江西赣州期末）如图所示，和是两个振动情况完全相同的波源，时均从平衡位置开始向上振动，形成两列横波，波长均为4m，振幅均为2cm，两者位于同一直线上，相距12m，连线上有一质点A，与的距离为3m。机械波在介质中传播的速度为2m/s。下列说法正确的是（　　） A．两列波的频率均为2Hz B．两列波叠加后质点A振幅为4cm C．0~3s，质点A通过的路程为8cm D．两列波叠加后和连线之间有5个振动加强点 21.（24高二下浙江期中）水面上存在两频率相同振幅均为1cm的两个波源a和b，它们之间的距离为14m（e点位于ab连线的中点处）。两波源从t=0时刻开始同时从平衡位置向上振动，t=4.5s时，水面上第一次观察到如图所示的分布（实线代表波峰，虚线代表波谷）。下列说法正确的是（　　） A．波的传播速度为2m/s B．图中所标c点和d点为振动加强点 C．t=4.5s时，e点处质点刚好经过平衡位置向上振动 D．从t=0到t=4.5s的时间内，e点处质点通过的路程为2cm 考点5波的多解问题 考向1　波的周期性形成多解 1． 造成波的多解的周期性因素 (1) 时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解． (2) 空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解． 2． 解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ. 22.(多选)(广东华师附中)如图甲所示，一列机械波沿直线由a向b传播，a、b为传播直线上两质点，ab＝2m，a、b两点的振动情况如图乙所示．下列说法中正确的是( ) 甲 　　乙 A. 波长可能是m B. 波长可能是8 m C. 波速可能是0.4 m/s D. 波速可能是 m/s 23.(多选)一列简谐横波沿直线由P向Q传播，相距21 m的P、Q两处的质点振动图像如图中P、Q所示，则(　　) A. 该波的振幅是20 cm B. 该波的波长可能是12 m C. 该波的波速可能是10 m/s D. 该波由P传播到Q最短历时3 s 24．如图是某简谐横波的波形图，实线表示t＝0时刻的波形，虚线表示0.2 s后的波形图. (1) 若波向左传播，则其传播的可能距离是多少？ (2) 若波向右传播，则其最大周期是多少？ (3) 若波速为35 m/s，则波的传播方向如何？ 考向2　波的双向性形成多解 1． 造成波的多解的双向性因素 (1) 传播方向双向性：波的传播方向不确定． (2) 振动方向双向性：质点振动方向不确定． 2． 解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，知道波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向正、负(或向上、向下)两方向振动的可能． 25.一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m 处质点的振动图像分别如图甲、图乙所示，则此列波的传播速率可能是( ) 　　 甲 乙 A. 7 m/s B. 2 m/s C. 1.2 m/s D. 1 m/s 26．（23-24高一下上海浦东新期中）一列横波在时的波形如图中的实线所示，时刻的波形如图中的虚线所示，P是平衡位置在处的质点。 （1）求该波的振幅和波长； （2）若该波沿x轴正方向传播，求该波的波速表达式： （3） 若该波的波速大小，求质点P在0~4s内通过的路程。 27．（24高二下宁夏石嘴山期中）如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线是0.2s后的波形图 （1）若波向左传播，波的速度是多大（以m/s为波速单位）？波的周期是多大？ （2）若波向右传播，波的速度是多大（以m/s为波速单位）？波的周期是多大？ （3）若波速是10.25m/s，求波的传播方向。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 机械振动和机械波 考点1简谐运动的综合问题 考向1　简谐运动的周期性和对称性 考向2　简谐运动的表达式和图像的应用 考向3 简谐运动的回复力和能量 考点2 单摆 考向1　单摆周期公式的理解和应用 考向2 实验：用单摆测量重力加速度 考点3　振动图像与波的图像的综合 考点4　波的干涉 考点5波的多解问题 考向1　波的周期性形成多解 考向2　波的双向性形成多解 考点1简谐运动的综合问题 考向1　简谐运动的周期性和对称性 1． 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做出如下判断： (1) 若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同． (2) 若t2－t1＝nT＋，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反. (3) 若t2－t1＝nT＋或t2－t1＝nT＋，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定． 2． 简谐运动的对称性． 如图所示： (1) 时间的对称 ① 物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD. ② 物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO. (2) 速度的对称 ① 物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反. ② 物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． (3) 加速度的对称 系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力. 1．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为( ) A. 0.53 s　　　　　 B. 1.4 s C. 3 s　　　　　　 D. 2 s 答案A 解析 如图甲所示： 甲 设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3s＋s＝0.4s，解得T＝1.6s. 如图乙所示： 乙 若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2s.振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为＝s，故周期为T＝0.5s＋ s≈0.53s，故选A. 2．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50 s时，振子速度第二次变为－v. (1) 求弹簧振子振动的周期T. (2) 若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s 内通过的路程． 解析⑴作示意图，根据题意，振子从P点出发，沿路径①到达B再沿路径②回到出发点P，历时0.20 s，由对称性可得 tPB＝tBP＝0.10 s 同理，tPO＝tOP′＝×0.30 s 由于tBO＝tBP＋tPO＝， 所以T＝4×(0.10＋0.15)s＝1.00 s，即周期为1.00 s. ⑵BC＝2A＝25 cm，振幅A＝12.5 cm；因振子1个周期通过4A的路程，故在4.0 s＝4T内通过s＝4×4A＝200 cm. 3．（2024北京通州一模）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（    ） A．MN间距离为5cm B．振子的运动周期是0.2s C．时，振子位于N点 D．时，振子具有最大速度 答案B 解析A．MN间距离为2A=10cm，选项A错误； B．振子的运动周期是 选项B正确； C．时，x=0，则振子位于O点，选项C错误； D．时 振子位于N点，具有最大加速度，最小速度，选项D错误。 考向2　简谐运动的表达式和图像的应用 简谐运动的位移表达式x＝Asin(ωt＋φ)或x＝Acos(ωt＋φ)，图像是一条正弦或余弦曲线，反映的是位移随时间的变化规律，如图所示． 甲 乙 1． 已知表达式，可以求出振幅、周期、频率、初相位等物理量，可以作出振动图像，推知振子的振动情况． 2． 根据振子的振动情况，可以作出振动图像，可以写出表达式． 3． 根据图像，可以写出表达式，可以推知振子的振动情况． 以位移为“桥梁”分析简谐运动中各物理量的变化情况： (1) 位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．各矢量均在其值为零时改变方向． (2) 位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定． 4．如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝10sincm.下列说法中正确的是 ( ) A. MN间距离为10 cm B. 振子的运动周期是0.25 s C. t＝0时，振子位于N点 D. t＝0.062 5 s时，振子具有最大速度 答案BCD 解析 MN间距离为2A＝20 cm，A错误；由x＝10sin cm可知ω＝8πrad/s，可知振子的运动周期是T＝＝0.25 s，B正确；t＝0时x＝10 cm，即振子位于N点，C正确；t＝0.062 5 s时x＝0，此时振子在O点，振子速度最大，D正确． 5． 如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动．取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是( ) 甲 乙 A. t＝0.6 s时，振子在O点右侧6 cm处 B. 振子在t＝0.2 s时和t＝1.0 s时的速度相同 C. t＝6 s时，振子的加速度方向水平向左 D. t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大 答案A 解析 由图乙知振子的最大位移为12 cm，周期为1.6 s，在t＝0时刻振子从平衡位置开始向右振动，所以振子的振动方程为x＝Asin ωt＝12sin t cm，当t＝0.6 s时，x1＝12×sin＝6 cm，A正确；由图乙知，t＝0.2 s振子从平衡位置向右运动，t＝1.0 s振子从平衡位置向左运动，速度的方向相反，B错误；t＝6 s时，即t＝3T，振子在O点左侧，故加速度方向水平向右，C错误；由图乙可知，t＝1.0 s到t＝1.2 s的时间内振子向最大位移处运动，速度减小，加速度增大，t＝1.2 s到t＝1.4 s时间内振子从最大位移向平衡位置运动，速度增大，加速度减小，故t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的加速度先增大后减小，速度先减小后增大，D错误． 6．如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是( ) 甲 乙 A. t＝0.8 s，振子的速度方向向左 B. t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 C. t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同 D. t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 答案A 解析 由图可知t＝0.8 s时，振子在平衡位置由正位移向负位移方向运动，即向左运动，速度方向向左，A正确；振动周期T＝1.6 s，振幅A＝12 cm，由图像函数y＝Asin ωt＝Asin t，可知，当t＝0.2 s时，y＝6 cm，振子在O点右侧 6 cm 处，B错误；由图像可知t＝0.4 s和t＝1.2 s，振子分别在B、A两点，加速度大小相同，方向相反，C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振子由最大位移处向平衡位置运动，振子速度越来越大，D错误． 考向3 简谐运动的回复力和能量 1．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。 2．简谐运动的动力学特征:回复力F=-kx (1)凡是满足F=-kx的运动都是简谐运动。k是比例系数,并非一定是弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数),其值由振动系统决定,与振幅无关。 (2)“-”号表示回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移的方向相反。 (3)判断一个物体是否做简谐运动,可找出回复力F与位移x之间的关系,若满足F=-kx,则物体做简谐运动,否则就不是简谐运动。 3．简谐运动的运动学特征:加速度a=-k'x (1) 可以简化为a=-k’x,表示加速度跟位移大小成正比,并总指向平衡位置。当然k也可以写为k,这里用k'表示是为了与F=-kx的比例系数相区别 (2)a=-k'x表明简谐运动是变加速运动,且加速度和速度都在做周期性的变化。 (3)判断一个振动是否为简谐运动就看它是否满足动力学特征或运动学特征。F=-kx与a=-k'x都可以作为判断的依据。 4．判断振动物体是否做简谐运动的方法 ①振动物体的回复力满足F＝－kx； ②振动物体的位移x与时间t满足函数关系； ③振动物体的振动图像是正弦曲线。 1． 规律总结 ①当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；当小球靠近平衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 ②当小球位于B与O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O与C点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；B→O→C过程中，速度方向向右，C→O→B过程中，速度方向向左。 ③简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。 2．分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 ①分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 ②分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 7．(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列说法中正确的是( ) A. 小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大 B. 小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 C. 小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 D. 小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量不变 答案AD 解析 在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，A正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，B错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，C错误，D正确． 8． (湖南永州期末)如图甲所示，一弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一小球，弹簧无形变时小球静止于光滑水平地面上O点处．若把小球拉至A点后由静止释放，小球向左运动最远位置为B点，以水平向右为正方向，小球的振动图像如图乙所示，则下列说法中正确的是( ) 甲　 乙 A. A、B之间的距离为6 cm B. 在0.8～1.6 s时间内，小球运动的路程为12 cm C. t＝0.8 s时刻小球位于B点，且此时小球的加速度最小 D. 在0.4～0.8 s时间内，小球运动的速度逐渐减小，弹簧弹性势能逐渐减小 答案B 解析 由乙图可知，A、B之间的距离为12 cm，A错误；在0.8～1.6 s时间内，小球运动的路程为2个振幅，为12 cm，B正确；由图乙可知，在0.8 s时，小球位于负的最大位移处，即B点，此时小球的加速度最大，C错误；在0.4～0.8 s时间内，小球从平衡位置处向负的最大位移处运动，小球运动的速度不断减小，弹簧弹性势能增大，D错误． 9． 如图所示，小球在轻弹簧拉力作用下静止于光滑斜面上的O点， 现将小球拉至斜面上A点由静止释放．已知弹簧劲度系数为k，OA＝OB ＝x，下列说法中正确的是( ) A. 小球运动中的机械能守恒 B. 小球在弹簧原长处速度最大 C. 小球运动到B点受到的合外力大小为kx D. 小球运动中受弹簧的弹力与离开O点的位移成正比 答案C 解析 小球运动中小球与弹簧组成的系统机械能守恒，小球机械能不守恒，A错误；小球速度最大的位置在合力为零时，故在O点速度最大，B错误；小球在O点弹簧伸长Δx，则kΔx＝mgsin θ，运动到B点受到的合外力大小为F＝k(x－Δx)＋mgsin θ＝kx，C正确；小球运动中受到的合外力与离开O点的位移成正比，D错误． 考点2 单摆 考向1　单摆周期公式的理解和应用 1． 周期公式的成立条件：(1) T＝2π 必须是在小角度摆动的条件下才成立，理论上一般θ角不超过5°. 2． 摆长l是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度或摆线长度加小球半径长． 3． 重力加速度g 在实际问题中，g不一定为9.8 m/s2，而要由单摆所处的空间位置和摆球的运动情况、受力情况决定． (1) 如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，因为系统中重力加速度增大，单摆的周期将变短，如正向上加速运动的航天器中的单摆．但单摆如果在轨道上正常运行的航天器内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动． (2) 如图所示的光滑斜面上，单摆的周期T＝2π .因为单摆的等效重力为摆球重力沿斜面向下的分力mgsin θ，故此场景中的等效重力加速度g′＝gsin_θ. 10.(广东高州期末)如图所示，长度为L的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)，在O点正下方的P点固定一颗小钉子．现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球．点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置．已知点A与点B之间的高度差为h，h<L.A、B、P、O在同一竖直平面内．小球第一次从A点到B点所用时间为t1，小球第一次从B点到C点所用时间为t2，已知t1＝2t2，OA、PC与OB之间的夹角很小．则OP的长度为( ) A. L B. L C. L D. L 答案B 解析 由于OA、PC与OB之间的夹角很小，所以小球从A点到B点和从B点到C点的运动都可以看作是单摆运动，根据单摆周期公式 T＝2π，有t1＝×2π，t2＝×2π，t1＝2t2，所以PB＝L，OP＝L－PB＝L，B正确． 11.（24高二下河北邢台阶段练习）盛砂漏斗与悬线构成的砂摆在竖直平面内小角度地摆动，其下方有一薄板垂直摆动平面，匀速拉动薄板，漏出的砂落在薄板上的形状可反映砂摆的振动情况。甲、乙两不同摆长的砂摆落在薄板上的图像如图所示，已知两种情况下薄板的运动速度大小之比为，则两砂摆的周期之比为（　　） A． B． C． D． 答案A 解析 由图可知， 由公式 可知两砂摆的周期之比为3:4。 故选A。 12.（24高二下广东佛山期中）如图所示，用细绳系住一摆球，让摆球在倾角为θ的光滑斜面上做小幅度（α<5°）摆动，摆长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．该单摆的周期 B．该单摆的周期 C．摆球的振幅会影响单摆的周期 D．摆球的质量会影响单摆的周期 答案B 解析AB．斜面上的单摆的重力沿斜面向下的分力与竖直悬挂的单摆的重力等效，故斜面上的单摆的等效“重力加速度”为 根据单摆的周期公式得 故A错误；B正确； CD．根据前面选项分析得出的周期表达式，可知摆球的振幅和质量均不会影响单摆的周期。故CD错误。 故选B。 考向2 实验：用单摆测量重力加速度 一、实验思路 1．实验原理：在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式，可推导得。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。 2．物理量的测量 ①摆长l ：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。 ②周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。 二、实验装置 实验装置如图所示 实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 三、进行实验 1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。 2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。 3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为。 4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 四、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 2 3 2．图像法：由得，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 由周期公式，可推导得，摆长、周期的测量不准确会导致误差。本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点固定,小球质量大、体积小,细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动,这些要求是否符合。 1．测量摆长时引起的误差：使用刻度尺测量摆线长度时,要多次测量取平均值以减小误差。 ①摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等； ②摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)；悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。 2．测量周期时引起的误差：要从摆球通过平衡位置时开始计时,不能多计或漏计摆球全振动次数。 ①周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。 ②周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。 3．数据处理误差：利用图像法处理数据具有形象、直观的特点,同时也能减小实验误差。利用图像法分析处理时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。 六、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。 13.（23-24高二下江西赣州期中）徐同学做“用单摆测定重力加速度”的实验，就地取材组装了几种实验装置。 (1)下列最合理的装置是__________。 A． B． C． D． (2)徐同学用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径 。 (3)徐同学用秒表记录单摆振动的周期，为了获得更准确的实验结果，实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，由于马虎，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出的周期的平方一摆长（）图像如图乙所示，该图像的斜率为 （填“”“”或“”）；根据图乙可以计算得出当地的重力加速度大小 （取3.14，计算结果保留两位小数）。 答案(1)D (2)21.25 (3) 9.86 解析（1）为了减小误差，小球应选取质量大体积小即密度大的铁球，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应选用细绳，且要保证摆动过程中摆点不发生移动固定，应采取铁夹夹住细丝线。 故选D。 （2）该游标卡尺的有标尺为20分度，其精度，摆球直径 （3）[1][2]根据单摆周期公式 可得 则图像的斜率 结合题图乙有 解得当地的重力加速度大小 14.（23-24高一下福建龙岩期中）在“用单摆测重力加速度”的实验中： (1)下列器材和操作最合理的是___________； A． B． C． D． (2)用秒表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为1次，单摆每经过最低点记一次数，当单摆第n次通过最低点时停止计时，显示时间为t，该单摆的周期T= ；（用t、n表示） (3)某同学通过改变摆线的长度L，测得对应的周期T，并作出图像如图所示，则根据图像可求出当地的重力加速度g= 。（用图中的符号a、b表示） 答案(1)D (2) (3) 解析（1）单摆摆动过程中，摆线长度需保持不变，故摆线应该选择弹性小的细丝线，且摆球应选择密度大的铁球，以减小阻力的影响，为了防止摆球摆动时摆长变化，则应该用铁夹夹住上端。 故选D。 （2）一周期内单摆经过两次平衡位置，单摆的周期为 （3）设铁球的半径为，根据单摆周期公式 整理得 图像的斜率为 解得当地的重力加速度为 15． （2024北京海淀二模）某同学用图1所示装置测定当地重力加速度。 (1)关于器材选择及测量时的一些实验操作，下列说法正确的是 。 A．摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的 B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C．为了使摆的周期大一些以方便测量，应使摆角大一些 (2)在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t，则利用上述测量量可得重力加速度的表达式g= 。 (3)实验时改变摆长，测出几组摆长L和对应的周期T的数据，作出L-T2图像，如图2所示。 ①利用A、B两点的坐标可得重力加速度的表达式g= 。 ②因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则由①计算得到的重力加速度的测量值 真实值。（选填“大于”“等于”或“小于”） (4)关于摩擦力可以忽略的斜面上的单摆，某同学猜想单摆做小角度摆动时周期满足，如图3所示。为了检验猜想正确与否，他设计了如下实验：如图4所示，铁架台上装一根重垂线，在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下，将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，摆杆可绕着立柱自由转动，且不计其间的摩擦。如图5所示，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，静止时摆杆与重垂线的夹角为β，小球实际上相当于是在一倾斜平面上运动。下列图像能直观地检验猜想是否正确的是 。 A．-sinβ图像 B．-cosβ图像 C．-tanβ图像 答案(1)AB (2) (3) 等于 (4)B 解析（1）AB．为减小实验误差，摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的，摆球尽量选择密度大的，即质量大些、体积小些的，故AB正确； C．应使摆角小于5°，才可看作理想单摆，故C错误； 故选AB。 （2）在某次实验中，测得单摆摆长为L、单摆完成n次全振动的时间为t,则周期为 根据单摆周期公式 解得 （3）①[1]根据单摆周期公式 变形有 根据图像的斜率可知 解得 ②[2]因摆球质量分布不均匀，小球的重心位于其几何中心的正下方。表达式变为 若只考虑摆长测量偏小造成的影响，则图像的斜率不变，测量值等于真实值； （4）根据题图可知等效重力加速度为重力加速度沿着垂直于立柱方向的分量，大小为a=gcosβ 根据单摆周期公式 变形可知 则应作图像； 故选B。 考点3　振动图像与波的图像的综合 1． 若问题中同时出现波的图像和振动图像，除了要深刻理解它们各自的特点外，还应注意以下几方面： (1) 波的图像与振动图像外形上很相似，辨别它们时要看图像的横坐标是时间t还是位移x. (2) 简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的振幅、周期均相同． (3) 求解两种图像结合问题的技巧是要从一种图像中找到某一质点的振动信息，再根据该质点的振动信息、题设条件和相应的物理规律推知另一种图像及相关情况． 2． 作为重要的综合题型，求解波的图像与振动图像综合问题的方法是： 波的传播方向与振动方向互判 1．带动法：后面质点依次重复前面质点的振动。 2．同侧法：在水平传播的波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧，如图所示 3．上下坡法：如图所示，沿波的传播方向，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C。 4．微平移法：如图所示，实线为t时刻的波形图，作出微小时间Δt(Δt<eq \f(T,4))后的波形如虚线所示，由图可知t时刻的质点P1(P2)经Δt后运动到P1′(P2′)处，这样就可以判断质点的运动方向了。 16.(多选)(广东深圳实验学校)一列简谐横波在t＝0.2 s时的波形图如图甲所示，P、Q为介质中的两个质点，它们的平衡位置分别为x＝1m和x＝3.5m，质点P的振动图像如图乙所示，则( ) 甲 乙 A. 该简谐波的波速为10 m/s B. t＝0.28 s时，质点P、Q的速度方向相同 C. 该简谐波沿x轴正方向传播 D. t＝0.4 s到t＝1.1 s内，质点Q的路程为7 cm 答案AB 解析 由图甲知该波波长为λ＝4 m，由图乙知周期为T＝0.4 s，则该简谐波的波速为v＝＝ m/s＝10 m/s，A正确；由图乙可知，当t＝0.2 s时，质点P正从平衡位置向y轴负方向运动，根据质点振动方向与波的传播方向的关系可知，该波一定沿x轴负方向传播，C错误；t＝0.28 s时，质点P、Q各振动了0.08 s，小于四分之一周期，质点P正从平衡位置向y轴负方向运动，经过0.08 s向下振动；质点Q开始向上振动，经过0.08 s也向下振动，B正确；t＝0.4 s 到t＝1.1 s内，即质点Q振动了1T，质点Q的起始位置既不是平衡位置，又不是最大位移处，所以在1T路程不是s＝7×A＝7 cm，D错误． 17.（2024贵州黔南二模）图（a）为湖面上漂浮着的距离不超过的两个浮子A、B。时刻，湖面形成的水波如图（b）所示，波由传向，浮子处于处。时刻起，浮子的振动图像如图（c）所示。下列判断正确的是（　　） A．浮子A经过一段时间后会移动到浮子B处 B．水波的传播速度大小为 C．水波的传播方向沿着x轴负方向 D．浮子的平衡位置可能位于处 答案 D 解析 A．浮子只会在平衡位置上下振动，不会“随波逐流”，故A错误； B．由图可知，水波波长为1.0m，周期为0.8s，由波速公式可得水波的传播速度大小为m/s 故B错误； C．浮子A处于x=0.5m，由图丙可知，在t=0时刻，浮子A由平衡位置沿y轴正方向振动，由上下坡法确定水波的传播方向沿着x轴正方向，故C错误； D．由图（c）可知，因浮子A先振动，则从A传到B经历的时间为（n=1，2，3…） 则n=1时s A、B距离m 则B浮子的坐标可能为2.25m，故D正确。 故选D。 18.（23-24高二下河南濮阳期末）水袖舞是中国京剧的特技之一，如图1所示。某京剧演员舞动水袖在时刻形成的机械波可简化为如图2所示的简谐横波，波沿x轴正向传播，P、Q是波传播方向上的两个质点，此时P在波峰，Q在平衡位置，波的传播速度为0.75m/s，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，质点Q正沿x轴正向运动 B．质点Q比质点P振动滞后0.25s C．质点P的振动方程为 D．时刻，质点Q的速度为正、加速度为负 答案C 解析A.波沿x轴正向传播，所以质点Q正向y轴正方向运动，故A错误； B.质点Q比质点P振动滞后，而波的周期为 故质点Q比质点P振动滞后0.2s，故B错误； C.质点P的振动方程为 故C正确； D. 时刻，也就是经过了，此时波峰传到了质点Q，质点Q的速度为0、加速度为负，故D错误； 故选C。 考点4　波的干涉 1． 对波的干涉现象的理解 (1) 稳定干涉图样的产生是有条件的，必须是两列波的频率相同、相位差恒定.如果两列波的频率不相等，在相遇的区域里不同时刻各质点叠加的结果都不相同，看不到稳定的干涉图样． (2) 明显的干涉图样和稳定的干涉图样意义是不同的，明显的干涉图样除了满足相干条件外，还必须满足两列波振幅差别不大．振幅越是接近，干涉图样越明显． (3) 振动加强的点和振动减弱的点始终以振源的频率振动，其振幅不变，但其位移随时间发生变化． 2． 判断振动加强和减弱的常用方法 (1) 条件判断法：振动频率相同、振动步调完全相同的两波源的波叠加时，设某点到两波源的距离差为Δr. ① 当Δr＝k·λ(k＝0,1,2，…)时为加强点. ② 当Δr＝(2k＋1)·(k＝0,1,2，…)时为减弱点. 若两波源振动步调相反，则上述结论相反． (2) 现象判断法：若某点总是波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇，该点为加强点；若某点总是波峰与波谷相遇，则为减弱点．若某点是平衡位置和平衡位置相遇，则让两列波再传播 ，看该点是波峰和波峰(波谷与波谷)相遇，还是波峰和波谷相遇，判断该点是加强点还是减弱点． 19. (广东实验中学)消除噪声污染是当前环境保护的一个重要课题．如图所示的消声器可以用来削弱高速气流产生的噪声．频率为f的声波沿水平管道自左向右传播，在声波到达a处时，分成上下两束波，这两束波在b处相遇时可削弱噪声．设上下两束波从a运动到b的时间差为Δt，不考虑声波在传播过程中波速的变化．关于该消声器的工作原理及要达到良好的消声效果必须满足的条件，下列说法中正确的是() A. 利用了波的干涉，Δt是的奇数倍 B. 利用了波的衍射，Δt是的奇数倍 C. 利用了波的干涉，Δt是的奇数倍 D. 利用了波的衍射，Δt是的奇数倍 答案A 解析 根据干涉特点知，两相干波源的距离差为半波长的奇数倍时，此点为振动减弱点，要减弱声音，所以满足距离差Δx＝v·Δt为半波长的奇数倍，而波长λ＝，整理可得Δt为 的奇数倍，A正确，B、C、D错误． 20.（23-24高二下江西赣州期末）如图所示，和是两个振动情况完全相同的波源，时均从平衡位置开始向上振动，形成两列横波，波长均为4m，振幅均为2cm，两者位于同一直线上，相距12m，连线上有一质点A，与的距离为3m。机械波在介质中传播的速度为2m/s。下列说法正确的是（　　） A．两列波的频率均为2Hz B．两列波叠加后质点A振幅为4cm C．0~3s，质点A通过的路程为8cm D．两列波叠加后和连线之间有5个振动加强点 答案D 解析A．机械波在介质中传播的速度两列横波的波长均为 故两列波的频率均为 故A错误； B．两列波在点的波程差 为半波长的奇数倍，两列波叠加后质点为减弱点，两列波叠加后质点振幅为0，故B错误； C．与点距离为3m，机械波在介质中传播的速度，则波源产生的波传到点时所用的时间与点距离为9m，则波源产生的波传到点时所用的时间 故3s时波源产生的波还未到达点，波源产生的波1.5s时到达A点，其周期 再经1.5s，A点振动个周期，质点A通过的路程为 故C错误； D．设振动加强点距离的距离为，则距离的距离为，则应满足 可求得即两列波叠加后和连线之间有5个振动加强点，故D正确； 故选D。 21.（24高二下浙江期中）水面上存在两频率相同振幅均为1cm的两个波源a和b，它们之间的距离为14m（e点位于ab连线的中点处）。两波源从t=0时刻开始同时从平衡位置向上振动，t=4.5s时，水面上第一次观察到如图所示的分布（实线代表波峰，虚线代表波谷）。下列说法正确的是（　　） A．波的传播速度为2m/s B．图中所标c点和d点为振动加强点 C．t=4.5s时，e点处质点刚好经过平衡位置向上振动 D．从t=0到t=4.5s的时间内，e点处质点通过的路程为2cm 答案A 解析A．由图可知 解得， t=0时刻开始波源从平衡位置向上振动，从t=0到t=4.5s的时间内波传播的距离为 波的传播速度为 故A正确； B．图中所标c点和d点到两波源的距离差为 所以为振动减弱点，故B错误； C．由 所以t=4.5s时，波传播到e点从平衡位置向上振动，振动的时间为 波的周期 由，可知t=4.5s时，e点处质点刚好经过平衡位置向下振动，故C错误； D．两列波传到e点后，e点振动加强，振幅为2A，因此从t=0到t=4.5s的时间内，e点处质点通过的路程为 故D错误。 故选A。 考点5波的多解问题 考向1　波的周期性形成多解 1． 造成波的多解的周期性因素 (1) 时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解． (2) 空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解． 2． 解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ. 22.(多选)(广东华师附中)如图甲所示，一列机械波沿直线由a向b传播，a、b为传播直线上两质点，ab＝2m，a、b两点的振动情况如图乙所示．下列说法中正确的是( ) 甲 　　乙 A. 波长可能是m B. 波长可能是8 m C. 波速可能是0.4 m/s D. 波速可能是 m/s 答案AD 解析 由图知，周期为T＝4 s，在t＝0时刻，a点位于波谷，b点经过平衡位置向上，结合波形得2m＝λ，得λ＝m，波速v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，波长λ＝m，则v＝m/s，当n＝1时，λ＝m，则v＝m/s，当n＝2时，λ＝m，则v＝m/s，A、D正确，B、C错误． 23.(多选)一列简谐横波沿直线由P向Q传播，相距21 m的P、Q两处的质点振动图像如图中P、Q所示，则(　　) A. 该波的振幅是20 cm B. 该波的波长可能是12 m C. 该波的波速可能是10 m/s D. 该波由P传播到Q最短历时3 s 答案 BD　 解析 由题图读出该波的振幅为A＝10 cm，在t＝0时刻，质点Q经过平衡位置向上运动，质点P位于波谷，波由P向Q传播，结合波形得到P、Q间距离与波长的关系为Δx＝λ(n＝0,1,2，…)，得到波长为λ＝＝ m＝ m(n＝0,1，2，…)，当n＝1时，λ＝12 m；波速为v＝＝ m/s＝ m/s(n＝0,1,2，…)，因n为整数，v不可能等于10 m/s，故选项A、C错误，B正确；该波由P传播到Q的时间为t＝T＝(4n＋3) s(n＝0,1,2，…)，则n＝0时，t最短为3 s，故选项D正确． 24．如图是某简谐横波的波形图，实线表示t＝0时刻的波形，虚线表示0.2 s后的波形图. (1) 若波向左传播，则其传播的可能距离是多少？ (2) 若波向右传播，则其最大周期是多少？ (3) 若波速为35 m/s，则波的传播方向如何？ 解析 (1)若向左传播，Δt时间内波传播的距离为Δx＝(n＋)λ(n＝0,1,2，…) 其中λ＝4m，得x＝(4n＋3) m，(n＝0,1,2，…) 可能距离为3m、7m、11m，… (2)当波向右传播时，Δt和周期T的关系为Δt＝(n＋)T(n＝0,1,2，…) 所以T＝ s(n＝0,1,2，…) 当n＝0时，T有最大值Tmax＝ s＝0.8s (3)波在Δt内传播的距离为Δx＝vΔt＝7m＝1λ 结合图形可得波是向左传播的． 考向2　波的双向性形成多解 1． 造成波的多解的双向性因素 (1) 传播方向双向性：波的传播方向不确定． (2) 振动方向双向性：质点振动方向不确定． 2． 解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，知道波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向正、负(或向上、向下)两方向振动的可能． 25.一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m 处质点的振动图像分别如图甲、图乙所示，则此列波的传播速率可能是( ) 　　 甲 乙 A. 7 m/s B. 2 m/s C. 1.2 m/s D. 1 m/s 答案BC 解析 由振动图像可知周期T＝4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处． ① 若沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3…… 甲 则波长为x2－x1＝λ(n＝0,1,2，…) 解得波速表达式v＝＝＝ m/s(n＝0,1,2，…) 当n＝0时，v＝6 m/s，当n＝1时，v＝1.2 m/s，C正确． ② 若沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示． 乙 则有x2－x1＝λ(n＝0,1,2，…) 得v＝＝＝ m/s(n＝0,1,2，…) 当n＝0时，v＝2 m/s，当n＝1时，v≈0.86 m/s，B正确． 26．（23-24高一下上海浦东新期中）一列横波在时的波形如图中的实线所示，时刻的波形如图中的虚线所示，P是平衡位置在处的质点。 （1）求该波的振幅和波长； （2）若该波沿x轴正方向传播，求该波的波速表达式： （3） 若该波的波速大小，求质点P在0~4s内通过的路程。 答案（1）2cm，4m；（2）；（3） 解析（1）由图可知该波的振幅为2cm，波长为4m。 （2）若该波沿x轴正方向传播，时间内波传播的距离可能为 故波速可能为 （3）若该波的波速大小，则波的周期 由 可知质点P在0~4s内通过的路程为 27．（24高二下宁夏石嘴山期中）如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线是0.2s后的波形图 （1）若波向左传播，波的速度是多大（以m/s为波速单位）？波的周期是多大？ （2）若波向右传播，波的速度是多大（以m/s为波速单位）？波的周期是多大？ （3）若波速是10.25m/s，求波的传播方向。 答案（1）m/s（n=0，1，2…）；s（n=0，1，2…）；（2）m/s（n=0，1，2…）；s（n=0，1，2…）；（3）向左传播 解析（1）若波向左传播，可知s（n=0，1，2…） 解得s（n=0，1，2…） 波长为20cm，则波速为m/s（n=0，1，2…） （2）若波向右传播，可知s（n=0，1，2…） 解得s（n=0，1，2…） 波长为20cm，则波速为m/s（n=0，1，2…） （3）若波速是10.25m/s，代入速度的表达式m/s（n=0，1，2…） 解得 则波向左传播。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$