精品解析：2025年山东省济宁市金乡县中考一模数学试题

2024-2025学年度九年级第一次模拟学情监测数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点A、B所表示的数分别为a，b，则下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 6. 方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 7. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为步，可列方程为（　　） A B. C. D. 8. 如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点旋转至使得，，共线，则边扫过的部分（即阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 10. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 把多项式分解因式结果是______． 12. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 13. 甲从地前往地，乙从地前往地，同时出发，匀速行驶．甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数关系如图所示，则________． 14. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为________． 15. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的结论有______．（只填序号） 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 17. 新新商场第1次用39万元购进A，B两种商品．销售完后获得利润6万元（总利润＝单件利润×销售量），它们的进价和售价如表： 　　商品 价格　　 A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1350 1200 （1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原价购进A，B两种商品，购进A商品件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得的利润等于36 000元，则B种商品是打几折销售的？ 18. 太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 19. 某学校举行了数学文化知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的“数学知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）： 71 65 68 92 81 84 95 93 87 89 78 88 81 75 86 82 96 73 89 86 整理分析数据： 成绩x（单位：分） 频数/人数 2 a b 4 （1）统计表中______， ______；并补全频数分布直方图； （2）根据上面统计结果估计该校初一年级1800人中，约有多少人的成绩在80分及以上； （3）这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人作为优秀参赛者在年级学生大会上发言，利用树状图或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率． 20. 如图，在中，是的直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，． （1）求的长度； （2）延长到点，连接，使得．求证：是的切线． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）连接并延长，与反比例函数的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 22. 如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中， ①当，，三点在同一直线上时，的长为 ； ②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长； （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，连接，如图②，此时，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． （1）点与点互为“等和点”，求b的值； （2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； （3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点E在图象上，点F在图象上． ①若，点E与点F互为“等和点”且点E横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标； ②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级第一次模拟学情监测数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点A、B所表示的数分别为a，b，则下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴可以看出，，，．根据有理数的乘除法，加减法进行计算，然后比较大小． 【详解】解：由数轴可以看出，，， ∴，． 又∵． ∴，． ∴最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数的加减法运算，有理数的乘除法运算，掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大是解题的关键． 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选D． 4. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图以及认识平面图形，掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题的关键．根据圆柱、圆锥的特征解答即可． 【详解】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意； 选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意； 选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A.x2+x不能合并，故选项A错误； B.，故选项B错误； C.8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确； D.（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键． 6. 方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，检验根等方法是解题的关键． 先去分母化成，检验根，当时，，原分式方程无意义，由此即可求解． 【详解】解： 等式两边同时乘以去分母得，， 检验，当时，，原分式方程无意义， ∴原方程无解， 故选：D ． 7. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为步，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 【详解】解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 8. 如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，角平分线的作法，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图痕迹得出垂直平分，平分，进而可得，，再根据三角形内角和定理得出，根据等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，垂直平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故选A． 9. 如图，在中，，，，将绕点旋转至使得，，共线，则边扫过的部分（即阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形旋转及扇形的面积公式等知识点，掌握扇形的面积公式，推导出所求面积即为两扇形面积之差是解答本题的关键． 先推导出边扫过的部分（即阴影部分）面积为，分别求两扇形面积相减即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴直角三角形，， ∵， ∴， 由旋转可知，， 由题意得，由图形可知， 边扫过部分（即阴影部分）面积为 , ∴边扫过的部分（即阴影部分）面积为 故选：B． 10. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为42个． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键；先提公因式，再根据平方差分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键． 先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 13. 甲从地前往地，乙从地前往地，同时出发，匀速行驶．甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数关系如图所示，则________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解题意，得到两人中有1人先到达终点是解本题的关键．根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟，从而先求解速度慢的人的速度，再求解速度快的人的速度，从而可得答案． 【详解】解：根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟， （米/分）， ， 解得：（米/分）， （分钟）， 故答案为： 14. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为________． 【答案】24 【解析】 【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征． 15. 如图，已知，点D是平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的结论有______．（只填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】（1）；（2）不等式组的解集为，所有正整数解有1、2． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂、绝对值、二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可； （2）先分别解两个不等式，然后找到两个不等式解集的公共部分，最后在公共部分中找出所有的正整数解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 所有正整数解有：1、2． 17. 新新商场第1次用39万元购进A，B两种商品．销售完后获得利润6万元（总利润＝单件利润×销售量），它们的进价和售价如表： 　　商品 价格　　 A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1350 1200 （1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得的利润等于36 000元，则B种商品是打几折销售的？ 【答案】（1）A商品200件，B商品150件；（2）8.5折 【解析】 【分析】（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，根据“该商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设B种商品是打m折销售，根据第2次经营活动获得利润等于36000元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，依题意得： 解得：． 答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件． （2）设B种商品打m折销售，依题意得： 解得：m=8.5． 答：B种商品是打8.5折销售的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 18. 太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 【答案】路灯D距地面AE的高度为9.4米 【解析】 【分析】如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，先解直角三角形CDM求出CM的长洁儿求出HF的长，解直角三角形DHF求出DH的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形， ∴CM=AG，HF=EG，HG=EF， ∵∠BCD=60°， ∴∠DCM=30°， 又∵∠CMD=90°， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴路灯D距地面AE的高度为9.4米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 19. 某学校举行了数学文化知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的“数学知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）： 71 65 68 92 81 84 95 93 87 89 78 88 81 75 86 82 96 73 89 86 整理分析数据： 成绩x（单位：分） 频数/人数 2 a b 4 （1）统计表中______， ______；并补全频数分布直方图； （2）根据上面统计结果估计该校初一年级1800人中，约有多少人成绩在80分及以上； （3）这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人作为优秀参赛者在年级学生大会上发言，利用树状图或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）4，10；补全频数分布直方图见解析 （2）估计约有1260人的成绩在80分及以上 （3）抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，频数分布直方图和频数分布表，用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）根据所给数据即可求出a、b的值，进而补全统计图即可； （2）用1800乘以样本中成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案； （3）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：18001260人， ∴估计约有1260人的成绩在80分及以上； 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数为8， ∴抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率． 20. 如图，在中，是的直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，． （1）求的长度； （2）延长到点，连接，使得．求证：是的切线． 【答案】（1）的长度为π （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的判定及三角函数的应用．证明直线是圆的切线常用的方法：（1）若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有公共点，连圆心，证垂直，（2）在已知条件中，未给出直线与圆有公共点时，那么就应从圆心向这条直线作垂线，再证明垂线段的长度与半径相等即可，即“无公共点，作垂直，证半径”． （1）先证明，得，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度， （2）由证明，进而可得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵是的直径，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的长度； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴即， ∴． 又∵为的半径， ∴是的切线 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）连接并延长，与反比例函数的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 【答案】（1），； （2）点D的坐标为，． 【解析】 【分析】（1）将点分别代入反比例函数和一次函数表达式中即可求出、的值； （2）分两种情况讨论：①当点落在轴的正半轴上时，判断出与不可能相似；②当点落在轴的负半轴上时，根据或及相似比列出等量关系式，求出即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ， 反比例函数的表达式为； 一次函数图象过点， ，解得， 一次函数的表达式为， ，． 【小问2详解】 解：点 B是与轴交点， 令，得， 点，即， 点C是直线与的交点， 点C的坐标为且， 当点D落在轴的正半轴上， 则， 与不可能相似； 当点D落在轴的负半轴上， 若， ，此时， ， 点， 若，则， ， 点， 综上所述：点D的坐标为，． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的表达式和相似三角形的判定和性质．解题的关键是根据相似三角形的性质进行分类讨论． 22. 如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中， ①当，，三点在同一直线上时，的长为 ； ②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长； （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，连接，如图②，此时，求的长． 【答案】（1）①或；②的长为或 （2） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键． （1）①分两种情况，由线段的和差关系求解即可； ②分两种情况，由勾股定理求解即可； （2）由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，利用“”证明，可得． 【小问1详解】 解：①由题意可得： 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段上时，， 综上所述，或， 故答案为：或； ②若为斜边时，则， 若为斜边时，则， 综上所述，或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由旋转可得：，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， 由为等腰直角三角形可得：，， ，即， ， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． （1）点与点互为“等和点”，求b的值； （2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； （3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点E在图象上，点F在图象上． ①若，点E与点F互为“等和点”且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标； ②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （2）将点代入函数解析式，得到，再根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （3）①设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；②设，，得到，设，，得到，根据在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 ∵点，点都在直线上，， ∵点C与点D互为“等和点”， ， 解得； 【小问3详解】 ① ， 设， 在中，令 ． ∵点E在图象上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1， ，且， ． ∵点E与点F互为“等和点”， ， 整理得，解得（舍去）． 当时， ； ②设，设． 随a的增大而增大， ． 设，设． 关于n的二次函数图象的对称轴为直线， ，图象开口向上，当时，在对称轴右侧，随n的增大而增大，当时，，当时， ． ∵在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”． ， 解得． 的范围为． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合应用，掌握“等和点”的定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$