7.1.2 第1课时 垂线-【名师学案】2024-2025学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版2024）

7.1.2 两条直线垂直 第1课时 垂线 珊知识储备出 3.【新课标·补充解题过程】如图，若CD⊥EF, 1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中， ∠1=∠2，则AB⊥EF,请说明理由（补全解 有一个角是 时，就说这两条直线互相垂 题过程). 直，其中的一条直线叫作另一条直线的 解：因为CD⊥EF, 它们的交点叫作 所以∠1= (垂直的 2.垂线的基本事实：在同一个平面内，过一点有且 定义) 只有 直线与已知直线垂直. 因为∠2=∠1（已知）， 所以∠2=∠1= A基础练 必备知识梳理一 所以AB EF(垂直的定义). 知识点一 垂直的定义 易错点○ 因考虑问题不全面而漏解 1.(1)如图，OA⊥OB,∠1=30°，则∠2=( 4.在直线AB上任取一点O,过点O作射线 A.30° B.45 C.60 D.70° OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时， ∠BOD的度数是 知识点二 垂线的画法 5.下列各图中，过直线1外一点P画1的垂线 B 第1(1)题图 第1(2)题图 CD,三角板操作正确的是 (2)【T1(1)变式·逆向思维】如图，点O在直 线AB上，过点O引射线OC,OD,若∠1= 36°，要使OC⊥OD,则∠2= ( 长x人 A.74 B.649 C.54 D.36 2.（教材P8习题T3改编) 一多变 6.【新情境·安装地暖】如图，一工人要安装地 (1)【改变图形求角度】如图，点O在直线AB 暖，点P为地暖开关的总阀，要从总阀引一条 上，OC⊥OD.若∠AOC=110°，则∠BOD等 管道PM,使之垂直于地暖管道AB,则管道 于 ( PM与地暖管道AB的接口M在 A.30 B.20° C.10 D.5 A.管道AB上 B B.管道AB的延长线上 130 C.管道AB的反向延长线上A 40° D.管道AB上下两侧 7.【教材P6练习T2变式】如图，已知∠AOB和 D 第2(1)题图 第2(2)题图 一点P,过点P画∠AOB两边的垂线 (2)【改变条件，判断关系】如图，直线AB,CD 相交于点O.如果∠EOD=40°，∠BOC= 130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 3 3 七年级数学·下册 知识点三垂线的性质 12.【教材P9习题T5变式】如图，直线AB,CD 8.【教材P9习题T8变式】如图，已知OM⊥1，ON 相交于点O,OM⊥AB. ⊥l,所以OM与ON重合，其理由是 ( (1)若∠1=∠2，求∠NOD的度数： A.两点确定一条直线 (2)若∠AOC=2∠1，求∠BOC的度数 M B.在同一平面内，过一点有 且只有一条直线与已知直 线垂直 C.在同一平面内，过一点只能作一条垂线 D.垂线段最短 B综合练 关键能力提升 9.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分 ∠BOC,OF⊥CD,若∠BOE=72°，则∠AOF 的度数为 ( C素养练 学科素养培有一 A.72 B.60 C.54° D.36 13.已知OA⊥OB,OC⊥OD (1)如图①，若∠BOC=40°，则∠AOD的度 太阳光 太阳能板 数是 ǒ (2)如图②，若∠BOC=50°，则∠AOD的度 第9题图 第10题图 数是 10.【新情境·太阳能板】当太阳光垂直照射在 (3)根据(1)(2)结果猜想∠AOD与∠BOC 太阳能板上时，吸收的太阳能最多.某时刻， 有怎样的关系？并根据图①说明理由； 太阳光如图照射，若要使吸收的太阳能最 (4)如图②，若∠BOC：∠AOD=7：29,则 ∠BOC= 多，则太阳能板绕点O逆时针至少旋 转」 11.如图，O是直线AB上一点，∠AOC ∠BOC=1:3. 图① 图② (1)求∠AOC的度数： (2)若OC平分∠AOD,试判断OD与AB 的位置关系 少解题妙招 过一点（点在已知线段上或线段外）画已知线 段的垂线，实质是过该点画已知线段所在直线的 垂线，垂足可能在线段上，也可能在线段的延长线 上，如T6. 助学助散优质高致七年级数学·下册 参考答案 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 知识储备 1.(1)边反向延长线(2)互补2.(1)顶点反向延长线(2)相等 基础练 1.D2.D3.(1)∠2∠5与∠AOD(2)∠AOD∠BOE4.A5.B 6.B7.解：(1)对顶角相等(2)测量∠COB的度数，∠AOB=180°-∠COB,理由 是邻补角互补.8.解：(1)因为∠1+∠2=180°，∠1=50°，所以∠2=180°-∠1= 130°；(2)因为∠2+∠1=180°，∠2=3∠1，所以3∠1+∠1=180°，解得∠1=45°.所 以∠1=∠3=45°，∠2=∠4=135°.9.B10.A11.8°12.解：(1)∠BOC, ∠AOD:(2)与∠EOA互为补角的角是∠EOB,∠COE.(3)因为∠AOC+∠BOC= 180°，∠AOC=42°，所以∠BOC=180°-∠AOC=138°.因为OE平分∠BOC,所以 ∠B0E=2∠B0C=69,所以∠A0E=180°-∠B0E=111.13.解：1)30 (2)OB是∠DOF的平分线，理由如下：因为∠AOE=30°，所以∠BOE=180° ∠A0E=150.因为OF平分∠B0E,所以∠B0F=克∠B0E=号×150°=75，因为 ∠BOD=180°-∠AOD=75°，所以∠BOD=∠BOF.即OB平分∠DOF.14.解： (1)2(2)6(3)12(4)若有(n≥2)条直线相交于一点，则有n(n-1)对对顶角. 7.1.2两条直线垂直 第1课时垂线 知识储备 1.直角垂线垂足2.一条 基础练 1.(1)C(2)C2.(1)B(2)OE⊥AB3.90°90°⊥4.60°或120°5.D6.B 7.解：画图略.8.B9.C10.3311.解：(1)因为∠AOC:∠BOC=1:3,∠AOC +∠B0C=180,所以∠A0C=×180°=45，(2)0DLAB.理由如下：因为0C平 分∠AOD,所以∠AOD=2∠AOC=90°，即OD⊥AB.12.解：(1)因为OM⊥AB,所 以∠AOM=90°=∠1+∠AOC.因为∠1=∠2，所以∠2+∠AOC=90°=∠CON.所 以∠DON=180°-∠CON=90°；(2)由(1)知∠1+∠AOC=90°，因为∠AOC=2∠1， 所以∠1+2∠1=90°.解得∠1=30°，所以∠AOC=60°.所以∠BOC=180°-∠AOC =120°.13.解：(1)140°(2)130°(3)∠AOD十∠BOC=180°.理由如下：设 ∠BOC=x,由(1)知∠AOC=90°-x,∠AOD=∠AOC+∠COD=90°-x+90°= 180°-x,所以∠AOD+∠BOC=180°-x+x=180°.(4)35 第2课时垂线段 知识储备 1.短2.垂线段 基础练 1.C2.垂线段最短3.C4.55.D6.B7.解：(1)8cm6cm(2)画垂线段 略点C到AB的垂线段的长是4.8cm.8.解：(1)连接AD,BC交于点H,则点H 为所求蓄水池的位置；(2)过点H作HR⊥EF于R,沿HR挖渠，可使开的渠最短. 理由是垂线段最短， 基础过关专题（一）相交线中角度的计算与说理 1.解：(1)∠EOF(答案不唯一)(2)∠AOC(答案不唯一)(3)对顶角相等160° (4)因为∠EOF+∠DOE=90°.∠BOD+∠DOE=90°，所以∠EOF=∠BOD.因为 ∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD=4∠EOF,所以4∠EOF+∠EOF=180°.即5 ∠EOF=180°.解得∠EOF=36°.2.解：(1)因为∠AOC=80°，∠BOD=∠AOC,所 以∠B0D=80.因为∠B0E:∠EB0D=3:5,所以∠E0B=80×冬=30，(2)因为 OF⊥OE,所以∠EOF=90°.当OF在∠AOD的内部时，∠BOF=∠EOF+∠BOE= 90°+30°=120°，当OF在∠BOC的内部时，∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-30°= 60°.综上所述，∠BOF=60°或120°.3.解：(1)155°(2)①OF是∠AOD的平分线， 理由如下：因为OF⊥OE,所以∠EOF=90°.所以∠BOE+∠AOF=∠DOE+ -180-