易错题必刷练（期中复习专练 31个易错知识点 共96题）-2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习培优训练【优等生培优版】

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习培优训练【优等生培优版】 易错题必刷练 （第16-19章 31个易错知识点 共96题） 同学你好，本套讲义结合课本教材内容编辑制作，结合近两年各地考察范围及重难点考点，贴合书本内容。资料考点均为重难点考查内容，讲练结合，精选近两年期中真题，模拟题等！避免无效刷题！解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点01：二次根式有意义的条件 2 易错知识点02：二次根式的性质与化简 4 易错知识点03：最简二次根式 6 易错知识点04：二次根式的乘除法 7 易错知识点05：分母有理化 9 易错知识点06：同类二次根式 10 易错知识点07：二次根式的加减法 11 易错知识点08：二次根式的混合运算 12 易错知识点09：二次根式的化简求值 14 易错知识点10：二次根式的应用 18 易错知识点11：直角三角形斜边上的中线 21 易错知识点12：勾股定理的证明 23 易错知识点13：勾股定理的逆定理 26 易错知识点14：勾股定理的应用 29 易错知识点15：三角形中位线定理 31 易错知识点16：平行四边形的性质 34 易错知识点17：平行四边形的判定与性质 37 易错知识点18：菱形的判定与性质 41 易错知识点19：矩形的判定与性质 47 易错知识点20：函数关系式 53 易错知识点21：函数自变量的取值范围 55 易错知识点22：函数值 55 易错知识点23：函数的图象 57 易错知识点24：动点问题的函数图象 60 易错知识点25：一次函数的性质 63 易错知识点26：待定系数法求一次函数解析式 66 易错知识点27：一次函数与一元一次方程 68 易错知识点28：一次函数与一元一次不等式 71 易错知识点29：一次函数与二元一次方程（组） 75 易错知识点30：一次函数的应用 77 易错知识点31：一次函数综合题 80 易错知识点01：二次根式有意义的条件 1．（2023春•皇姑区校级期中）使有意义的实数x的取值范围是（　　） A．x≤5 B．x≤5且x≠0 C．x＜5且x≠1 D．x≤5且x≠1 【思路引导】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【完整解答】解：由题意，得5﹣x≥0，x﹣1≠0， 解得x≤5且x≠1． 故选：D． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 2．（2024春•黄石期中）若x，y为实数，且y4，则　2　 ． 【思路引导】根据二次根式（a≥0）可得1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，从而可得x，进而可得y＝4，然后把x，y的值代入式子中进行计算，即可解答． 【完整解答】解：由题意得： 1﹣4x≥0且4x﹣1≥0， 解得：x且x， ∴x， ∴y＝4， ∴xy+34+3＝1+3＝4， ∴2， 故答案为：2． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键． 3．（2022春•新泰市期中）（1）一个正数的平方根是2a﹣3与5﹣a，求这个正数． （2）已知x、y都是实数，且，求yx的值． 【思路引导】（1）因为一个正数x的平方根有两个，且互为相反数，由此即可得到关于a方程，解方程即可得a的值，然后代入求x； （2）根据二次根式的被开方数是非负数，列出关于x的不等式组，然后解得x值，从而求得y值；最后将它们代入所求的代数式求值即可． 【完整解答】解：（1）设该正数为x．则由题可知2a﹣3+5﹣a＝0， 解得a＝﹣2， 所以2a﹣3＝﹣7， 所以x＝49，即所求的正数是49； （2）根据题意，得 ， 解得x＝3， ∴y＝4； ∴yx＝43＝64，即yx＝64． 【重点考点点拨】此题主要考查了平方根的性质，注意如果一个数的平方等于A，那么这个数就叫做A的平方根，也叫做A的二次方根．一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根． 易错知识点02：二次根式的性质与化简 4．（2024春•临沭县期中）若实数x满足|x﹣3|7，化简2|x+4|的结果是（　　） A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2 【思路引导】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果． 【完整解答】解：∵|x﹣3|7， ∴|x﹣3|+|x+4|＝7， ∴﹣4≤x≤3， ∴2|x+4| ＝2（x+4）﹣|2x﹣6| ＝2（x+4）﹣（6﹣2x） ＝4x+2， 故选：A． 【重点考点点拨】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握． 5．（2024春•阳谷县期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a﹣b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【思路引导】根据a＜0＜b，且|a|＞|b|解答即可． 【完整解答】解：∵a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴a＜0，a+b＜0， ∴|a| ＝|a|+|a+b| ＝﹣a﹣（a+b） ＝﹣2a﹣b． 故选：A． 【重点考点点拨】本题考查二次根式的性质与化简等，掌握数轴上数的特征及二次根式的性质是本题的关键． 6．（2024春•泰山区期中）下列各式中，计算正确的是（　　） A．±5 B．±7 C．3 D．3 【思路引导】AC．计算算术平方根； BD．计算平方根和立方根． 【完整解答】解：∵5，±±7，3，3， ∴ABC不正确，不符合题意；D正确，符合题意． 故选：D． 【重点考点点拨】本题考查二次根式的性质与化简等，掌握二次根式的性质是解题的关键． 7．（2024春•宣化区期中）|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：　2　 ，　π﹣3　 ； （2）若1﹣x，则x的取值范围为 　x≤﹣1　 ； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|． 【思路引导】（1）利用二次根式的性质化简． （2）先化简二次根式，再求范围． （3）先判断各式正负号，再化简． 【完整解答】解：（1）|﹣2|＝2，|3﹣π|＝π﹣3． ∴答案为：2，π﹣3． （2）∵|1+x|＝﹣1﹣x． ∴1+x≤0， ∴x≤﹣1． 故答案为：x≤﹣1． （3）由数轴得：a＜b＜0＜c． ∴c﹣a＞0，b﹣c＜0． ∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c| ＝﹣a﹣c+a﹣b+c ＝﹣b． 【重点考点点拨】本题考查二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是求解本题的关键． 8．（2022春•瑞金市期中）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如：|1|＝1． 解决问题： 化简下列各式： （1）； （2）． 【思路引导】（1）首先把被开方数拆项，再化为完全平方的形式，最后根据二次根式的性质化简； （2）首先把被开方数拆项，再化为完全平方的形式，最后根据二次根式的性质化简． 【完整解答】解：（1） ＝2； （2） 2． 【重点考点点拨】本题考查二次根式的性质与化简、完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质，把被开方数拆项，化为完全平方的形式是解题关键． 易错知识点03：最简二次根式 9．（2024春•香洲区校级期中）下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【完整解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、2，故B不符合题意； C、2，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 【重点考点点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 10．（2024春•上城区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据最简二次根式的定义判断即可． 【完整解答】解：根据最简二次根式的定义，、和均不是最简二次根式，是最简二次根式， ∴ABD不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【重点考点点拨】本题考查最简二次根式，掌握其定义是本题的关键． 11．（2024春•新会区校级期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝　8　 ． 【思路引导】根据最简二次根式的定义可得n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，从而可得n＝3，m＝5，然后代入式子中，进行计算即可解答． 【完整解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式相等， ∴n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m， 解得：n＝3，m＝5， ∴m+n＝8， 故答案为：8． 【重点考点点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 易错知识点04：二次根式的乘除法 12．（2023春•铁锋区期中）已知1＜p＜2，化简（）2＝（　　） A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p 【思路引导】根据二次根式的性质进行化简即可． 【完整解答】解：∵1＜p＜2， ∴1﹣p＜0，2﹣p＞0， ∴原式＝|1﹣p|+2﹣p ＝p﹣1+2﹣p ＝1． 故选：A． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质． 13．（2022春•芝罘区期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】先根据ab＞0，a+b＜0得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可． 【完整解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0． ∴，无意义，①错误； ，②正确； ，③正确； ，④错误； 正确的有2个， 故选：B． 【重点考点点拨】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（2022春•广饶县期中）能使等式成立的x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2 【思路引导】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【完整解答】解：由题意得： ， 解得：x≥2， 故选：D． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，分式的乘除法，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 易错知识点05：分母有理化 15．（2024春•上杭县期中）已知：a，b，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【思路引导】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项． 【完整解答】解：分母有理化，可得a＝2，b＝2， ∴a﹣b＝（2）﹣（2）＝2，故A选项错误； a+b＝（2）+（2）＝4，故B选项错误； ab＝（2）×（2）＝4﹣3＝1，故C选项正确； ∵a2＝（2）2＝4+43＝7+4，b2＝（2）2＝4﹣43＝7﹣4， ∴a2≠b2，故D选项错误； 故选：C． 【重点考点点拨】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 16．（2023春•颍州区校级期中）若两个代数式M与N满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 　　 ． 【思路引导】根据满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式，列出式子，再分母有理化． 【完整解答】解：∵M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式“， ∴的“互为友好因式”：， 故答案为：． 【重点考点点拨】本题主要考查分母有理化，掌握分母有理化的方法，理解题意是解题关键． 17．（2023春•福清市期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：0），（a≥0，b＞0），那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅： （1）举些例子比较与（a≥0，b≥0）的大小，并提出猜想；（至少举3例，举例要全面哦） （2）利用学过的知识证明你的猜想． 【思路引导】（1）根据题意列举出三个具体数据的实例进行计算得出结论； （2）利用两个非负数平方的大小，来比较这两个非负数的大小的方法进行证明即可． 【完整解答】解：（1）例如：①1，而， ∴； ②，而， ∴； ③3.65，而，23， ∴； …… ∴； （2）∵（）2＝a+b+2，（）2＝a+b，而20， ∴． 【重点考点点拨】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提． 易错知识点06：同类二次根式 18．（2024春•岱岳区期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据同类二次根式的定义即可求解． 【完整解答】解：A．，与不是同类二次根式，不符合题意； B．与不是同类二次根式，不符合题意； C．，与是同类二次根式，符合题意； D．，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：C． 【重点考点点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． （多选）19．（2024春•高密市期中）若二次根式与可以合并，则m可以是（　　） A．13 B．22 C．58 D．64 【思路引导】根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式，即可解答． 【完整解答】解：， 当m＝13时，，故选项A符合题意； 当m＝22时，，故选项B符合题意； 当m＝58时，，故选项C符合题意； 当m＝64时，，故选项D不符合题意； 故选：ABC． 【重点考点点拨】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 20．（2023春•休宁县期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝　2　 ． 【思路引导】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【完整解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴﹣2m+9＝5m﹣5， 解得m＝2， 故答案为：2． 【重点考点点拨】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键． 易错知识点07：二次根式的加减法 21．（2024春•安次区校级期中）若，则a和b的值不可能是（　　） A．a＝2，b＝2 B．， C．a＝0，b＝8 D．a＝4，b＝2 【思路引导】根据二次根式的运算法则计算即可得到结论． 【完整解答】解：A．当a＝2，b＝2时，，故选项不符合题意； B．当，时，，故选项不符合题意； C．当a＝0，b＝8时，，故选项不符合题意； D．当a＝4，b＝2时，，故选项符合题意． 故选：D． 【重点考点点拨】此题考查了二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的加减法则． 22．（2023春•阿荣旗校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（　　） A．2a B．2b C．﹣2a D．2 【思路引导】先把二次根式的化简写成绝对值的形式，再根据绝对值的性质进行化简，去括号计算． 【完整解答】解：∵ ＝|a﹣b|+|b|﹣a ＝b﹣ab﹣a ＝﹣2a； 故选：C． 【重点考点点拨】本题考查二次根式的加减法、实数与数轴、二次根式的性质与化简，熟练利用数轴点的位置判断（a﹣b）、（b）的符号，用绝对值的性质化简是解题关键． 23．（2022春•万年县校级期中）阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程． 化简：a2• 解：原式＝aa2••a＝aaa＝a． 【思路引导】结合题意，由二次根式的性质可知，a＜0，所以，，． 【完整解答】解：错误，正确的是： 由二次根式的性质可知，a＜0，所以，，， 则原式＝﹣aa2•（）﹣a＝﹣a． 【重点考点点拨】注意：当a＜0时，． 易错知识点08：二次根式的混合运算 24．（2024春•怀宁县期中）下列计算正确的有（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【完整解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、2，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、2，故D符合题意； 故选：D． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25．（2024春•西城区校级期中）（1）； （2）3； （3）； （4）． 【思路引导】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （3）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （4）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【完整解答】解：（1） ＝34 ＝0； （2）3 32 ＝2； （3） 2 ＝6+42 ＝6+2； （4） ＝5﹣2 ＝5﹣2﹣2 ＝1． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 26．（2024春•息县期中）计算： （1）4； （2）（）2﹣（2）（2）． 【思路引导】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【完整解答】解：（1）4 ＝4 ＝4； （2）（）2﹣（2）（2） ＝3+22﹣4+5 ＝6+2． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 易错知识点09：二次根式的化简求值 27．（2024春•香洲区校级期中）观察下列各式： 1，，1； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想1　1　 ； （2）归纳：根据猜想写出一个用n（n表示正整数）表示的等式； （3）应用计算：； （4）拓展应用：化简下列式子； ． 【思路引导】（1）根据题目中式子的特点进行求解； （2）根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律； （3）将式子算：改写为，运用规律进行求解； （4）运用规律对算式进行改写、计算． 【完整解答】解：（1）∵1， ， 1， …… ∴11， 故答案为：1； （2））∵1， ， 1， …… 11， 即1； （3）由（2）题结论可得， ＝1 ＝1； （4）由（2）题结论可得， ＝（1）+（1）+（1）+……+（1） ＝1×2019+（） ＝2019+（1） ＝2019+（1） ＝2019 ＝2019． 【重点考点点拨】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 28．（2024春•莱州市期中）阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵5﹣x﹣2+x＝3， ∵， ∴， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． （1）求的值； （2）求x的值． 【思路引导】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得25，从而可得2.5，进而可得9+x＝6.25，然后进行计算即可解答． 【完整解答】解：（1）∵（）（）＝（）2﹣（）2＝9+x﹣3﹣x＝6， ∵， ∴2， ∴的值为2； （2）由（1）得：2，3， ∴25， ∴2.5， ∴9+x＝6.25， ∴x＝﹣2.75， ∴x的值为﹣2.75． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．（2024秋•浦东新区校级期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和的大小可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为所以． 再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，　　 ； （2）比较和的大小； （3）式子的最小值是 　1　 ． 【思路引导】（1）根据材料，从数字找规律即可解答； （2）利用材料中分子有理化例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）先根据题意得：1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0，从而可得：0≤x≤1，然后根据利用材料中求最大值例题的解题思路进行计算，即可解答． 【完整解答】解：（1）， 故答案为：； （2） ， 2 ， ∵3，2， ∴34＞2， ∴， ∴34＜2； （3）由题意得：1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0， 解得：0≤x≤1， ， 当x＝1时，有最大值，则有最小值，且最小值1，此时有最小值为0， ∴y的最小值＝011， 故答案为：1． 【重点考点点拨】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，平方差公式，二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 易错知识点10：二次根式的应用 30．（2024春•颍州区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7． （1）求△ABC的面积； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长． 【思路引导】（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦﹣﹣秦九韶公式计算△ABC的面积； （2）利用面积法求AD的长． 【完整解答】解：（1）∵a＝8，b＝5，c＝7， ∴p10． ∴△ABC的面积S10； （2）如图，∵△ABC的面积BC•AD， ∴8×AD＝10， ∴AD． 【重点考点点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．也考查了阅读理解能力． 31．（2024春•涧西区期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B． （1）图①截出的正方形木板A的边长为 　　 dm，B的边长为 　　 dm； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【思路引导】（1）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行求解； （2）运用长方形的面积公式和二次根式知识进行求解； （3）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行计算、辨别、求解； 【完整解答】解：（1）∵，， ∴正方形木板A的边长为2dm，B的边长为3dm， 故答案为：2，3； （2）根据题意得， 2（32） ＝2 ＝6（dm2）， ∴图①中阴影部分的面积是6dm2； （3）不能截出，理由如下： ∵52＝25， ∴面积为 25dm2 的两个正方形木板的边长均为5dm， ∴， ∴不能在长方形木板②上截出面积为 25dm2 的两个正方形木板． 【重点考点点拨】此题考查了图形面积和二次根式计算的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、求解． 32．（2023秋•凌海市期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t（不考虑风速的影响） （1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s； （2）t2是t1的多少倍？ （3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 【思路引导】（1）将h＝50代入t1进行计算即可；将h＝100代入t2进行计算即可； （2）计算t2与t1的比值即可得出结论； （3）将t＝1.5代入公式t进行计算即可． 【完整解答】解：（1）当h＝50时，t1（秒）； 当h＝100时，t22（秒）； （2）∵， ∴t2是t1的倍． （3）∵t， ∴h＝5t2， ∴当t＝1.5时，h＝5×1.52＝11.25， ∴下落的高度是11.25米． 【重点考点点拨】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 易错知识点11：直角三角形斜边上的中线 33．（2024春•老城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【思路引导】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝AD＝BD＝3，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得ED⊥AD，从而在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【完整解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BDAB＝3， ∵AE＝BE＝7， ∴ED⊥AD， 在Rt△ADE中，DE2， 故选：B． 【重点考点点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 34．（2024春•凉州区期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠ACD＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【思路引导】利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝ADAB，然后利用等腰三角形的性质即可解答． 【完整解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝ADAB， ∴∠A＝∠ACD＝20°， 故选：B． 【重点考点点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 35．（2023春•张店区校级期中）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由． 【思路引导】（1）连接AE，EC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CEBD，AEBD，从而可得AE＝CE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝DE，AE＝DE，从而可得∠ECD＝∠CDE，∠EAD＝∠ADE，然后利用三角形的外角性质可得∠AEC＝2∠ADC＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得EFAC，即可解答． 【完整解答】解：（1）EF⊥AC， 理由：连接AE，EC， ∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴CEBD， ∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴AEBD， ∴AE＝CE， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC； （2）EFAC， 理由：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点， ∴CE＝DEBD， ∴∠ECD＝∠CDE， ∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴AE＝DEBD， ∴∠EAD＝∠ADE， ∵∠ADC＝45°， ∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC ＝∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC ＝2∠ADE+2∠CDE ＝2（∠ADE+∠CDE） ＝2∠ADC ＝90°， ∵点F是AC的中点， ∴EFAC． 【重点考点点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 易错知识点12：勾股定理的证明 36．（2023春•海淀区校级期中）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　） A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【思路引导】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案． 【完整解答】解：标记如下： ∵S正方形PQMN＝S正方形ABCD﹣4SRt△ABN， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4 ＝a2﹣2ab+b2． 故选：C． 【重点考点点拨】此题考查的是勾股定理的证明，掌握面积差得算式是解决此题关键． 37．（2024春•无为市期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明．如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（　　） A．a2+b2+4ab B． C． D． 【思路引导】分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【完整解答】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：c2， ∴， 故选：B． 【重点考点点拨】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合． 38．（2024春•潜山市期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【思路引导】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积． 【完整解答】解：∵S正方形ABCD＝24， ∴AB2＝24， 设DH＝x， 则AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝24， ∴， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN， ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： ＝2x2 ＝4.8． 故选：C． 【重点考点点拨】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题． 易错知识点13：勾股定理的逆定理 39．（2024春•潢川县期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【思路引导】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，进行计算即可解答． 【完整解答】解：A、∵b2＝c2﹣a2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵a：b：c＝5：12：13， ∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，c2＝（13k）2＝169k2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵∠C＝∠A﹣∠B， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【重点考点点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键． 40．（2024秋•桓台县期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 【思路引导】连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答． 【完整解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC15（m）， ∵CD＝8m，AD＝17m， ∴AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积 AB•BCAC•CD 9×1215×8 ＝54+60 ＝114（m2）， ∴这块菜地的面积为114m2， 故选：B． 【重点考点点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 41．（2024春•高安市期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 【思路引导】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，分两种情形①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题． 【完整解答】解：（1）是． 理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2+NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x， ①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2， 即（18﹣x）2＝x2+36， 解得x＝8； ②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2． 即x2＝36+（18﹣x）2， 解得x＝10， 综上所述，BN＝8或10． 【重点考点点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型． 易错知识点14：勾股定理的应用 42．（2024春•鹤山市期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 【思路引导】设AC的长为x，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解． 【完整解答】解：由题意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：A． 【重点考点点拨】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键． 43．（2024春•荔湾区校级期中）位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？ 【思路引导】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB＝15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD＝6，再根据AD＝AB﹣BD的出结果． 【完整解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m， ∴AB15（m）， ∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置， ∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m）， ∴BD6（m）， ∴AD＝AB﹣BD＝9（m）． 答：此时游船移动的距离AD的长是9m． 【重点考点点拨】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 44．（2022秋•建邺区校级期中）如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？ 【思路引导】要求树的高度，就要求BD的高度，在直角三角形ACD中运用勾股定理可以列出方程式，CD2+AC2＝AD2，其中CD＝CB+BD． 【完整解答】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD 而从B点到A点经过路程（20+10）m＝30m， 根据路程相同列出方程x30， 可得30﹣x， 两边平方得：（10+x）2+400＝（30﹣x）2， 整理得：80x＝400， 解得：x＝5， 所以这棵树的高度为10+5＝15m． 故答案为：15m． 【重点考点点拨】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理． 易错知识点15：三角形中位线定理 45．（2024春•黄石期中）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为　1　 ． 【思路引导】先证明△AGF≌△ACF，则AG＝AC＝6，GF＝CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解． 【完整解答】解：∵AD平分∠ABC，CG⊥AD，∴∠GAF＝∠CAF，∠AFG＝∠AFC 在△AGF和△ACF中， ， ∴△AGF≌△ACF（ASA）， ∴AG＝AC＝6，GF＝CF， 则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2． 又∵BE＝CE， ∴EF是△BCG的中位线， ∴EFBG＝1． 故答案为：1． 【重点考点点拨】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 46．（2022春•林州市期中）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　5　 ． 【思路引导】先作辅助线，再根据三角形全等的性质得出BP＝DB，再利用三角形中位线定理求解． 【完整解答】解：延长BP与AC相交于D， 因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP 所以△ABP≌△APD（ASA）， 于是AB＝AD＝12，BP＝PD 又∵M是BC边的中点 故PM∥AC 所以PM＝DC10＝5 故MP的长为5． 故答案为5． 【重点考点点拨】本题考查的是三角形的中位线定理及角平分线的性质，解答此题的关键是延长BP与AC相交于D，构造出全等三角形解决问题． 47．（2024春•钱塘区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点． （1）求证：FG＝FH； （2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH； （3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 【思路引导】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF，FH∥EC，FH，从而得到FG＝FH； （2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH； （3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数． 【完整解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴BD＝EC， ∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点， ∴FG∥BD，GF， FH∥EC，FH， ∴FG＝FH； （2）证明：由（1）FG∥BD， 又∵∠A＝90°， ∴FG⊥AC， ∵FH∥EC， ∴FG⊥FH； （3）解：延长FG交AC于点K， ∵FG∥BD，∠A＝80°， ∴∠FKC＝∠A＝80°， ∵FH∥EC， ∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°． 【重点考点点拨】本题是几何问题，考查了三角形中位线的有关性质，解答时应根据题意找到相应三角形的中位线． 易错知识点16：平行四边形的性质 48．（2024春•衡山县期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】利用平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE＝BEBC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°， ∵ABBC， ∴AE＝BEBC， ∴AE＝CE，故①正确； ∴∠EAC＝∠ACE＝30° ∴∠BAC＝90°， ∴S△ABCAB•AC，故②错误； ∵BE＝EC， ∴E为BC中点， ∴S△ABE＝S△ACE，故③错误； ∵OA＝OC，AE＝EC， ∴OE⊥AC，故④正确； 故正确的个数为2个， 故选：B． 【重点考点点拨】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键． 49．（2024春•望奎县期中）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是　（10，6）　 ． 【思路引导】利用平行四边形的性质即可得到点B的坐标． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝BC，OA∥BC， ∵A（8，0）， ∴OA＝BC＝8， ∵C（2，6）， ∴B（10，6）， 故答案为：（10，6） 【重点考点点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 50．（2024春•福田区校级期中）如图，在▱ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AE＝CF． （2）若AD＝5，，EF＝2，求AC的长． 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF即可； （2）在Rt△ADF和Rt△CDF中，利用勾股定理可得AD2﹣AF2＝CD2﹣CF2，代入已知解答即可． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵， ∴CD， ∵DF⊥AC， ∴∠AFD＝∠CFD＝90°， ∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF＝x， ∵EF＝2， ∴AF＝2+x， Rt△ADF和Rt△CDF中，根据勾股定理得： AD2﹣AF2＝CD2﹣CF2， 即52﹣（2+x）2＝（）2﹣x2， 解得x＝2， ∴AE＝CF＝2， ∴AC＝AE+EF+CF＝2+2+2＝6． 【重点考点点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 易错知识点17：平行四边形的判定与性质 51．（2024春•斗门区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　秒或8秒　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【思路引导】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【完整解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 当5＜t时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm， ∴10﹣t＝30﹣4t， 解得：t； 当t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm， ∴10﹣t＝4t﹣30， 解得：t＝8． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 故答案为：秒或8秒． 【重点考点点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清Q在BC上往返运动情况是解决此题的关键． 52．（2022春•海淀区校级期中）如图，▱ABCD的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是▱ABCD四条边上不重合的点．下列条件能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 　①②　 （填序号）． ①AQ＝CN，AM＝CP； ②MP，NQ均经过点O； ③NQ经过点O，AQ＝CN． 【思路引导】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①可以，即可得出结论． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ①∵AQ＝CN，AM＝CP， ∴DQ＝BN，BM＝DP， ∴△AMQ≌△CPN（SAS），△BMN≌△DPQ（SAS）， ∴MQ＝NP，MN＝PQ， 则四边形MNPQ是平行四边形； 故①能判定四边形MNPQ是平行四边形； ②∵▱ABCD的对角线交于点O，MP，NQ均经过点O， ∴OQ＝ON，OP＝OM， 则四边形MNPQ是平行四边形； 故②能判定四边形MNPQ是平行四边形； ③NQ经过点O，AQ＝CN．M，P的位置未知， 故③不能判定四边形MNPQ是平行四边形； 综上所述：能判定四边形MNPQ是平行四边形的有①②． 故答案为：①②． 【重点考点点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 53．（2023春•南海区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　6　 ； （2）当t＝　8　 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 【思路引导】（1）根据题意可得BP＝2t，进而可得结果； （2）根据∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF＝AB＝4，得DF＝4，进而可得t的值； （3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可； （4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上，点P到AB边的距离为8，但点P到AB、BC边的距离都小于8，进而可得当t＝2s或t＝3s或t时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 【完整解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6， 故答案为：6； （2）作∠B的角平分线交AD于F， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBC， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝4， ∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4， ∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16， ∴2t＝16，解得t＝8． ∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上； 故答案为：8； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点P在BC上运动时， S△ABPBP×AB2t×4＝4t；（0＜t＜4）； ②当点P在CD上运动时， S△ABPAB×BC4×8＝16；（4≤t≤6）； ③当点P在AD上运动时， S△ABPAB×AP4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）； （4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动， 根据题意分情况讨论： ①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等， ∴点P到AD边的距离为4， ∴点P到AB边的距离也为4， 即BP＝4， ∴2t＝4，解得t＝2s； ②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4， ∴点P到DE边的距离也为4， ∴PE＝DE＝5， ∴PC＝PE﹣CE＝2， ∴8﹣2t＝2，解得t＝3s； ③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H， 点P到DE、BE边的距离相等， 即PC＝PH， ∵PC＝2t﹣8， ∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE， ∴3×45×PH3×PC， ∴12＝8PH， ∴12＝8（2t﹣8）， 解得t． 综上所述：t＝2或t＝3或t时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 【重点考点点拨】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 易错知识点18：菱形的判定与性质 54．（2022春•上杭县期中）如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是　①③④　 （将正确结论的序号填空）． 【思路引导】过E作EM∥BC交AB于M，得出平行四边形EMBG，推出BG＝EM，求出∠4＝∠7，得出CE＝CF，证△CAE≌△MAE，推出CE＝EM，即可得出答案． 【完整解答】解：如图，连接EH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠B+∠4＝90°， ∴∠3＝∠B，故①正确； ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠1+∠AFC＝90°，∠2+∠AED＝90°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠1＝∠2， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠AFC， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形，故②错误； ∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC， ∴FH＝FC， 在Rt△CAF和Rt△HAF中， ， ∴Rt△CAF≌Rt△HAF（HL）， ∴AC＝AH， 在△CAE和△HAE中， ， ∴△CAE≌△HAE（SAS）， ∴∠3＝∠AHE，CE＝EH， ∵∠3＝∠B， ∴∠AHE＝∠B， ∴EH∥BC， ∵CD⊥AB，FH⊥AB， ∴CD∥FH， ∴四边形CEFH是平行四边形， ∴CE＝FH， ∴CD＝CE+DE＝FH+DE，故③正确； ∵EG∥AB，EH∥BC， ∴四边形EHBG是平行四边形， ∴EH＝BG， ∵CE＝EH， ∴BG＝CE．故④正确． 所以正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【重点考点点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度． 55．（2024春•肥城市期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AB＝3，∠ABE＝120°，求DE的长． 【思路引导】（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AO＝CO，再利用平行线的性质可得∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO，从而利用AAS证明△ADO≌△CBO，进而可得DO＝BO，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形ABCD是菱形，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得∠DBC＝60°，再利用菱形的性质可得BC＝CD＝AB＝3，从而可得△BCD是等边三角形，进而可得BD＝BC＝3，然后利用垂直定义可得∠BDE＝90°，从而可得∠E＝30°，进而可得BE＝2BD＝6，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【完整解答】解：（1）四边形ABCD是菱形， 理由：∵AB＝BC，BO平分∠ABC， ∴AO＝CO， ∵AD∥BE， ∴∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO， ∴△ADO≌△CBO（AAS）， ∴DO＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵BO平分∠ABC，∠ABE＝120°， ∴∠DBC∠ABE＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝3， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝3， ∵BD⊥DE， ∴∠BDE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠DBC＝30°， ∴BE＝2BD＝6， ∴DE3， ∴DE的长为3． 【重点考点点拨】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 56．（2022春•集美区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a+4，3）． （1）若a，求证：四边形OABC是菱形． （2）若a＝2，线段OB上是否存在点G（m，n），且m﹣2n＝0，使得△OCG为等腰三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路引导】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，则AE＝3，由a，则A（，3），B（4，3），由于yA＝yB，得到AB∥OC，推出四边形OABC是平行四边形，根据勾股定理得到OE4，于是得到四边形OABC是菱形； （2）设直线OB的解析式为y＝kx，得到线段OB解析式为yx．求得B（6，3），若线段OB上存在点G（m，n），且m﹣2n＝0，nm，使得△OCG为等腰三角形，则可分为下列三种情形进行讨论：①当OG＝GC时，②当OG＝OC＝4时，③当GC＝OC＝4时，于是得到结论． 【完整解答】（1）证明：过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，则AE＝3， 又∵C（4，0） ∴OC＝4， 若a，则A（，3），B（4，3）， ∵yA＝yB， ∴AB∥OC， ∵AB＝4，OC＝4， ∴AB＝OC， ∴四边形OABC是平行四边形， ∵∠AEO＝90°，AE＝3，OA4， ∴OA＝AB， ∴四边形OABC是菱形； （2）解：若a＝2，则A（2，3），B（6，3）， 设直线OB的解析式为y＝kx，代入得， ∴k， ∴线段OB解析式为yx． 若线段OB上存在点G（m，n），且m﹣2n＝0，nm，使得△OCG为等腰三角形，则可分为下列三种情形进行讨论： ①当OG＝GC时，如图1，点G在OC的垂直平分线上， 则有m＝2， ∴此时G（2，1）在线段OB上， ②当OG＝OC＝4时， 如图2，过点G作GF⊥x轴于点F， 则∠AFG＝90°，m2+（m）2＝42， ∴x6， ∴G（，）在线段OB上， ③当GC＝OC＝4时， 如图3，过点G作GH⊥x轴于点H， 则∠GHO＝90°，（m﹣4）2+（m）2＝42， ∴x6， ∴此时点G不在线段OB上． 综上所述，符合条件的点G的坐标为（2，1）或（，）． 【重点考点点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 易错知识点19：矩形的判定与性质 57．（2024春•费县期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　） A．5 B．4 C． D．3 【思路引导】连接AP，先根据勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，从而可得∠BAC＝90°，再根据垂直定义可得∠PEA＝∠PFA＝90°，从而可得四边形AEPF是矩形，然后利用矩形的性质可得AP＝EF，从而可得当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，最后利用面积法进行计算，可求出AP的长，即可解答． 【完整解答】解：连接AP， ∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠PEA＝∠PFA＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴AP＝EF， ∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值， ∵△ABC的面积BC•APAB•AC， ∴BC•AP＝AB•AC， ∴10AP＝6×8， ∴AP， ∴AP＝EF， ∴EF的最小值为， 故选：C． 【重点考点点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握矩形的判定与性质，以及垂线段最短是解题的关键． 58．（2024春•西城区校级期中）下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点． 求证：CDAB 方法一 证明：如图，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE、BE． 方法二 证明：如图，取BC的中点E，连接DE． 【思路引导】方法一：延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE、BE，根据线段中点的定义可得AD＝BD，从而可得四边形ACBE是平行四边形，进而可得四边形ACBE是矩形，然后利用矩形的性质可得AB＝CE，从而可得CDAB，即可解答； 方法二：取BC的中点E，连接DE，从而可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DE∥AC，从而可得∠DEB＝∠ACB＝90°，进而可得DE是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得CD＝DB，从而可得CDAB，即可解答． 【完整解答】解：方法一：如图，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE、BE， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形ACBE是矩形， ∴AB＝CE， ∵CD＝DECE， ∴CDAB； 方法二：如图，取BC的中点E，连接DE， ∵点D是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∴∠DEB＝∠ACB＝90°， ∴DE是BC的垂直平分线， ∴CD＝DB， ∵AD＝BDAB， ∴CDAB． 【重点考点点拨】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键． 59．（2022春•桂平市期中）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积． 【思路引导】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB＝90°，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形； （2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BGAB＝3，AG＝3CE，BFBC＝2，CF＝2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积． 【完整解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC， ∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC， ∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）＝90°， 即∠AGB＝90°， 同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG， ∴四边形EFGH是矩形； （2）依题意得，∠BAG∠BAD＝30°， ∵AB＝6， ∴BGAB＝3，AG＝3CE， ∵BC＝4，∠BCF∠BCD＝30°， ∴BFBC＝2，CF＝2， ∴EF＝32，GF＝3﹣2＝1， ∴矩形EFGH的面积＝EF×GF． 【重点考点点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 60．（2024春•东城区校级期中）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 【思路引导】方法一：延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD，根据三角形中线的定义可得AO＝CO，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得AC＝BD，从而可得BOAC，即可解答； 方法二：取BC的中点D，连接OD，再结合已知可得DO是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DO∥AB，从而可得∠ODC＝∠ABC＝90°，进而可得OD是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得OB＝OC，从而可得BOAC，即可解答． 【完整解答】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD， ∵BO是斜边AC的中线， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵BO＝DOBD， ∴BOAC； 方法二：如图，取BC的中点D，连接OD， ∵点O是AC的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°， ∴OD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AO＝COAC， ∴BOAC． 【重点考点点拨】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关 易错知识点20：函数关系式 61．（2024春•东明县期中）小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了x本作业本，剩余费用为y元，则y与x的函数关系式为 　y＝100﹣1.5x　 ． 【思路引导】根据剩余费用＝总金额﹣单价×数量解答即可． 【完整解答】解：由题意，得 y＝100﹣1.5x． 故答案为：y＝100﹣1.5x． 【重点考点点拨】本题考查了函数关系式．能够正确利用剩余费用＝总金额﹣单价×数量列出关系式是解题的关键． 62．（2024春•杨浦区期中）某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了x（3＜x≤15）千米，则乘车费用y（元）关于里程数x（千米）的函数解析式为 　y＝2.5x+6.5（3＜x≤15）　 ． 【思路引导】当3＜x≤15时，根据“乘车费用＝起步价+超过3千米部分的付费”解答即可． 【完整解答】解：∵3＜x≤15， ∴y＝14+2.5（x﹣3）＝2.5x+6.5， ∴y与x的函数解析式为y＝2.5x+6.5（3＜x≤15）． 故答案为：y＝2.5x+6.5（3＜x≤15）． 【重点考点点拨】本题考查函数关系式，理解题意并得到“乘车费用＝起步价+超过3千米部分的付费”是解题的关键． 63．（2021春•青龙县期中）在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：（假设都在弹性限度内） 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （1）由表格知，弹簧原长为　12　 cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长　0.5　 cm． （2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式． （3）预测当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少？ （4）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量． 【思路引导】（1）由表格可得弹簧原长以及所挂物体每增加1kg弹簧伸长的长度； （2）由（1）中结论可求出弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式． （3）令x＝10时，求出y的值即可． （4）令y＝20时，求出x的值即可． 【完整解答】解：（1）由表可知：弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm， 故答案为：12，0.5； （2）弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12， （3）当x＝10kg时，代入y＝0.5x+12， 解得y＝17cm， 即弹簧总长为17cm． （4）当y＝20kg时，代入y＝0.5x+12， 解得x＝16， 即所挂物体的质量为16kg． 【重点考点点拨】本题考查了函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式． 易错知识点21：函数自变量的取值范围 64．（2023春•南溪区校级期中）函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠4 B．x≥0 C．x＞0且x≠4 D．x≥0且x≠4 【思路引导】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【完整解答】解：由题意得：x≥0且x﹣4≠0， 解得：x≥0且x≠4， 故选：D． 【重点考点点拨】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 65．（2024春•长沙期中）函数中自变量x的取值范围是 　x≥1　 ． 【思路引导】根据二次根式（a≥0）可得x﹣1≥0，r然后进行计算即可解答． 【完整解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1， 故答案为：x≥1． 【重点考点点拨】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键． 66．（2024春•威海期中）若函数在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥4　 ． 【思路引导】根据二次根式（a≥0）以及分母不为0可得x﹣4≥0且x﹣3≠0，然后进行计算即可解答． 【完整解答】解：由题意得：x﹣4≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥4且x≠3， ∴x≥4， 故答案为：x≥4． 【重点考点点拨】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式（a≥0）以及分母不为0是解题的关键． 易错知识点22：函数值 67．（2024春•晋江市期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是8和1时，输出的y值相等，则b等于（　　） A．5 B．﹣10 C．7 D．3和4 【思路引导】分别将x的值代入对应函数，令这两个函数值相等，求出b的值即可． 【完整解答】解：当x＝8时，y＝﹣8；当x＝1时，y＝2+b， 根据题意，得2+b＝﹣8， 解得b＝﹣10． 故选：B． 【重点考点点拨】本题考查函数值，根据自变量的取值范围代入自变量的值求函数值是解题的关键． 68．（2022春•重庆期中）按如图所示的运算程序，若输入x，则输出的y值为（　　） A．0 B．2+3 C．25 D．以上都不对 【思路引导】根据题意可得：把x代入y＝2x﹣5中，进行计算即可解答． 【完整解答】解：由题意得： 把x代入y＝2x﹣5中得：y＝25， ∴输出的y值为25， 故选：C． 【重点考点点拨】本题考查了函数值，理解图中的运算程序是解题的关键． 69．（2023春•高邑县期中）在国内某快递公司的资费如下表： 货物质量x（克） 0＜x⩽20 20＜x⩽40 40＜x⩽60 快递费y（元） 0.8 1.6 2.4 （1）y是x的函数吗？为什么？ （2）分别求当x＝5，10，35，50，时的函数值． 【思路引导】（1）根据函数的定义判断即可； （2）根据x的不同的取值范围对应的函数值解答即可． 【完整解答】解：（1）y是x的函数．理由如下： ∵对于任何一个x的值，都有唯一一个确定的y值与之相对应， ∴y是x的函数． （2）当x＝5时，y＝0.8； 当x＝10时，y＝0.8； 当x＝35时，y＝1.6； 当x＝50时，y＝2.4． 【重点考点点拨】本题考查函数值及函数的概念，理解并掌握函数的定义是解题的关键． 易错知识点23：函数的图象 70．（2024春•德城区校级期中）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【思路引导】依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解． 【完整解答】解：由题意，结合图象可得，他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故A错误；王老师从家出发10分钟后开始用早餐，花了：20﹣10＝10（分钟），故B正确；王老师用早餐前步行的速度是：500÷10＝50（米/分），用完早餐以后的速度是：（1000﹣500）÷（25﹣20）＝100（米/分），故C、D正确． 综上，A错误． 故选：A． 【重点考点点拨】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 71．（2023秋•驿城区期中）如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度h与注水时间t之间关系的图象的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢． 【完整解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢， 故选：C． 【重点考点点拨】本题主要考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 72．（2024春•晋江市期中）如图①，将南北向的海八路与东西向的北环路看成两条互相垂直的直线，十字路口记作点A．甲从海八路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北环路步行向东匀速直行．设出发x（min）时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1（m）、y2（m）．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示． （1）求甲、乙两人的速度； （2）求y1与x之间的函数关系； （3）当y1＝y2时，求甲、乙两人之间的距离． 【思路引导】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解； （2）甲到达点A的时间为：1200÷240＝5min，则当0≤x≤5时，y1＝1200﹣240x，当＞5时，y1＝240x﹣1200； （3）分别求出当y1＝y2是y的值，再根据勾股定理可求出两点间的距离． 【完整解答】解：（1）设甲、乙两人的速度分别为a m/min，b m/min， 依题意得：， 解得：， 答：甲、乙两人的速度分别为240m/min、80m/min． （2）甲到达点A的时间为：1200÷240＝5min， 当0≤x≤5时，y1＝1200﹣240x， 当＞5时，y1＝240x﹣1200， ∴y1． （3）由图②可知：当x＝3.75或x＝7.5时，y1＝y2， 当x＝3.75时，y1＝y2＝1200﹣240×3.75＝300； 此时两人的距离为300m， 当x＝7.5时，y1＝y2＝240×7.5﹣1200＝600； 此时两人的距离为600 m ∴当y1＝y2时，求甲、乙两人之间的距离为300m或600m． 【重点考点点拨】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力． 易错知识点24：动点问题的函数图象 73．（2024春•莲池区期中）小明在一个半圆形的花园的周边散步，如图1，小明从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：（1）线段OA；（2）半圆弧AB；（3）线段BO后，回到出发点．小明离出发点的距离S（小明所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，请据图回答下列问题（圆周率π的值取3）： （1）请直接写出：花园的半径是 　100　 米，小明的速度是 　50　 米/分，a＝　8　 ； （2）若沿途只有一处小明遇到了一位同学停下来交谈了2分钟，并且小明在遇到同学的前后，始终保持速度不变，请你求出： ①小明遇到同学的地方离出发点的距离； ②小明返回起点O的时间． 【思路引导】（1）由t在2﹣a变化时，S不变可知，半径为100米，速度为50米/分，再求出在半圆上的运动时间即可； （2）①由（1）根据图象，第11分时，小明继续行走，则小明之前行走9分，可求出已经行走路北，用全程路程减去已走路程即可； ②可求全程时间为500用时10分钟，再加上停留2分钟即可． 【完整解答】解：（1）由图象可知，花园半径为100米，小明速度为100÷2＝50米/分，半圆弧长为100π＝300米，则a＝28 故答案为：100，50，8． （2）①由已知，第11分时小明继续前进，则行进时间为9分钟，路程为450米 全程长100+300+100＝500米，则小明离出发点距离为50米； ②小明返回起点O的时间为分 【重点考点点拨】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了通过函数图象探究图象代表的实际意义，运用数形结合的数学思想． 74．（2024春•浦东新区校级期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，点P按A→D→C→B方向运动，到达点B时运动停止，运动开始时以每秒3个长度单位匀速运动，达到D点后，改为每秒a个单位匀速运动，到达C后，改为每秒b个单位匀速运动．在整个运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示．求： （1）求AB、BC的长； （2）求a，b的值． 【思路引导】（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，3秒钟到C，有知道P的运动速度，所以可以求出BC的长； （2）由（1）可知DC＝AB，AD＝BC＝9，结合给出的函数图象即可求出a和b的值． 【完整解答】解：（1）过点D作DH⊥AB于点H， 从图象可知，当点P在AD上运动时，3秒钟到C， ∴AD＝BC＝3×3＝9， ∵∠DAB＝60°，DH⊥AB ∴∠ADH＝30°， ∵AD＝9， ∴AH，DH， ∵从图象可知，当3≤t≤10时，△ABP面积不变为30， ∴AB•DH＝30， 即AB＝30， ∴AB． （2）当点P在线段CD上时，tCD＝7，则a7； 当点P在线段CB上时，tCB＝4，则b． 【重点考点点拨】本题是一次函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力和解决问题的能力． 75．（2023春•栾城区期中）如图①，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6m，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止：点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm），如图②是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系：图③是△AQD的面积S2（cm2）与Q点出发时间x（秒）之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）则a＝　8　 ；b＝　2　 ；c＝　1　 ． （2）设点P出发x（秒）后离开点A的路程为y（cm），请写出y与x的关系式，并求出点P与Q相遇时x的值． 【思路引导】（1）先观察图象②，由面积公式得出关于a的方程，解出a，进而可根据面积差除以时间差求得b，再根据图象③，以路程相等为等量关系，求得c的值； （2）由（1）可知相遇时间在8秒以后，分别写出点P和点Q关于x的函数关系，相遇时两个函数值相等，从而可求得x的值． 【完整解答】解：（1）由图象可得，S△APQPA•AD（1×a）×6＝24 解得：a＝8 ∴b2 ∴（22﹣8）c＝（12×2+6）﹣2×8 解得：c＝1 故答案为：8；2；1． （2）依题意得：当0≤x≤8时，y1＝x； ∵（12﹣8+6+12）÷2＝11（秒），11+8＝19 ∴当8＜x≤19时， y1＝1×8+2（x﹣8）＝2x﹣8 （x＞8） ∴y1， y2＝（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）＝22﹣x （x＞8） ∵点P与Q相遇时，y1＝y2 ∴2x﹣8＝22﹣x ∴x＝10 ∴点P与Q相遇时x的值为10． 【重点考点点拨】本题考查了动点函数的图象问题，数形结合是解答本题的关键；同时正确地列一元一次方程和写出函数关系式也是解答本题的关键．， 易错知识点25：一次函数的性质 76．（2023春•江北区校级期中）一次函数y＝（a﹣7）x+a的图象不经过第三象限；且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为（　　） A．18 B．17 C．12 D．11 【思路引导】首先根据一次函数的图象不经过第三象限，列不等式组，求出不等式的解集，解分式方程，根据分式方程有整数解，求出a，进而得整数a的和． 【完整解答】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴0≤a＜7， 原分式方程可化为：3， 2＝3（2﹣x）+ax， 解得x，3﹣a≠2， ∵分式方程有整数解， ∴3﹣a＝﹣2或3﹣a＝1或3﹣a＝﹣1或3﹣a＝﹣4或3﹣a＝4或3﹣a＝2， 解得a＝5或a＝2或a＝4或a＝7或a＝﹣1或a＝1， ∵a＝7或a＝﹣1或a＝1不合题意， ∴舍去， ∴a＝5或a＝2或a＝4， ∴整数a的和为：11； 故选：D． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数的性质、分式方程的解，掌握解分式方程的步骤及一次函数性质的应用，根据一次函数的图象不经过第三象限，列不等式组，是解题关键． 77．若a、b为实数，且，则直线y＝ax+b不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路引导】依据，即可得到a，b＝﹣5，进而得到直线yx﹣5不经过的象限． 【完整解答】解：∵， ∴， 解得a， ∴b＝﹣5， ∴直线yx﹣5经过第一，三，四象限， ∴不经过的象限是第二象限， 故选：B． 【重点考点点拨】本题主要考查了一次函数的性质，解决问题的关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 78．（2024春•门头沟区校级期中）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k … （1）直接填空：k＝　1　 ； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　﹣2　 ； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质：　第一条：图象关于直线x＝2对称，第二条：当x＞2时，y随着x的增大而增大　 ． 【思路引导】（1）把x＝1代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）①观察图形可知（﹣2，﹣2）是该函数图象的最低点，即可解答， ②观察图象可从该图象的对称性，增减性解答即可． 【完整解答】解：（1）当x＝5时，y＝|5﹣2|﹣2＝1， ∴k＝1， 故答案为：1； （2）描点、连线画出该函数图象如图； （3）①根据函数图象可得，该函数的最小值为：﹣2； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质： 第一条：图象关于直线x＝2对称； 第二条：当x＞2时，y随着x的增大而增大． 【重点考点点拨】本题考查了求函数值，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． 易错知识点26：待定系数法求一次函数解析式 79．（2024春•宿豫区期中）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点A的坐标为（﹣3，2），点B的横坐标比点A的横坐标小1，则直线CD对应的函数表达式为 　y＝4x﹣14　 ． 【思路引导】根据平行四边形中心对称性质得到C、D坐标，再利用待定系数法求出解析式即可． 【完整解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，2），点B的横坐标比点A的横坐标小1， ∴B（﹣4，﹣2）， 根据平行四边形中心对称性质得到C（3，﹣2）、D（4，2）坐标， 设直线CD的解析式为：y＝kx+b，代入点C、D坐标得： ，解得， ∴直线CD的解析式为：y＝4x﹣14． 【重点考点点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 80．如图，一次函数y＝kx﹣3的图象经过点M． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断点（2，﹣7）是否在该函数的图象上． 【思路引导】（1）把M坐标代入一次函数解析式求出k的值，即可确定出一次函数表达式； （2）把x＝2代入一次函数表达式求出y的值，与﹣7比较即可． 【完整解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣3的图象经过点M（﹣2，1）， ∴﹣2k﹣3＝1， 解得：k＝﹣2， ∴这个一次函数表达式为y＝﹣2x﹣3； （2）当x＝2时，y＝﹣2×2﹣3＝﹣7， ∴点（2，﹣7）在该函数的图象上． 【重点考点点拨】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 81．（2023春•新野县期中）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，求m的值． 【思路引导】（1）证明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可证明DB＝2﹣m，AD＝4﹣m，从而求解； （2）分AP＝AD，PD＝PA，两种情况，根据勾股定理即可求解． 【完整解答】解：（1）由题意得CM＝BM， ∵∠PMC＝∠DMB， ∴Rt△PMC≌Rt△DMB， ∴DB＝PC， ∴DB＝2﹣m，AD＝4﹣m， ∴点D的坐标为（﹣2，4﹣m）． （2）分二种情况 ①若AP＝AD，则4+m2＝（4﹣m）2，解得m； ②若PD＝PA 过P作PF⊥AB于点F（如图）， 则AF＝FDAD（4﹣m） 又∵OP＝AF， ∴m（4﹣m）则m． 综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或． 【重点考点点拨】此题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，以及分类讨论思想的渗透． 易错知识点27：一次函数与一元一次方程 82．（2021春•衡阳期中）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0；④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对④进行判断． 【完整解答】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0，所以①③正确； ∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴a＜0，所以②错误； ∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3， ∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确． 综上所述，错误的个数是1． 故选：A． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 83．（2023春•茂名期中）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3），有下列结论：①当x＜0时，y＜3；②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【思路引导】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【完整解答】解：由图象得： ①当x＜0时，y＞3，错误； ②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，正确； ③当x＞2时，y＜0，正确； ④关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，正确； 故选：C． 【重点考点点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 84．（2021春•长宁区校级期中）已知关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解． （1）求出m、n的值． （2）求一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积． 【思路引导】（1）把方程整理后得出（m﹣3）x＝n+2，根据关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解得出m﹣3＝0且n+2＝0，再求出m、n即可； （2）先求出直线y＝3x﹣2与两坐标轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可． 【完整解答】解：（1）mx﹣2＝3x+n， mx﹣3x＝n+2， （m﹣3）x＝n+2， ∵关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解， ∴m﹣3＝0且n+2＝0， 解得：m＝3，n＝﹣2； （2）∵y＝mx+n，m＝3，n＝﹣2， ∴y＝3x﹣2， 当x＝0时，y＝﹣2， 当y＝0时，3x﹣2＝0， 解得：x， 所以一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积是|﹣2|． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程，三角形的面积和方程的解等知识点，能求出m﹣3＝0和n+2＝0是解此题的关键． 易错知识点28：一次函数与一元一次不等式 85．（2024春•蕉城区期中）如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2 【思路引导】先利用直线y＝﹣2x+2的解析式确定A点坐标，然后结合函数特征写出直线y＝kx+b在直线y＝﹣2x+2上方所对应的自变量的范围即可． 【完整解答】解：把A（m，4）代入y＝﹣2x+2得﹣2m+2＝4，解得m＝﹣1， 当x＞﹣1时，﹣2x+2＜kx+b． 故选：A． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 86．（2024春•明山区期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8 … y … 5 2 ﹣1 ﹣4 ﹣1 n 5 … 直接写出m，n的值，m＝　4　 ，n＝　2　 ． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象，写出该函数的一条性质：　当x＞2时，y随x的增大而增大　 ； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为 　x≤﹣2或x≥4　 ． 【思路引导】（1）把x＝0，y＝﹣1时代入已知函数解析式中可得m的值，将（6，n）代入解析式中可得n的值； （2）描点补全图象即可，观察图象可得性质； （3）数形结合，可得答案． 【完整解答】解：（1）把x＝0，y＝﹣1代入y＝|x﹣3|﹣m中得：﹣1＝3﹣m， ∴m＝4， 当x＝6时，n＝|6﹣3|﹣4＝2， 故答案为：4，2； （2）如图所示： 该函数的一条性质：当x＞2时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）由图象可得，不等式的解集为x≤﹣2或x≥4． 【重点考点点拨】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． 87．（2024春•黎川县期中）已知一次函数y1＝2x﹣a，y2＝x﹣2b． （1）若关于x的方程y1+2a＝3的解为负数，求a的取值范围； （2）若关于x的不等式组的解集为3＜x＜15，求a，b的值． （3）在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和b，直接写出该三角形的面积． 【思路引导】（1）根据题意得到2x﹣a+2a＝3的解为负数，解2x﹣a+2a＝3得，则，解不等式即可得到答案； （2）根据题意的解集为3＜x＜15，解不等式组得到，得到，解方程组即可得到答案； （3）分两种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形的面积公式计算即可． 【完整解答】解：（1）关于x的方程y1+2a＝3的解为负数，即2x﹣a+2a＝3的解为负数， 解2x﹣a+2a＝3得， ∴， 解得a＞3； （2）∵关于x的不等式组的解集为3＜x＜15， 即的解集为3＜x＜15， 解不等式①得：， 解不等式②得：x＜3+2b， ∴， ∴， 解得， ∴a的值为5，b的值为6； （3）∵a＝5，b＝6， 当腰为5时，底边长为6，如图所示，作底边上的高AD， ∴， ∴， ∴， 当腰为6，底边长为5时， ∴， ∴ ∴， 综上所述，该三角形的面积为12或． 【重点考点点拨】此题考查了解一元一次方程、解不等式组、等腰三角形的性质、勾股定理、解二元一次方程组等知识，读懂题意，正确计算是解题的关键． 易错知识点29：一次函数与二元一次方程（组） 88．（2024春•湛江校级期中）一次函数y＝﹣x+b和y＝3x的图象如图所示，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【思路引导】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【完整解答】解：把x＝1代入y＝3x得，y＝3， ∴一次函数y＝﹣x+b和y＝3x的交点坐标为（1，3）， ∴方程组的解为． 故选：A． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 89．（2024春•镇平县期中）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 　　 ． 【思路引导】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【完整解答】解：因为函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣3，1）， 所以方程组的解是． 故答案为． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 90．（2024春•新城区校级期中）如图，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+3交于点A（1，m），且直线l1经过点B（﹣1，1）． （1）求直线l1的函数表达式； （2）写出方程组的解为 　　 ； （3）当kx+b≥﹣x+3时，写出自变量x的取值范围． 【思路引导】（1）先将A（1，m）代入l2：y＝﹣x+3求出A的坐标，再将点A和点B的坐标代入l1：y＝kx+b（k≠0），求出k和b的值即可得出l1的函数表达式； （2）根据两直线的交点坐标，即可解答； （3）根据函数图象，找出l1的函数图象高于l2的函数图象时，自变量x的取值范围即可． 【完整解答】解：（1）把A（1，m）代入l2：y＝﹣x+3得： m＝﹣1+3＝2， ∴A（1，2）， 把A（1，2），B（﹣1，1）代入l1：y＝kx+b（k≠0）得： ， 解得：， ∴直线l1的函数表达式为； （2）∵直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+3交于点A（1，2）， ∴该方程组的解为； （3）由图可知，当x≥1时，kx+b≥﹣x+3． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图象求方程组的解、求不等式的解集，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． 易错知识点30：一次函数的应用 91．（2024春•北京期中）已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有 　①②④　 ． ①两人出发2h后相遇； ②甲骑自行车的速度为60km/h； ③乙比甲提前2h到达目的地； ④乙到达目的地时两人相距200km． 【思路引导】横轴表示运动时间，纵轴表示两人之间的距离．图中的三个点（0，300），（2.0）（5，300）．第一个点可判断出A、B两地的距离为300km；第二个点可判断出2小时后两人相遇，速度和为150km/h；第三个点可判断出甲的速度为60km/h，那么乙的速度为90km/h，乙到达目的地的时间为时，即可判断乙比甲提前几小时到达目的地，也可以判断出甲此时走的路程，即可判断出乙到达目的地时两人相距的千米数． 【完整解答】解：∵横轴表示运动时间，纵轴表示两人之间的距离．∴图上的第一个点（0.300），表示甲乙两人还未出发时，相距300km，也就是A、B两地相距300km．第二个点（2，0），表示甲乙两人出发2小时时，两人相距0米，即相遇，故①正确； 最后一个点（5，300）表示走得慢的甲5小时走完300千米，也到了自己的目的地，此时两人相距300千米，所以甲骑自行车的速度为300÷5＝60km/h，故②正确； ∵甲、乙两小时走完300km，∴甲、乙的速度和＝300÷2＝150km/h，∴乙的速度＝150﹣60＝90km/h．∴乙走完全程的时间＝300÷90h．∴乙比甲提前到达的时间为5h，故③不正确； 乙到达目的地A时，走了时，此时甲离开A的路程为：60200km，此时两人相距200km，故④正确． 故答案为：①②④． 【重点考点点拨】本题考查了函数图象及其应用．根据函数图象判断出各个坐标表示的实际意义是解决本题的关键． 92．（2022春•长沙期中）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系． （1）分别求出y1、y2与x的函数表达式； （2）若手工坊每天工作16小时，每小时生产10kg食品，则一天可获利润为多少元？ 【思路引导】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设一天可获利润为W（元），根据题意当x＝160时，计算y2﹣y1的值即可． 【完整解答】解：（1）设y1＝kx+b， 代入（0，240），（60，480）， 得， 解得， ∴y1＝4x+240； 设y2＝mx，代入（60，720）， 得60m＝720， 解得m＝12， ∴y2＝12x． （2）设一天可获利润为W（元）， ∵x＝16×10＝160， ∴W＝y2﹣y1＝（12×160）﹣（4×160+240）＝1040（元）， ∴一天可获利润1040元． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数的应用，根据图象分别待定系数法求出解析式是解题的关键． 93．（2024秋•海州区校级期中）昆明市周边蔬菜基地种植了白菜和菠菜两种蔬菜共30亩，设种植白菜x亩，总收益为y万元，有关数据见表： 成本 （单位：万元/亩） 销售额（单位：万元/亩） 白菜 2.4 3　 菠菜 2 2.5 （1）求y关于x的函数关系式（收益＝销售额﹣成本）； （2）若计划投入的总成本不超过70万元，要使获得的总收益最大，基地应种植白菜和菠菜各多少亩？ （3）已知白菜每亩地需要化肥400kg，菠菜每亩地需要化肥600kg，根据（2）中的种植亩数，基地计划运送所需全部化肥，为了提高效率，实际每次运送化肥的总量是原计划的1.25倍，结果运送完全部化肥的次数比原计划少1次，求基地原计划每次运送多少化肥？ 【思路引导】（1）根据种植白菜和菠菜共30亩，可得出种植菠菜（30﹣x）亩，再根据“总收益＝白菜每亩收益×种植亩数+菠菜每亩收益×种植亩数”即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据“投入成本＝白菜每亩成本×种植亩数+菠菜每亩成本×种植亩数”以及总成本不超过70万元，可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题； （3）设原计划每次运送化肥m kg，实际每次运送1.25m kg，根据原计划运送次数比实际次数多1，可得出关于m的分式方程，解分式方程即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设种植白菜x亩，种植菠菜（30﹣x）亩， 由题意得：y＝（3﹣2.4）x+（2.5﹣2）（30﹣x）＝0.1x+15， 答：y与x的关系式为y＝0.1x+15； （2）由题意知：2.4x+2（30﹣x）≤70， 解得：x≤25． ∵y＝0.1x+15中k＝0.1＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝25时，所获总收益最大，此时种植白菜25亩，种植菠菜5亩； （3）设原计划每次运送化肥m kg，实际每次运送1.25m kg， 需要运送的化肥总量是400×25+600×5＝13000（kg）， 由题意可得：1， 解得：m＝2600， 经检验m＝2600是原方程得解． 答：基地原计划每次运送化肥2600kg． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质解决最值问题；（3）根据数量关系得出分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键． 易错知识点31：一次函数综合题 94．（2024春•南召县期中）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE，判断△AED的形状是 　等腰直角三角形　 ． （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连接AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标． 【思路引导】（1）证明△ABE≌△ECD（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，则可得出结论； （2）利用待定系数法可求得直线AB表达式，过点C作CH⊥x轴于点H，证明△AOB≌△CHA，从而得到AH、CH，则可得到点C的坐标； （3）过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，由一次函数解析式求出OA、OB，证明△AOB≌△BFE（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝OA，EF＝OB，求出E点坐标，求出直线AC的解析式，则可得出答案． 【完整解答】解：（1）∵在△ABE和△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD （SAS）， ∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC， 在Rt△EDC中，∠C＝90°， ∴∠EDC+∠DEC＝90°． ∴∠AEB+∠DEC＝90°． ∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°， ∴∠AED＝90°． ∴△AED是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）过点C作CH⊥x轴于点H，如图2， 则∠AHC＝90°． ∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA． 在△AOB和△CHA中， ， ∴△AOB≌△CHA（AAS）， ∴AO＝CH，OB＝HA， ∵A（2，0），B（0，3）， ∴AO＝2，OB＝3， ∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3， ∴OH＝OA+AH＝5， ∴点C的坐标为（5，2）； （3）如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F， 把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2， ∴点A的坐标为（0，2）， ∴OA＝2， 把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1， ∴点B的坐标为（1，0）， ∴OB＝1， ∵AO⊥OB，EF⊥BD， ∴∠AOB＝∠BFE＝90°， ∵AB⊥BE， ∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°， ∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°， 又∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠OAB＝∠EBF， 在△AOB和△BFE中， ， ∴△AOB≌△BFE（AAS）， ∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1， ∴OF＝3， ∴点E的坐标为（3，1）， 由点A、E的坐标得，直线AE的解析式为yx+2， 令y＝0，解得x＝6， ∴D（6，0）． 【重点考点点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 95．（2024春•龙海区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，经过点B的直线l2：y＝kx+b交x轴于点C，且AB＝AC． （1）求直线BC的解析式； （2）点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度向终点C运动，过点P作y轴的平行线交直线l1于点M．交直线l2于点N．设线段MN的长为d（d≠0），运动时间为t（秒），求d与时间t（秒）的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，若以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的t值． 【思路引导】（1）根据条件先求出点C坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可； （2）根据题意，先求出点P的横坐标，再将横坐标代入两直线解析式求出点M、N的坐标，得到d与t的关系式，再写出自变量取值范围即可； （3）根据条件，令MN＝d＝OB＝4，列出方程求出t值即可． 【完整解答】解：（1）对于直线直线， 当y＝0时，x＝﹣3；当x＝0时，y＝4， ∴A（﹣3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， 在Rt△AOB 中，根据勾股定理得： AB5， ∵AB＝AC＝5， ∴OC＝2， ∴C （2，0）， 设BC解析式为y＝kx+b，代入点B、C坐标得： ，解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4； （2）如图， ∵点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度向终点C运动，运动时间为t（秒）， ∴点P的横坐标为﹣3+t， 将x＝﹣3+t代入直线得：y， ∴M（﹣3+t，）， 将x＝﹣3+t代入直线BC：y＝﹣2x+4得：y＝﹣2×（﹣3+t）+4＝﹣2t+10．； ∴N（﹣3+t，﹣2t+10）， ∴MN＝|﹣2t+10﹣（3）|＝||， 当0＜t≤3时，d， 当3＜t＜≤5时，d， 综上分析，d（0＜t≤3），d（3＜t≤5）； （3）当MN＝OB时，以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴7＝4，解得t； 7＝4，解得t； 故当ts或s时，以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【重点考点点拨】本题考查了一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的判定是解答本题的关键． 96．（2024春•泾阳县期中）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点（1，2）处，则点B的坐标为 　（﹣2，1）　 ； （2）感悟应用：如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D． ①点A的坐标为 　（0，2）　 ，点B的坐标为 　（1，0）　 ； ②直接写出点C的坐标 　（3，1）　 ； （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB＝90°，AC＝BC．若点C的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，2），点B在第四象限时，请求出点B的坐标． 【思路引导】（1）作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，由A（1，2）可得，OF＝1，AF＝2，易证△BEO≌△OFA，BE＝OF＝1，OE＝AF＝2，因此B（﹣2，1）； （2）①一次函数y＝﹣2x+2，分别令x＝0，y＝0，即可得点A，点B的坐标； ②过点C作CM⊥x轴于M，由△AOB≌△BMC，根据全等三角形的性质即可解决问题； （3）过点B作BN⊥x轴于N，由△AOC≌△CNB，根据全等三角形的性质即可解决问题，即可求出点B的坐标． 【完整解答】解：（1）如图1，作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F， ∴∠BEO＝∠AFO＝∠AOB＝90°， ∴∠AOF+∠BOE＝90°＝∠AOF+∠FAO， ∴∠BOE＝∠FAO， ∵AO＝OB， ∴△BEO≌△OFA（AAS）， ∴BE＝OF＝1，OE＝AF＝2， ∴B（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）； （2）①一次函数y＝﹣2x+2，令x＝0，则y＝2， ∴A（0，2）， 令y＝0，则0＝﹣2x+2，x＝1， ∴B（1，0）， 故答案为：（0，2），（1，0）； ②如图2，由（1）知，A（0，2），B（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， 过点C作CM⊥x轴于M， ∴∠AOB＝∠BMC＝90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBM＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠OAB＝∠CBM， ∵BC＝AB， ∴△AOB≌△BMC（AAS）， ∴BM＝OA＝2，CM＝OB＝1， ∴OM＝3， ∴点C的坐标为（3，1）， 故答案为：（3，1）； （3）如图3，过点B作BN⊥x轴于N，由△AOC≌△CNB， ∴∠BNC＝∠COA＝∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠NCB＝90°＝∠ACO+∠OAC， ∴∠NCB＝∠OAC， ∵AC＝CB， ∴△AOC≌△CNB（AAS）， ∴NC＝OA＝2，BN＝CO＝4， ∴ON＝CO﹣NC＝2， ∴B（2，﹣4）． 【重点考点点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中复习培优训练【优等生培优版】 易错题必刷练 （第16-19章 31个易错知识点 共96题） 同学你好，本套讲义结合课本教材内容编辑制作，结合近两年各地考察范围及重难点考点，贴合书本内容。资料考点均为重难点考查内容，讲练结合，精选近两年期中真题，模拟题等！避免无效刷题！解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点01：二次根式有意义的条件 2 易错知识点02：二次根式的性质与化简 2 易错知识点03：最简二次根式 4 易错知识点04：二次根式的乘除法 4 易错知识点05：分母有理化 4 易错知识点06：同类二次根式 5 易错知识点07：二次根式的加减法 5 易错知识点08：二次根式的混合运算 5 易错知识点09：二次根式的化简求值 6 易错知识点10：二次根式的应用 8 易错知识点11：直角三角形斜边上的中线 9 易错知识点12：勾股定理的证明 10 易错知识点13：勾股定理的逆定理 11 易错知识点14：勾股定理的应用 12 易错知识点15：三角形中位线定理 13 易错知识点16：平行四边形的性质 14 易错知识点17：平行四边形的判定与性质 15 易错知识点18：菱形的判定与性质 16 易错知识点19：矩形的判定与性质 18 易错知识点20：函数关系式 20 易错知识点21：函数自变量的取值范围 20 易错知识点22：函数值 21 易错知识点23：函数的图象 22 易错知识点24：动点问题的函数图象 23 易错知识点25：一次函数的性质 25 易错知识点26：待定系数法求一次函数解析式 26 易错知识点27：一次函数与一元一次方程 28 易错知识点28：一次函数与一元一次不等式 29 易错知识点29：一次函数与二元一次方程（组） 31 易错知识点30：一次函数的应用 32 易错知识点31：一次函数综合题 33 易错知识点01：二次根式有意义的条件 1．（2023春•皇姑区校级期中）使有意义的实数x的取值范围是（　　） A．x≤5 B．x≤5且x≠0 C．x＜5且x≠1 D．x≤5且x≠1 2．（2024春•黄石期中）若x，y为实数，且y4，则　 　 ． 3．（2022春•新泰市期中）（1）一个正数的平方根是2a﹣3与5﹣a，求这个正数． （2）已知x、y都是实数，且，求yx的值． 易错知识点02：二次根式的性质与化简 4．（2024春•临沭县期中）若实数x满足|x﹣3|7，化简2|x+4|的结果是（　　） A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2 5．（2024春•阳谷县期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a﹣b B．2a﹣b C．﹣b D．b 6．（2024春•泰山区期中）下列各式中，计算正确的是（　　） A．±5 B．±7 C．3 D．3 7．（2024春•宣化区期中）|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：　 　 ，　 　 ； （2）若1﹣x，则x的取值范围为 　 　 ； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|． 8．（2022春•瑞金市期中）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如：|1|＝1． 解决问题： 化简下列各式： （1）； （2）． 易错知识点03：最简二次根式 9．（2024春•香洲区校级期中）下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024春•上城区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024春•新会区校级期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝　 　 ． 易错知识点04：二次根式的乘除法 12．（2023春•铁锋区期中）已知1＜p＜2，化简（）2＝（　　） A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p 13．（2022春•芝罘区期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2022春•广饶县期中）能使等式成立的x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2 易错知识点05：分母有理化 15．（2024春•上杭县期中）已知：a，b，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 16．（2023春•颍州区校级期中）若两个代数式M与N满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 　 　 ． 17．（2023春•福清市期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：0），（a≥0，b＞0），那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅： （1）举些例子比较与（a≥0，b≥0）的大小，并提出猜想；（至少举3例，举例要全面哦） （2）利用学过的知识证明你的猜想． 易错知识点06：同类二次根式 18．（2024春•岱岳区期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． （多选）19．（2024春•高密市期中）若二次根式与可以合并，则m可以是（　　） A．13 B．22 C．58 D．64 20．（2023春•休宁县期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝　 　 ． 易错知识点07：二次根式的加减法 21．（2024春•安次区校级期中）若，则a和b的值不可能是（　　） A．a＝2，b＝2 B．， C．a＝0，b＝8 D．a＝4，b＝2 22．（2023春•阿荣旗校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（　　） A．2a B．2b C．﹣2a D．2 23．（2022春•万年县校级期中）阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程． 化简：a2• 解：原式＝aa2••a＝aaa＝a． 易错知识点08：二次根式的混合运算 24．（2024春•怀宁县期中）下列计算正确的有（　　） A． B． C． D． 25．（2024春•西城区校级期中） （1）； （2）3； （3） ； （4）． 26．（2024春•息县期中）计算： （1）4； （2）（）2﹣（2）（2）． 易错知识点09：二次根式的化简求值 27．（2024春•香洲区校级期中）观察下列各式： 1，，1； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想1　 　 ； （2）归纳：根据猜想写出一个用n（n表示正整数）表示的等式； （3）应用计算：； （4）拓展应用：化简下列式子； ． 28．（2024春•莱州市期中）阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵5﹣x﹣2+x＝3， ∵， ∴， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． （1）求的值； （2）求x的值． 29．（2024秋•浦东新区校级期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和的大小可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为所以． 再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，　 　 ； （2）比较和的大小； （3）式子的最小值是 　 　 ． 易错知识点10：二次根式的应用 30．（2024春•颍州区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7． （1）求△ABC的面积； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长． 31．（2024春•涧西区期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B． （1）图①截出的正方形木板A的边长为 　 　 dm，B的边长为 　 　 dm； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 32．（2023秋•凌海市期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t（不考虑风速的影响） （1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s； （2）t2是t1的多少倍？ （3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 易错知识点11：直角三角形斜边上的中线 33．（2024春•老城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 34．（2024春•凉州区期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠ACD＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 35．（2023春•张店区校级期中）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由． 易错知识点12：勾股定理的证明 36．（2023春•海淀区校级期中）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　） A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 37．（2024春•无为市期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明．如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（　　） A．a2+b2+4ab B． C． D． 38．（2024春•潜山市期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 易错知识点13：勾股定理的逆定理 39．（2024春•潢川县期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 40．（2024秋•桓台县期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（　　） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 41．（2024春•高安市期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 易错知识点14：勾股定理的应用 42．（2024春•鹤山市期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 43．（2024春•荔湾区校级期中）位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？ 44．（2022秋•建邺区校级期中）如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？ 易错知识点15：三角形中位线定理 45．（2024春•黄石期中）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为　 　 ． 46．（2022春•林州市期中）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　 　 ． 47．（2024春•钱塘区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点． （1）求证：FG＝FH； （2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH； （3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 易错知识点16：平行四边形的性质 48．（2024春•衡山县期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（2024春•望奎县期中）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是　 　 ． 50．（2024春•福田区校级期中）如图，在▱ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AE＝CF． （2）若AD＝5，，EF＝2，求AC的长． 易错知识点17：平行四边形的判定与性质 51．（2024春•斗门区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　 　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 52．（2022春•海淀区校级期中）如图，▱ABCD的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是▱ABCD四条边上不重合的点．下列条件能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 　 　 （填序号）． ①AQ＝CN，AM＝CP； ②MP，NQ均经过点O； ③NQ经过点O，AQ＝CN． 53．（2023春•南海区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　 　 ； （2）当t＝　 　 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 易错知识点18：菱形的判定与性质 54．（2022春•上杭县期中）如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是　 　 （将正确结论的序号填空）． 55．（2024春•肥城市期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AB＝3，∠ABE＝120°，求DE的长． 56．（2022春•集美区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a+4，3）． （1）若a，求证：四边形OABC是菱形． （2）若a＝2，线段OB上是否存在点G（m，n），且m﹣2n＝0，使得△OCG为等腰三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 易错知识点19：矩形的判定与性质 57．（2024春•费县期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　） A．5 B．4 C． D．3 58．（2024春•西城区校级期中）下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点． 求证：CDAB 方法一 证明：如图，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE、BE． 方法二 证明：如图，取BC的中点E，连接DE． 59．（2022春•桂平市期中）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积． 60．（2024春•东城区校级期中）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 易错知识点20：函数关系式 61．（2024春•东明县期中）小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了x本作业本，剩余费用为y元，则y与x的函数关系式为 　 　 ． 62．（2024春•杨浦区期中）某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了x（3＜x≤15）千米，则乘车费用y（元）关于里程数x（千米）的函数解析式为 　 　 ． 63．（2021春•青龙县期中）在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：（假设都在弹性限度内） 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （1）由表格知，弹簧原长为　 　 cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长　 　 cm． （2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式． （3）预测当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少？ （4）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量． 易错知识点21：函数自变量的取值范围 64．（2023春•南溪区校级期中）函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠4 B．x≥0 C．x＞0且x≠4 D．x≥0且x≠4 65．（2024春•长沙期中）函数中自变量x的取值范围是 　 　 ． 66．（2024春•威海期中）若函数在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 易错知识点22：函数值 67．（2024春•晋江市期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是8和1时，输出的y值相等，则b等于（　　） A．5 B．﹣10 C．7 D．3和4 68．（2022春•重庆期中）按如图所示的运算程序，若输入x，则输出的y值为（　　） A．0 B．2+3 C．25 D．以上都不对 69．（2023春•高邑县期中）在国内某快递公司的资费如下表： 货物质量x（克） 0＜x⩽20 20＜x⩽40 40＜x⩽60 快递费y（元） 0.8 1.6 2.4 （1）y是x的函数吗？为什么？ （2）分别求当x＝5，10，35，50，时的函数值． 易错知识点23：函数的图象 70．（2024春•德城区校级期中）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 71．（2023秋•驿城区期中）如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度h与注水时间t之间关系的图象的是（　　） A． B． C． D． 72．（2024春•晋江市期中）如图①，将南北向的海八路与东西向的北环路看成两条互相垂直的直线，十字路口记作点A．甲从海八路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北环路步行向东匀速直行．设出发x（min）时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1（m）、y2（m）．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示． （1）求甲、乙两人的速度； （2）求y1与x之间的函数关系； （3）当y1＝y2时，求甲、乙两人之间的距离． 易错知识点24：动点问题的函数图象 73．（2024春•莲池区期中）小明在一个半圆形的花园的周边散步，如图1，小明从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：（1）线段OA；（2）半圆弧AB；（3）线段BO后，回到出发点．小明离出发点的距离S（小明所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，请据图回答下列问题（圆周率π的值取3）： （1）请直接写出：花园的半径是 　 　 米，小明的速度是 　 　 米/分，a＝　 　 ； （2）若沿途只有一处小明遇到了一位同学停下来交谈了2分钟，并且小明在遇到同学的前后，始终保持速度不变，请你求出： ①小明遇到同学的地方离出发点的距离； ②小明返回起点O的时间． 74．（2024春•浦东新区校级期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，点P按A→D→C→B方向运动，到达点B时运动停止，运动开始时以每秒3个长度单位匀速运动，达到D点后，改为每秒a个单位匀速运动，到达C后，改为每秒b个单位匀速运动．在整个运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示．求： （1）求AB、BC的长； （2）求a，b的值． 75．（2023春•栾城区期中）如图①，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6m，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止：点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm），如图②是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系：图③是△AQD的面积S2（cm2）与Q点出发时间x（秒）之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）则a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ． （2）设点P出发x（秒）后离开点A的路程为y（cm），请写出y与x的关系式，并求出点P与Q相遇时x的值． 易错知识点25：一次函数的性质 76．（2023春•江北区校级期中）一次函数y＝（a﹣7）x+a的图象不经过第三象限；且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为（　　） A．18 B．17 C．12 D．11 77．若a、b为实数，且，则直线y＝ax+b不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 78．（2024春•门头沟区校级期中）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k … （1）直接填空：k＝　 　 ； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　 　 ； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质：　 　 ． 易错知识点26：待定系数法求一次函数解析式 79．（2024春•宿豫区期中）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点A的坐标为（﹣3，2），点B的横坐标比点A的横坐标小1，则直线CD对应的函数表达式为 　 　 ． 80．如图，一次函数y＝kx﹣3的图象经过点M． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断点（2，﹣7）是否在该函数的图象上． 81．（2023春•新野县期中）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，求m的值． 易错知识点27：一次函数与一元一次方程 82．（2021春•衡阳期中）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0；④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 83．（2023春•茂名期中）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3），有下列结论：①当x＜0时，y＜3；②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 84．（2021春•长宁区校级期中）已知关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解． （1）求出m、n的值． （2）求一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积． 易错知识点28：一次函数与一元一次不等式 85．（2024春•蕉城区期中）如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2 86．（2024春•明山区期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8 … y … 5 2 ﹣1 ﹣4 ﹣1 n 5 … 直接写出m，n的值，m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象，写出该函数的一条性质：　 　 ； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为 　 　 ． 87．（2024春•黎川县期中）已知一次函数y1＝2x﹣a，y2＝x﹣2b． （1）若关于x的方程y1+2a＝3的解为负数，求a的取值范围； （2）若关于x的不等式组的解集为3＜x＜15，求a，b的值． （3）在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和b，直接写出该三角形的面积． 易错知识点29：一次函数与二元一次方程（组） 88．（2024春•湛江校级期中）一次函数y＝﹣x+b和y＝3x的图象如图所示，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 89．（2024春•镇平县期中）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　 ． 90．（2024春•新城区校级期中）如图，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+3交于点A（1，m），且直线l1经过点B（﹣1，1）． （1）求直线l1的函数表达式； （2）写出方程组的解为 　 　 ； （3）当kx+b≥﹣x+3时，写出自变量x的取值范围． 易错知识点30：一次函数的应用 91．（2024春•北京期中）已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有 　 　 ． ①两人出发2h后相遇； ②甲骑自行车的速度为60km/h； ③乙比甲提前2h到达目的地； ④乙到达目的地时两人相距200km． 92．（2022春•长沙期中）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系． （1）分别求出y1、y2与x的函数表达式； （2）若手工坊每天工作16小时，每小时生产10kg食品，则一天可获利润为多少元？ 93．（2024秋•海州区校级期中）昆明市周边蔬菜基地种植了白菜和菠菜两种蔬菜共30亩，设种植白菜x亩，总收益为y万元，有关数据见表： 成本 （单位：万元/亩） 销售额（单位：万元/亩） 白菜 2.4 3　 菠菜 2 2.5 （1）求y关于x的函数关系式（收益＝销售额﹣成本）； （2）若计划投入的总成本不超过70万元，要使获得的总收益最大，基地应种植白菜和菠菜各多少亩？ （3）已知白菜每亩地需要化肥400kg，菠菜每亩地需要化肥600kg，根据（2）中的种植亩数，基地计划运送所需全部化肥，为了提高效率，实际每次运送化肥的总量是原计划的1.25倍，结果运送完全部化肥的次数比原计划少1次，求基地原计划每次运送多少化肥？ 易错知识点31：一次函数综合题 94．（2024春•南召县期中）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE，判断△AED的形状是 　 　 ． （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连接AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标． 95．（2024春•龙海区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，经过点B的直线l2：y＝kx+b交x轴于点C，且AB＝AC． （1）求直线BC的解析式； （2）点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度向终点C运动，过点P作y轴的平行线交直线l1于点M．交直线l2于点N．设线段MN的长为d（d≠0），运动时间为t（秒），求d与时间t（秒）的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，若以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的t值． 96．（2024春•泾阳县期中）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点（1，2）处，则点B的坐标为 　 　 ； （2）感悟应用：如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D． ①点A的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ； ②直接写出点C的坐标 　 　 ； （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB＝90°，AC＝BC．若点C的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，2），点B在第四象限时，请求出点B的坐标． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$