专题14 六类几何最值模型专项训练-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题14. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形边长为8，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接，交于，连接，∴，∴， ∴即为所求的点，∴的长即为的最小值，∵正方形，∴，，    ∵，∴，∴．∴长的最小值为；故答案为：． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点．（1）若，则的长度为 ；（2）若是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】解：（1）∵，是的角平分线， ∴，∴，∵，∴，设， 在中，由勾股定理得，∴， 解得或（舍去），∴，∴，故答案为：； （2）如图所示，连接，∵，∴垂直平分， ∴，∴， ∴当三点共线，且时，，即最小，最小值为的值， ∴此时有，∴，∴的最小值为，故答案为：． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点M在边上，，P为正方形内（含边上）一点，且，G为边上一动点，连接，则的最小值为 ．    【答案】3 【详解】解：过点P作，分别交于点E，F， ∵四边形是正方形，∴四边形和四边形都是矩形， ∵，正方形的边长为4，∴，解得， ∴，    作点M关于的对称点，连接，则， ∴，∴的最小值为的长， ∵，∴的最小值为3，故答案为：3． 4．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，菱形，P为对角线上一动点，E为边的中点，连接．若菱形的面积为，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，作于，交于，连接， ∵菱形的面积为，，，， 在中，，，与重合， ∵四边形是菱形，垂直平分，关于对称， 当P与重合时，的值最小，最小值为，故答案为：． 5．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，将线段沿x轴平移得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作，且使，连接， ∴四边形是平行四边形，∴，∴， ∵点，∴设， ，，∴， 作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于W， ∴，∴当点在W处时，最小，最小值是的长， ∵，∴的最小值是，故答案为：． 6．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，边、分别在轴、轴的正半轴上，点、在直线上，且点、分别是、的中点．点、分别是、上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】+4 【详解】解：作EE′∥AB，且EE′=AB，连接DE′，与B的C交点就是点M，此时DM+MN+NE的值最小， ∵OA=6，∴D的横坐标为6，把x=6代入y=x求得y=8，∴AD=8，∴D（6，8）， ∵点O、B分别是DE、AD的中点，∴MN=AB=EE′=4，∴E′（-6，-4）， ∴DE′=，∴DM+MN+NE=DE′+MN=+4，故答案为：+4． 7．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为边的中点．若E，F为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点F的坐标为    【答案】 【详解】解：如图，作点D关于x轴的对称点，在边上截取，连接与x轴交于点E，在上截取，而，，结合平移的性质可得，        又、EF的长为定值，此时得到的点E、F使四边形的周长最小． ∵，，D为的中点，∴，，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴；故答案为：． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）在矩形中，，，G，H分别是边与边上的点，且．动点P从点D出发，沿向点A运动，同时动点Q从点B出发，沿向点C运动，点P，Q的运动速度都是，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t．连接，，，．(1)如图1，求证：四边形为平行四边形；(2)在点P，Q移动的过程中，求四边形周长的最小值；(3)如图2，当四边形是菱形时，且，求t的值．    【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：由题可得，， 又∵是矩形，∴， ∴，∴，同理可得：，∴四边形为平行四边形； （2）解：∵为平行四边形，∴四边形周长为， 作点H关于的对称点，连接，则，， ∴，则当P、G、三点共线时，最小，       这时，过点作于点M，则，， ∴，∴四边形周长的最小值为； （3）解：设，∵，∴，， ∵是菱形，∴，即，即①， 又∵，∴，即②，联立①②解得：． 9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：为等边三角形，，， 将沿翻折，得到，，四边形为菱形， ∴，，，∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点，∴是边上的中线，的角平分线，∴，，， ∵，∴，∵，∴，，∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，故答案为：． 10．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：如图，连接．    由旋转可得，，是等边三角形，，，， 在和中，，， 边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，平分，且垂直平分 ，，，即点的运动轨迹为直线， 当时，最短，此时，的最小值是2，故选：C． 11．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点H，作射线，则， ∵和都是等边三角形，∴，， ∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴，∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动， 作交的延长线于点L，则，∴， ∴，∴，∴， ∴点L与点A关于直线对称，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故选：C． 12．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图1，在等边三角形中，，点分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)求证：是等边三角形；(2)当点P在线段上运动时，求与之间的数量关系； (3)如图2，当点在线段的延长线上运动时． ①__________度；②当时，求的长；(4)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)①；②16(4)20 【详解】（1）证明：是等边三角形，，， ，，即，是等边三角形； （2）是等边三角形，，， 是等边三角形，，， ，即， 在与中，，∴， ∵，∴， （3）①和是等边三角形，∴，， ∴，则，∴，即； ②由①可得．是等边三角形，∴，， ．，， ，； （4）作点关于的对称点，连接，如图，则， 由（2）和（3）可知动点从点沿射线运动过程中，，，即点在外角的角平分线上运动， 若最小，即最小．当点与点重合时，最小， 此时最小值为，则最小值为20． 13．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图①，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，以点B为旋转中心，将绕点B顺时针方向旋转，得到（点A，O的对应点分别为点，），求： (1)__________；(2)求的值；(3)延伸迁移：如图②，中，，，，点P是三角形内一动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)90(2)(3) 【详解】（1）解：∵绕点B顺时针方向旋转， ∴，∴；故答案为：90； （2）∵，，，∴，则，连接，       ∵绕点B顺时针方向旋转，得到，∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴C、O、、四点共线，∴在中，， ∴． （3）将绕点顺时针方向旋转，得到， ∴，，，，∴是等边三角形， ∴， 则，当、、、四点共线时取等号， 过点作于，∵，∴， 则，，∴ ∴，∴，即：的最小值为． 14．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）问题情境：课堂上老师提出如下问题：如图，在等边内有任意一点，连接，，，将等边分成三个小三角形．请利用三角板，将以点为旋转中心，逆时针旋转，画出旋转后的图形． (1)数学思考：请你按要求在图1中完成画图．(2)老师又给出了一组具体的数值，，，，要求同学们求的度数．请你利用在图1中画出的图形，完成解答． (3) 深入探究：“智慧小组”的同学发现，点的位置不是唯一确定的，，，的长度只要满足一定的关系，的度数可以同上题②中的结论一样．请你写出三者之间应满足的关系：___（直接写出答案） (4) “创新小组”的同学在“智慧小组”发现的基础上，又提出了新问题，并经过探索做出了猜想，得到了老师的肯定． 新问题：设等边三角形的边长为4，当的度数是多少时，点就是唯一存在的呢？ 探索过程：研究了将以点为旋转中心，顺时针旋转所得到的图形． 猜想：当的值最小时，可以求出的度数，此时点就是唯一的．请你求出这个最小值是______，此时的度数为______．（直接写出答案） 【答案】(1)见详解(2)(3)(4)； 【详解】（1）解：由题意作图如图1，即为所求： （2）解：如图1，连接， 由旋转的性质可知，，， ∵，∴是等边三角形，，， ∵，∴，∴是直角三角形，， ∴，∴； （3）解：由（2）可知，当时，，故答案为：； （4）解：如图2，将绕点顺时针旋转到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， 同理（2）可得，是等边三角形，则，， ∴，∴当四点共线时，的值最小， ∴，∴，∵，， ∴，∴垂直平分， 如图2，记与的交点为，∴，，由勾股定理得，， ∴，即的值最小为，故答案为：，． 15．（2024·山东青岛·二模）（1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． 如图1，在等边三角形内部有一点P，，，．求的度数． 解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，，． 为______三角形 的度数为______． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P，若，试判断线段之间的数量关系，并说明理由． （3）联想拓展：如图3，在中，，．点P在直线上方且，试判断是否存在常数k，满足．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由， 【答案】（1）直角；（2）．理由见解析；（3）存在，，证明见解析 【详解】（1）如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，，． 为直角三角形．的度数为．故答案为：直角；； （2）．理由如下： 如图2，把绕点A顺时针旋转得到，连接． 则，，，是等腰直角三角形，，， ，，， 在中，由勾股定理得，，． （3）如图，将晓A点顺时针旋转得到，连接，过点A作于点H， ∴，，，，， ，．，． 16．（2024九年级上·浙江·专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究：(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决：(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2) (3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析 【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求． （2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， 是等边三角形，，， ，，， ，；故； （3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，，，，， 、是等边三角形，，， 根据两点间线段距离最短得：当时最短， 是等边三角形，以为一边作等边三角形， 最小值为的长，此时点在线段上，点为、的交点． 若点与点重合，即在对角线 上， 则点为与的交点，此时点（E）与点重合， 显然不符合题意，故点不在对角线上， 即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小． 17.（2024·重庆校考一模）如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 　　． 【答案】3 【解答】解：作，过点作于点，则此时最小， ，，，，， ，，，， 解得：，．故答案为：3． 18．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 19．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 20．（2024·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：作且使得，连接、， ，点为的中点，，， ，，，即， 又，，，，， 当点、、三点共线时，最小，的最小值时线段的长， ，，，，即的最小值为5，故答案为：5． 21．（2024年湖北三模）如图，已知，，，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点，∵，，∴， 又∵，，∴，∴，∴， ∴当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度， ∵，，，∴，∴四边形为矩形， ∴，，∴， ∴当取最小值时，可有， ∴的最小值为．故答案为：． 22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题：（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究：（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； 则四边形为平行四边形，∴，， ∵，∴，∵， ∴，，∴，∴的最小值为； （3）作，使得，作，连接，如图所示： ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴的最小值． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，连接，在上方作，使，，连接交轴于点，∵，，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，（当三点共线时最短） ∵，∴， ∴的最小值是，故答案为． 24．（2023·河南新乡·一模）如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵，分别为，的中点，∴，且， 要使最小，只要最小，当时，最小，∵的最小值为3，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是菱形，∴．故答案为：． 25．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则的最小值为 ． 【答案】/1.5 【详解】解：以为一边在正方形内作等边，连接， 过点作于点，过点作于点， 四边形为正方形，且边长为，，， 点为的中点，，和均为等边三角形，， ，，，， ，，，四边形为矩形，，， ，，即：， 在和中，，，， ，，当点与点重合时，为最小， 即为最小，最小值为，故答案为：． 26．（2023上·广东茂名·九年级校考期中）如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵四边形是菱形，∴， ∵于点，于点，∴四边形是矩形， 连接，则，当时，的值最小，    ∵，，∴，，∴， ∵，∴，解得， ∴的最小值为，故选：． 27．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，．点为边上任意一点，连结，以，为邻边作，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：，，， ，，，， 设，交于点，过点作， 四边形是平行四边形，，， 最短也就是最短，当与重合时，的值才是最小， 则的最小值为，故答案为：． 28．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为_________．    【答案】/ 【详解】如图，过点B作于点，连接      根据菱形的性质可得，根据轴对称的性质可得， 要使最大，则需最小，∴根据垂线段最短这个定理，当时，此时最短， ∴四边形是矩形，，在中，， ∴，即最小值为，最大值为，故填：．   1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形边长为8，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为 ．    2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点．（1）若，则的长度为 ；（2）若是边上的动点，则的最小值为 ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点M在边上，，P为正方形内（含边上）一点，且，G为边上一动点，连接，则的最小值为 ．    4．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，菱形，P为对角线上一动点，E为边的中点，连接．若菱形的面积为，，则的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，将线段沿x轴平移得到，连接，则的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，边、分别在轴、轴的正半轴上，点、在直线上，且点、分别是、的中点．点、分别是、上的动点，且，若，则的最小值为 ． 7．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为边的中点．若E，F为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点F的坐标为    8．（23-24八年级下·广东广州·期末）在矩形中，，，G，H分别是边与边上的点，且．动点P从点D出发，沿向点A运动，同时动点Q从点B出发，沿向点C运动，点P，Q的运动速度都是，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t．连接，，，．(1)如图1，求证：四边形为平行四边形；(2)在点P，Q移动的过程中，求四边形周长的最小值；(3)如图2，当四边形是菱形时，且，求t的值．    9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 10．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 11．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 12．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图1，在等边三角形中，，点分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)求证：是等边三角形；(2)当点P在线段上运动时，求与之间的数量关系； (3)如图2，当点在线段的延长线上运动时． ①__________度；②当时，求的长；(4)连接，直接写出的最小值． 13．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图①，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，以点B为旋转中心，将绕点B顺时针方向旋转，得到（点A，O的对应点分别为点，），求： (1)__________；(2)求的值；(3)延伸迁移：如图②，中，，，，点P是三角形内一动点，请直接写出的最小值． 14．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）问题情境：课堂上老师提出如下问题：如图，在等边内有任意一点，连接，，，将等边分成三个小三角形．请利用三角板，将以点为旋转中心，逆时针旋转，画出旋转后的图形． (1)数学思考：请你按要求在图1中完成画图．(2)老师又给出了一组具体的数值，，，，要求同学们求的度数．请你利用在图1中画出的图形，完成解答． (3) 深入探究：“智慧小组”的同学发现，点的位置不是唯一确定的，，，的长度只要满足一定的关系，的度数可以同上题②中的结论一样．请你写出三者之间应满足的关系：___（直接写出答案） (4) “创新小组”的同学在“智慧小组”发现的基础上，又提出了新问题，并经过探索做出了猜想，得到了老师的肯定． 新问题：设等边三角形的边长为4，当的度数是多少时，点就是唯一存在的呢？ 探索过程：研究了将以点为旋转中心，顺时针旋转所得到的图形． 猜想：当的值最小时，可以求出的度数，此时点就是唯一的．请你求出这个最小值是______，此时的度数为______．（直接写出答案） 15．（2024·山东青岛·二模）（1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． 如图1，在等边三角形内部有一点P，，，．求的度数． 解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，，． 为______三角形 的度数为______． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P，若，试判断线段之间的数量关系，并说明理由． （3）联想拓展：如图3，在中，，．点P在直线上方且，试判断是否存在常数k，满足．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由， 16．（2024九年级上·浙江·专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究：(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决：(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 17.（2024·重庆校考一模）如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 　　． 18．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 19．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 20．（2024·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值为 ． 21．（2024年湖北三模）如图，已知，，，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为 ． 22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题：（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究：（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 24．（2023·河南新乡·一模）如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为 ． 25．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则的最小值为 ． 26．（2023上·广东茂名·九年级校考期中）如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，．点为边上任意一点，连结，以，为邻边作，连结，则的最小值为 ． 28．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为_________．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$