专题13 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题13.特殊的平行四边形中的的图形变换模型--翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 30 模型3.正方形的翻折模型 54 74 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，若，，则的长度为（    ）    A． B． C． D．3 例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在矩形中，，翻折，使点落在对角线上处．(1)__________；是的__________．（中线、角平分线、高线）(2)求和的长．    例4．（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 ．    例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点C与点A重合，则的长为（    ）    A．20 B．18 C．16 D．15 例6．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E，F分别为边和上的两个动点，满足．将四边形沿直线翻折，得到四边形，其中G为A的对称点．当点G落在直线上时，的长为 ．      例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时， ．    例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023春·重庆八年级专题练习）如图，在菱形 中，，将菱形折叠，使点 恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ，，则 的长为 ． 例2．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则点E、F分别为边、的中点．若，，则 ．    例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为 ．    例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片中，，P为中点．折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为（　　）    A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5 例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ． 模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，是的中点，连接，则的长度是 ．    例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（    ） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm． 例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形中，，将其沿翻折，使，顶点恰好落在线段上的点处，点的对应点为点．则线段的长为 ．    例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）． 例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求 . 例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 1．（2024·湖北·八年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北恩施·八年级校考期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 3．（2024·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（　　）    A． B．8 C．12 D．16 4．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是CD上的一点，且DE＝2，将正方形沿AE翻折，点D落在点M处，延长EM交BC于点F，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，与交于点E．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7.（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 8．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，①如图1，若，，则 ；②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是 ． 9．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    10．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 12．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 ．    13．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的值为 ． 14．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    15．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ． 16．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．    (1)求证：．(2)过点作交射线于点．①求的度数；②直接写出线段与之间的数量关系． 17．（2024·江西·九年级统考期中）【操作体验】 如图，在正方形中，点在边上，点在边上．将四边形沿直线翻折，得到四边形，顶点落在边上的点（不与点、重合）处，点落在正方形右侧的点处，与相交于点． （1）在图1中，若，，则______，的度数为____________ 【操作体验】（2）当时，如图2，求证：． 【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕的变化，的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与的周长的关系．      18．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.特殊的平行四边形中的的图形变换模型--翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 30 模型3.正方形的翻折模型 54 74 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，若，，则的长度为（    ）    A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】连接，为矩形， 是的中点 由 翻折得到， ，， ，设 ，则 . 在和中 在 中即 解得：故选A    例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：取的中点E，连接，∵四边形为矩形，∴，，    根据折叠的性质可得，， ∵，∴，在中，， ∵点E为的中点，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：B． 例3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在矩形中，，翻折，使点落在对角线上处．(1)__________；是的__________．（中线、角平分线、高线）(2)求和的长．    【答案】(1)，角平分线(2)， 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴， ∵，∴在中，， ∵翻折，使点落在对角线上处，∴, ∴是的角平分线,故答案为：，角平分线； （2）解：由折叠知：，∴ 设，在中，运用勾股定理得：解得：即： 例4．（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 ．    【答案】 【详解】解：点N为的中点，∴， ∵是矩形，∴，，∴， 又∵沿翻折，得到，∴，，， ∴，∴，在中，， ∴，故答案为：． 例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点C与点A重合，则的长为（    ）    A．20 B．18 C．16 D．15 【答案】D 【详解】解：设，则，∵沿翻折后点C与点A重合，∴， 在中，，即，解得， ∴，由翻折的性质得，， ∵矩形的对边，∴，∴，∴，故选：D． 例6．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E，F分别为边和上的两个动点，满足．将四边形沿直线翻折，得到四边形，其中G为A的对称点．当点G落在直线上时，的长为 ．      【答案】2 【详解】解：连接交于点O，连接、、， ∵四边形是矩形，∴，且， ∵点G和点A关于对称，∴垂直且平分，∴， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴点O是矩形的中心，∴，∴， ∴当点G落在直线上时，点D与点G重合，∴，， ∵,∴，故答案为：2．    例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时， ．    【答案】3 【详解】解：在矩形中，，，∴，， ∵翻折，∴，，，，∴， 又，∴，设，则，，， ∴，∴，∴．故答案为：3．    例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 【答案】(1)45；2(2)；(3)2或 【详解】（1）∵，四边形是矩形，∴四边形是正方形，∴，， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，∵，∴， ∵F为的中点，∴， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2； （2）如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴， ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，，∴，即，解得． （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，∴， 在和中， ，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，设，，， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为2或． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023春·重庆八年级专题练习）如图，在菱形 中，，将菱形折叠，使点 恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ，，则 的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：过点作于，则由折叠性质得， ∵在菱形 中，，∴,，∴是等边三角形， ∴，，即， ∴，，设，则，，， 在中，，由得， 解得，∴． 例2．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则点E、F分别为边、的中点．若，，则 ．    【答案】 【详解】解：连接、，如图所示：    ∵点O为对角线的交点，∴、交于点O，∵四边形为菱形， ∴，，，，， ∵为的中点，∴，∵，， ∴，∵，∴为等边三角形， ∴，∴，∴， ∴，∵点E、F分别为边、的中点，∴．故答案为：. 例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为 ．    【答案】 【详解】解：过点作与的延长线交于点E，    ∵四边形是菱形，∴，， ∵是的中点，∴，∵，∴， ∴，∴，设，则， 由折叠的性质知：，在中，， ∴，解得：，，即的长为，故答案为：． 例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片中，，P为中点．折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在菱形纸片中，，∴，连接， ∴为等边三角形，∵P为中点，∴，∵，∴，∴， ∵折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为， ∴，∴；故选D． 例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为（　　）    A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5 【答案】A 【详解】解：连接、，如图，    ∵点O为菱形的对角线的交点，∴，，， 在中，，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕，∴， ∴，∴，故选：A． 例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ． 【答案】30°/30度 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°， 由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD， ∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°， ∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°,∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案为:30°． 模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，是的中点，连接，则的长度是 ．    【答案】 【详解】解：四边形是正方形，，， 是的中点，，在中，由勾股定理，得， 是由翻折得到的，是直角三角形，， 是的中点，，故答案为：． 例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（    ） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 【答案】D 【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点， 由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x， ∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx， 在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2， 解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2， ∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2， 在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D． 例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm． 【答案】 【详解】解：∵ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E、F分别为AB，CD的中点， ∴AE＝DF＝2cm，EF＝AD＝4cm， ∵沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，∴AG＝A′G，AD＝A′D＝4cm， 在Rt△DFA′中，，∴， 在Rt△A′EG中，设EG＝x，则A′G=AG=(2−x)cm，， 即，解得．故答案为：． 例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形中，，将其沿翻折，使，顶点恰好落在线段上的点处，点的对应点为点．则线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：设，正方形中，，，， ，，四边形是四边形折叠得到， ，，， 在中，，即，解得， 经检验是原方程的解，原方程的解为，，故答案为：． 例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【详解】∵四边形是正方形，∴，AB＝BC＝CD=AD＝6， ∵，∴DE＝2，∴CE＝4， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝2，∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB， 在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确； ∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴， ∵，∴， ∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正确；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2， ∵ CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确； ∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC， ∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确； 故答案为：①②③④． 例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求 . 【答案】 【详解】作于点，由折叠可知：，， ∴正方形边长 ∴.故答案为. 例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析．(3) 【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴． ∵，∴为等腰直角三角形．∴． ∴．∴．∴． ∴．∴． （2），理由如下：如图所示，连接，交于点．       根据题意可知为线段的垂直平分线，∴． ∵为中点，∴，即． （3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，． 在和中，∴．∴．∴． 观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． ∴． 1．（2024·湖北·八年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长交于点G， ∵四边形是菱形，，∴，∴ 由折叠的性质可知，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， 设，则，∴， 在中，依据勾股定理可得，∴， 解得，（负值已舍去）∴，故选B． 2．（2024·湖北恩施·八年级校考期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 【答案】C 【详解】解：如图：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°， ∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°， ∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°， 在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选C． 3．（2024·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（　　）    A． B．8 C．12 D．16 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∵为的中点，∴， ∵沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得， ∴，，，连接，如图：    ∴，∴，∴， 设，则,，，， 在中，，即，解得：（负值舍去）， ∴，∴，∴．故选：A． 4．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是CD上的一点，且DE＝2，将正方形沿AE翻折，点D落在点M处，延长EM交BC于点F，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝5， ∵DE＝2，∴CE＝3，由折叠的性质得：ME＝DE＝2，∠AME＝∠D＝90°，AM＝AD， ∴∠AMF＝90°，AB＝AM，在Rt△ABF和Rt△AMF中，， ∴Rt△ABF≌Rt△AMF（HL），∴BF＝MF，设BF＝MF＝x，则CF＝5﹣x，EF＝2+x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝，∴BF＝，故选：D． 5．（2024·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：连接，∵四边形是菱形，∴，，∴是等边三角形，∵E是边的中点，∴，∴， 由折叠得，∴，∵，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∴，即，故②正确；连接，由折叠得，∴，∵，∴，∴，故③正确； 过点F作于点M，∵， ∴，由折叠得，∴，∴， ∵，∴，设，则， ∴，，∵，∴，∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误；故选：B． 6．（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，与交于点E．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形中，∴，∴， 由折叠的性质得，∴， ∴，由折叠的性质得， ∴，故选：A. 7.（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的边长为，，， 点是边的中点，，连接，        ，将沿翻折得到，， ，当点、、三点共线时，最小， ∴的最小值为故选：A． 8．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，①如图1，若，，则 ；②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是 ． 【答案】 15 【详解】解：①如图，连接，则，四边形为矩形，，， ，，，， 在中，， 根据折叠的性质可得，，，，，， ，，，， 在和中，，，，， ，四边形为菱形，设，则， 在中，，，解得：，， ，；故答案为：； ②如图，过点作的延长线于点， 四边形为平行，，，，，，， 根据折叠的性质可得，，，，， ，，，，， 在和中，，，，， ，四边形为菱形，，，，， 设，则，，在中，， ，解得：，，．故答案为：15． 9．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，，， 由折叠得：，，，， ，，，， 四边形是平行四边形，． 故答案：． 10．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，        ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴，设，则，则 ∴即 ∴ ∴，∴， ∵折叠，∴，∴，∵，∴， 又,∴，∴ 在中，即解得：，故答案为：． 11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或2 【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，当时，如图所示： ∵，∴点在上，根据折叠可知：，， 设，则，∴， ，在中，根据勾股定理得：， 即，解得：，即； 当，如图所示：根据折叠可知：，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴；综上分析可知：或2．故答案为：或2， 12．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 ．    【答案】或 【详解】解 ：①当点再线段上运动时：由题意得：∴       ∵∴四边形为矩形 ∴∴， 设，则 在 ∴解得： 点F运动的距离为： ②当点再线段上运动时： 由题意得：∴ ∵ ∴，∴ 设，，则 在∴ 在∴解得： 点F运动的距离为：，故答案为：或9 13．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的值为 ． 【答案】 【详解】连接，， ∵为中点，，∴为等边三角形，∴，． 设，则，，在中，， ，解得，∴，，∴． 14．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，， ∴，解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 15．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，由题意得，， 四边形是菱形，，， 为等边三角形，，设，则， 在中，，，在中，， 即，解得，，即，故答案为：． 16．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．    (1)求证：．(2)过点作交射线于点．①求的度数；②直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∴，∴； （2）①如图，∵点D与点F关系对称，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴； ②过点A作点P，    ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，， ∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴． 17．（2024·江西·九年级统考期中）【操作体验】 如图，在正方形中，点在边上，点在边上．将四边形沿直线翻折，得到四边形，顶点落在边上的点（不与点、重合）处，点落在正方形右侧的点处，与相交于点． （1）在图1中，若，，则______，的度数为____________ 【操作体验】（2）当时，如图2，求证：． 【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕的变化，的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与的周长的关系．      【答案】（1），；（2）见解析；（3）不会，三角形的周长是正方形周长的一半，证明见解析 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴在中，， 由折叠的性质可知：，∴， ∴，由折叠的性质可知：，， ∵，∴，∴， ∵，∴， 故答案为，； （2）证明：∵四边形是正方形，∴，， 由折叠的性质可知：，， ∵，∴在中，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，由折叠的性质可知：，， ∴在中，，∴， （3）解：的周长不会发生变化，理由如下： ∵四边形是正方形，∴，， 设正方形边长为，，∴，， ∴周长为，设周长为， 由折叠的性质可得：，，∴， ∵，∴，∴， ∴，，得， ∵四边形的周长为，∴的周长是四边形的周长的， ∴当正方形边长不变时，随着折痕的变化，的周长不会发生变化，的周长是正方形周长的． 18．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）当时，，故答案为：． （2）如图（2），连接，            设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则根据折叠，可得，， 在中，，∴， 在中，∴ 解得：∴∴矩形是1阶奇妙矩形． （3）用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 矩形是2阶奇妙矩形， 理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，，∴， 在中， ∴解得：∴ 当时，∴矩形是2阶奇妙矩形． （4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则， 设，则根据折叠，可得，， 在中，，∴， 在中， ∴整理得， ∴四边形的边长为 矩形的周长为，∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$