专题09 六类几何最值模型专项训练-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题09. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。 1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， 菱形的边长为2，，中， PQ+QC的最小值为故答案为： 2．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值．（3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）    【答案】（1）；（2）的最小值为；（3）的长为500米，的长为1000米 【详解】解：（1）过B作于P，如图：          由垂线段最短可知，时，∵，∴， ∵，∴；故答案为：； （2）作E关于直线的对称点，连接交于P，如图： ∵E，关于直线对称，∴，∴， 当B，P，共线时，最小，最小值为的长度， ∵，∴，∵点E是的中点，∴， ∵E，关于直线对称，∴，∴， 在中，，∴的最小值为； （3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，如图： ∵由C，N关于对称，C，M关于对称，∴， ∴，当N，E，F，M共线时，此时最小； ∵，∴， ∵C，M关于对称，∴，∴， ∴米，由勾股定理得米，∴米， ∵，∴是等边三角形，∴米，∴米， ∵，∴，∵C，N关于对称，∴C，B，N共线，， ∴米，由勾股定理得米，∴米，∴， ∵，∴，∴， 在中，（米），在中，（米）， ∴（米），答：的长为500米，的长为1000米． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，若点P为BC上的动点，以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角△BPQ，∠BQP=90°，则PD+PQ的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题为求PD+PQ的最小值，即可转化为求PE+PQ的最小值，当E、P、Q共线时，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长DC使CE=CD，连接PE， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠PCD=∠PCE=90°，∴△PCD≌△PCE，∴PD=PE， 当E、P、Q共线时，PD+PQ=PE+PQ有最小值，最小值为EQ， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠QBP=∠QPB=45°，∴∠CPE=∠QPB=45°， ∴△PCD和△PCE都是等腰直角三角形，∴PC=CD=CE=8，BP=15-8=7，   ∴PE==8，PQ=BP=，∴EQ=PE+PQ==，∴PD+PQ的最小值为． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作D关于AE的对称点D′，交AE于F，再过D′作D′P′⊥AD于P′，交AE于N， 则DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝5， 当重合时，DQ+PQ ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′， ∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝25，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝25， ∴P′D′＝，即DQ+PQ的最小值为．故答案为： 5．（23-24八年级下·重庆·期中）已知菱形的面积为，且，连接对角线，相交于点O，点E是边上一点，连接交于M．    (1)如图1，当，求的长； (2)如图2，将绕点A顺时针旋转，点E对应点F，连接交于点G，连接，求证：； (3)如图3，将沿射线方向平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)证明过程见详解(3) 【详解】（1）解： 菱形中，， 是等边三角形三角形，，， ，， ，，，， ，即，，， ，； （2）截取，连接，在和中，， ，，将绕点A顺时针旋转，，       ，， ，，， 在和中，，，， ，即； （3）设交于点O，取的中点E，连接， 由题知，，且，四边形是平行四边形，， 点B与点D关于直线轴对称，点O在直线上，，，即， 由题知，O是的中点，，，， 是的中点，，即， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，过点作，交延长线于， ，，， ，，，，又， ，所以的最小值为． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知，，，点M、N在线段BD上，且，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：连接，将沿着方向进行平移至点与点重合，点的对应点为点，连接，如图所示：则：，    ∵，，，∴垂直平分，为等边三角形， ∴，，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴的最小值为的长，即为；故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵正方形，∴，， ∵E是的中点，∴，由勾股定理得，， ∵，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∵四边形是平行四边形， ∴，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∵，∴当A、G、N在一条直线上时最小，为， 故答案为：． 8．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在矩形中，，，∴，， 如图，分别作点A关于直线的对称点，点C关于直线的对称点，连接，，， 则，，，，∴， 过点作于G，则四边形是矩形，∴，，∴， ∴的最小值为：，故答案是：． 9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：为等边三角形，，， 将沿翻折，得到，，四边形为菱形， ∴，，，∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点，∴是边上的中线，的角平分线，∴，，， ∵，∴，∵，∴，，∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，故答案为：． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：在左侧作等边，连接， ，是等边三角形，， ，， 在和中，，， ，点Q在过点D且与垂直的直线上， 过点B作点Q运动轨迹的垂线，垂足为Q，此时取最小值， ，，， ，，，即最小值为，故答案为：． 11．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为等边三角形，为边上一点，为延长线上一点，．(1)若为的中点，连接．①补全图形；②判断的位置关系和数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，点关于直线的对称点是，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)①见解析；②，，证明见解析(2) 【详解】（1）解：①如图，根据题意，补全图形如下： ②，，证明如下： ∵为等边三角形，∴，∴， 如图，延长至点G，使，连接， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴是等边三角形，∵，∴，∴； （2）如图，交的延长线于点G，连接，作交于点H， ∵点关于直线的对称点是，∴，∴，． ∵为的中点，∴．∵，∴，∴． ∵为等边三角形，∴，∴． ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，，∴，，∴． ∵，∴，∴，∴， ∴，∴当最短时，取得最小值．由垂线段最短可知，当时，最短， ∵，∴，∴，即的最小值是． 12．（2024·安徽马鞍山·二模）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（    ） A．的面积为 B．的最小值为1 C．周长的最小值为 D．为直角三角形时，的面积为 【答案】D 【详解】解：由题意得： ∵∴ ∴的面积，故A正确； 当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，作如图所示：          由题意可知：点在线段上运动∴当时，有最小值 ∵∴， ∵∴,∴ ∵∴∴ ∵，为中点∴，故B正确； 作点关于的对称点，连接，如图所示： ∵ 又∴ ∵∴ ∵∴是等边三角形∴∴，故C正确； 由以上分析可知：,若，如图所示： 则，∴的面积 若，如图所示：则 ∴的面积故D错误；故选：D 13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在和中，，且，则可证明得到． 【初步探究】（1）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．请写出与的数量关系并说明理由； 【思维提升】（2）如图3，在中，以为边向外作等边，连接，，求长． 【拓展应用】（3）如图4，在中，，作交于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，则的最小值为_______． 【答案】（1），理由见解析；（2）5；（3）． 【详解】解：（1），理由如下：在等边中，， 由旋转可得，，∴，， 即，，； （2）如图，作等边三角形，连接，，， ，，，∴，同（1）可证，； （3）如图，，，，， 将绕点A按顺时针方向旋转得到线段，， ∵线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，， ，，，， ∴点在与定线段成的直线m上运动，作点A关于直线m的对称点F，交m于点G，连接，交直线m于点，此时的最小，最小值是的长， ，，， ，，，，即的最小值为：． 14．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，，，，为内一点，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ，． 如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质得，，，， 是等边三角形，，， 当点P，F在直线上时，等号成立，取最小值． ，． 的最小值为．故答案为：． 15．（2024上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则：， ∴为等边三角形，∴，∴， 当四点共线时，的值最小，为的长， ∵，∴，过点作轴，则：， ∴，∴，∴，即点在轴上；过点作轴于点， ∵，∴，，∴，∴， 即：的最小值为．故答案为：． 16．（2024·江苏·八年级期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)． 【详解】(1)解：连结PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形，∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°， 在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°； (2)证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP， ∵，∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∴点P在CB′上，∴过的费马点． (3)解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∵，，，∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°， ∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=； (4)解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵，∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+， ∴AB′=，∴最小=AB′=． 17．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，， 如图，过作于，过作于， ∴，，∴，， ∴当三点共线，且时，的值最小，为， 由勾股定理得，，故答案为：． 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形中，和分别在边和边上移动，且，，如果，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，， ∴，∴，设正方形边长为a，则， 在中，由勾股定理得，，设， 则在中，由勾股定理得： ，解得：， 即，故问题转化为求a的最小值，∵，即时，最小，正方形边长a最小，∵时，，∴，∴，故答案为：． 19．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 20．（2024·江苏连云港·二模）如图，在中，，，为边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝5，接BF、FG、BG， ∵，为边的中点∴AD⊥BC∴∠GAD=∠ACD=90°-∠CAD 又∵AG＝BC，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝BE， ∵FB＝FC，∴BE+CF＝GF+BF，∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小， ∴GF+BF的最小值时线段BG的长， ∵∠BAG＝90°，AB＝6，AG＝5，∴即BE+CF的最小值为． 21．（2024·陕西·模拟预测）如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF=AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为 ． 【答案】2． 【详解】如图，作点C关于直线B的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE．∵CA=CB，∠C=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°， ∵C，D关于AB对称，∴DA=DB，∠DAB=∠CAB=45°，∠ABD=∠ABC=45°， ∴∠CAD=∠CBD=∠ADC=∠C=90°，∴四边形ACBD是矩形，∵CA=CB，∴四边形ACBD是正方形， ∵CF=AE，CA=DA，∠C=∠EAD=90°，∴△ACF≌△DAE（SAS），∴AF=DE，∴AF+BE=ED+EB， ∵CA垂直平分线段DH，∴ED=EH，∴AF+BE=EB+EH， ∵EB+EH≥BH，∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH=， ∴AF+BE的最小值为2，故答案为2． 22．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形，∴，， ∵，，∴为等腰直角三角形，∴， ∴，， ∴， 在中，，∴的最小值为．故答案为：． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，连接，在上方作，使，，连接交轴于点，∵，，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，（当三点共线时最短） ∵，∴， ∴的最小值是，故答案为． 24.（2024·天津滨海新·二模）如图，四边形是正方形，边长为，是边上的动点，在正方形的外侧以为边作正方形，连接，若为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，延长交点，连接，则， ∵四边形是正方形，∴    ，∴为等腰直角三角形，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴，∴点为的中点， ∵为的中点，∴为的中位线，∴，∴当取最小值时，取最小值时， 当时，的值最小，此时，点为的中点，， ∴，故答案为：． 25．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段为边在的右上方作等腰直角，，连接，在点P运动的过程中，线段长度的最小值为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转到，连接， ∴由旋转可知，，，，， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ，，∴，∴，即C是定点，∴当最小时，最小， ∴当轴时，最小，最小值为1．线段长度的最小值为1．故答案为：1． 26．（2024·内蒙古·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD， 由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5， 当CD⊥AB时，∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC， ∴CD＝＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：． 27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    【答案】； 【详解】解：连接交于点O，过点O作于点K，交于点T，过点A作交的延长线于点M，取的中点R，连接，如图：    ∵，，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴， ∵折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴的最小值为， ∴的最大值为，故答案为：； 28．（2023春·江苏·八年级校考期中），，，E为上一动点，连接，以为邻边作，的最小值为_________．    【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∴当时，有最小值，即有最小值，过点B作交于点F，    ∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，即，∴四边形是矩形，∴，在中，，， ∴，∴，∴，∴，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。 1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 2．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值．（3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）    3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，若点P为BC上的动点，以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角△BPQ，∠BQP=90°，则PD+PQ的最小值为 ． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ． 5．（23-24八年级下·重庆·期中）已知菱形的面积为，且，连接对角线，相交于点O，点E是边上一点，连接交于M．(1)如图1，当，求的长； (2)如图2，将绕点A顺时针旋转，点E对应点F，连接交于点G，连接，求证：； (3)如图3，将沿射线方向平移，得到，连接，，请直接写出的最小值．    6．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知，，，点M、N在线段BD上，且，则的最小值为 ．    7．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ． 8．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段、上的动点，且，则的最小值为 ． 9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ． 11．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为等边三角形，为边上一点，为延长线上一点，．(1)若为的中点，连接．①补全图形；②判断的位置关系和数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，点关于直线的对称点是，连接，若，直接写出的最小值． 12．（2024·安徽马鞍山·二模）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（    ） A．的面积为 B．的最小值为1 C．周长的最小值为 D．为直角三角形时，的面积为 13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在和中，，且，则可证明得到． 【初步探究】（1）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．请写出与的数量关系并说明理由； 【思维提升】（2）如图3，在中，以为边向外作等边，连接，，求长． 【拓展应用】（3）如图4，在中，，作交于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，则的最小值为_______． 14．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，，，，为内一点，连接、、，则的最小值为 ． 15．（2024上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ． 16．（2024·江苏·八年级期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 17．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形中，和分别在边和边上移动，且，，如果，则的最小值为 ． 19．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 20．（2024·江苏连云港·二模）如图，在中，，，为边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且，则的最小值是 ． 21．（2024·陕西·模拟预测）如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF=AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为 ． 22．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 24.（2024·天津滨海新·二模）如图，四边形是正方形，边长为，是边上的动点，在正方形的外侧以为边作正方形，连接，若为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 25．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段为边在的右上方作等腰直角，，连接，在点P运动的过程中，线段长度的最小值为 ． 26．（2024·内蒙古·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为_____． 27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    28．（2023春·江苏·八年级校考期中），，，E为上一动点，连接，以为邻边作，的最小值为_________．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$