专题04 数列与立体几何-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（天津专用）

专题04 数列与立体几何 题型概览 题型01 等差、等比数列 题型02 数列通项与求和 题型03 数列的综合应用 题型04 平行垂直的判断 题型05 外接球、内切球 题型06 空间几何体表面积与体积 题型07 线线角、线面角、二面角 ( 题型01 ) 等差、等比数列 1．（2025·天津红桥·一模）等比数列的前n项和为，且，，则（    ） A．24 B．28 C．36 D．48 【答案】B 【解析】设公比为，则， 所以， 所以. 故选：B 2．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【解析】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A ( 题型02 ) 数列通项与求和 3．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 【答案】 【解析】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 4．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 【解析】（1）， 则，因.则两式相减得：. 又各项均为正数，则. 又时，， 则是以1为首项，公差为2的等差数列， 则，； （2）由（1）时， 则. 则，， 当，设， 注意到 ，其中为小于的最大整数. 则当，其中时， . 则当时， . 又注意到时，. 则. 5．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列中的项落在区间中的项数为． （i）求数列的前项和； （ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求． 【解析】（1）设数列的公差为， 因为为等比数列，且，，， 所以， 所以， 解得或(不合题意，舍去)， 又因，所以， 设数列的公比为， 因为，所以， 所以， 又因，所以， 所以． （2）（i），， 数列中的项落在区间中的项数满足， 即， 因为， ， 数列中的项落在区间中的项数为， 所以， 所以， 方法一： ， ， 所以． 方法二：， （ii）当时，，则， 所以 又因为， 所以，解得， 所以当时， 所以 ， 所以， 所以， 综上． 6．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 【解析】（1）因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为， 所以，， 设等比数列的公比为， 由可得，解得，则. （2）当为奇数时，， 设数列奇数项的和为， 则. 当为偶数时，，设数列的偶数项的和为， 则， 可得， 上述两个等式作差得 ， 整理可得， 所以，. （3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数， 若，则，与已知矛盾； 若，则，与已知矛盾，所以，， 又因为， 所以，， 即、、、、，共个解，故. 7．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中． （i）记，．证明：是等差数列； （ii）求． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，且， 所以，解得， 所以； （2）（i）由（1）可知，又其中， 所以其中， 当为奇数时，， 所以， 所以，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （ii）令， 而， ， 所以. 8．（2025·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 【解析】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，. （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即. （3）证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以. 9．（2025·天津河北·一模）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . ( 题型03 ) 数列的综合应用 10．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，即①， ，即②， 将①代入②得，因为，解得， 所以． （2）（i）令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得， 因为， 所以的最大值为5． （ii）由（i）知，则，所以． 设①， 则②， ①②得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 11．（2025·天津和平·一模）已知，记无穷数列的前项中的最大值为，最小值为，令. (1)若，求数列的通项公式与其前项和； (2)若数列为递增的等差数列，判断数列是否也一定为递增的等差数列，并说明理由； (3)若，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得为等差数列？如果存在，求出所有的值，如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）由，即，当时，，当时， 为偶数，， 为奇数，且， 故 当时，， 当时，， 所以， （2）若为递增的等差数列，设其公差为，则， 所以，， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾，所以， 所以，是递增的数列.由， 所以，是公差为的等差数列，因此数列为递增的等差数列得证. （3）若，由（2）可知也为等差数列，且公差为， ，， ， ， ，所以. 若存在正整数，使得成等差数列，即， ，即①， 令，，所以单调递减，， 所以若①式成立，则，所以， 类似的单调性，可得是单调减函数， 由于， 所以上面关于的方程存在唯一解. 因此存在唯一一组正整数，使得为等差数列. ( 题型04 ) 平行垂直的判断 12．（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解析】A.若，，则或，故A错误； B. 若，，，则，故B正确； C. 若，，则或与相交，故C错误； D. 若，，，则或异面，故D错误. 故选：B 13．（2025·天津·一模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 14．（2025·天津宁河·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（   ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，又，可得; 反之，若，不一定有， 如图，，，但. 所以是的必要不充分条件. 故选：. ( 题型05 ) 外接球、内切球 15．（2025·天津·一模）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的面积为，设的半径为，则，解得， 又，所以为等边三角形，则，所以， 设球的半径为，所以， 所以球的表面积. 故选：C 16．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. ( 题型06 ) 空间几何体表面积与体积 17．（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面， 所以面，则上任意一点到面的距离为定值， 又，则， 由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等， 所以. 故选：D 18．（2025·天津·一模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源．如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在矩形中，有，， 因为，，平面，所以平面 则平面，因为平面，所以，， 在中，由，，则， 又因为的中点，则，易知，， 易知，则，因，则， 在中，， 则矩形的面积， 因为，，，平面，所以平面， 多面体的体积. 故选：A. 19．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. ( 题型07 ) 线线角、线面角、二面角 20．（2025·天津红桥·一模）如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 【解析】（1）如图所示， 建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， ， 则 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因为， 所以，且平面，即∥平面； （2）设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）由，平面的法向量， 则平面， 所以点到平面的距离为． 21．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【解析】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 22．（2025·天津和平·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）平面平面，交线为，过在平面内作， 故平面，又因为， 因此以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系. 由已知，求得， 所以. ，因为， 设平面的法向量为，则 令，则， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为. （2）易知平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为， 则点到平面的距离为. 23．（2025·天津河西·一模）如图所示，在几何体中，底面，，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 【解析】（1）由底面，，得直线两两垂直， 以点为原点，直线两两垂直分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 显然是平面的一个法向量，而，， 即，因此平面，又平面， 所以平面. （2）由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知，，设平面的法向量， 则，令，得， 由（2）知平面的法向量，由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得， 所以线段的长为. 24．（2025·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）取中点，连接，因为，所以． 又面面，面，面面， 所以平面． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以． 设为平面的一个法向量，则，得， 令，则，从而． 因为，所以． 因为，所以，又平面，则平面． （2）设与平面的夹角为，则． （3）显然，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则． 25．（2025·天津·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意，以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，，为棱的中点， 可得、、、、、、、、， 则， 设平面的法向量为， 因为，， 且，可得， 取，则，，所以， 则，故， 因为平面，所以平面． （2）由（1）可得为平面的一个法向量， 又， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）易知是平面的一个法向量， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为. 26．（2025·天津河东·一模）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 【解析】（1）取的中点为，连接，如下图： 因为为的中点，所以，由，则， 因为，所以四边形是平行四边形，则，且， 因为在正方形中，且，即且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. （2）由，则， 在正方形中，，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，由，则. （3）由题意作图如下： 设，则， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得， 即，由，则，即， 故点为靠近的四等分点. 27．（2025·天津红桥·一模）在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）∵底面，底面，底面， ∴，，又∵， ∴以为原点，为轴，为y轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， ∴，，，，， ∴，平面平面，∴平面的一个法向量， ∵，∴， 故平面. （2）由（1）知， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， ∴. （3）由（1）知，设， 则，则， ∵，∴，∴，即， ∴，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， ∵平面平面，∴平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， ∴. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列与立体几何 题型概览 题型01 等差、等比数列 题型02 数列通项与求和 题型03 数列的综合应用 题型04 平行垂直的判断 题型05 外接球、内切球 题型06 空间几何体表面积与体积 题型07 线线角、线面角、二面角 ( 题型01 ) 等差、等比数列 1．（2025·天津红桥·一模）等比数列的前n项和为，且，，则（    ） A．24 B．28 C．36 D．48 2．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 ( 题型02 ) 数列通项与求和 3．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 4．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 5．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列中的项落在区间中的项数为． （i）求数列的前项和； （ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求． 6．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 7．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中． （i）记，．证明：是等差数列； （ii）求． 8．（2025·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 9．（2025·天津河北·一模）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． ( 题型03 ) 数列的综合应用 10．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 11．（2025·天津和平·一模）已知，记无穷数列的前项中的最大值为，最小值为，令. (1)若，求数列的通项公式与其前项和； (2)若数列为递增的等差数列，判断数列是否也一定为递增的等差数列，并说明理由； (3)若，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得为等差数列？如果存在，求出所有的值，如果不存在，请说明理由. ( 题型04 ) 平行垂直的判断 12．（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 13．（2025·天津·一模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．（2025·天津宁河·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（   ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条 D．既不充分也不必要条件 ( 题型05 ) 外接球、内切球 15．（2025·天津·一模）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． ( 题型06 ) 空间几何体表面积与体积 17．（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·天津·一模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源．如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． ( 题型07 ) 线线角、线面角、二面角 20．（2025·天津红桥·一模）如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 21．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 22．（2025·天津和平·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 23．（2025·天津河西·一模）如图所示，在几何体中，底面，，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 24．（2025·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 25．（2025·天津·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 26．（2025·天津河东·一模）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 27．（2025·天津红桥·一模）在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$