专题02 函数与导数-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（天津专用）

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数的图像 题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型03 指对幂比较大小 题型04 函数与方程的综合应用 题型05 函数模型 题型06 恒成立与能成立问题 题型07 证明不等式问题 题型08 切线问题 ( 题型01 ) 函数的图像 1．（2025·天津河东区·一模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D. 由题得，所以排除选项C. 故选A 2．（2025·天津武清区·一模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为， 当时，，所以，不符合题意，故A错误； 对于B：定义域为， 且， 所以为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误； 对于D：定义域为， 且， 所以为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误； 对于C：定义域为，， 所以为奇函数， 且当时，，所以，符合题意，故C正确； 故选：C 3．（2025·天津市·一测）函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】由函数， 可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1； 在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零， 结合所给的选项，只有B项满足条件， 故选：B． ( 题型02 ) 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 4．（2025·天津宁河区·一模）下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由，， 所以为偶函数， 又，又，所以， 所以在上为增函数，故A正确； 对于B，，所以， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，，， 所以为奇函数，故C错误； 对于D，，， 所以为偶函数，又，所以， 所以在上为减函数，，故D错误. 故选：A. 5．（2025·天津宝坻区·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：函数定义为，，是偶函数，A选项不正确； B选项：函数定义为，，是奇函数， 函数在上单调递增，在上单调递减，B选项不正确； C选项：函数定义为，，是奇函数， 因为，所以函数在定义域内单调递增，C选项正确； D选项：函数定义为，，是奇函数， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，D选项不正确. 故选：C. 6．（2025·天津宁河区·一模）已知函数，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时， 所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，解得. 故答案为： ( 题型03 ) 指对幂比较大小 7．（2025·天津宁河区·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得在上单调递减，在上单调递增， 在R上单调递增， 故， 故， 故选：A 8．（2025·天津河东区·一模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 又， 因为函数，在上单调递减，且，又因为， 所以，所以，即，所以， ，即． 故选：C． 9．（2025·天津武清区·一模）已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递减，所以，即； 因为函数在上单调递减，所以，即； 因为函数在上单调递减，所以，即. 所以：. 故选：B 10．（2025·天津宝坻区·一模）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， ， 所以， 所以， 故选：A. ( 题型04 ) 函数与方程的综合应用 11．（2025·天津武清区·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 12．（2025·天津宝坻区·一模）已知函数，上有四个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 令，则， 又函数的图象如下所示： 要使函数，上有四个不同的零点， 对于关于的方程， 若，则或， 当时，解得，此时有且仅有个不同的零点，不符合题意； 当时，解得，此时无零点，不符合题意； 若为方程的一个根，则，则方程有两个实数根和， 此时有且仅有个不同的零点，不符合题意； 所以有两个不相等实数根，且两根均大于， 令，则有两个零点，且两个零点均大于， 所以，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 13．（2025·天津河东区·一模）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，函数的图像如下图所示： 根据函数图像，函数在上单调递增，在上单调递减； 且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线. 令，则关于的方程即可写成 此时关于的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意）， 设为方程的两个实数根， 显然，有以下两种情况符合题意： ①当时，此时，则 ②当时，此时，则 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C. ( 题型05 ) 函数模型 14．（2025·天津宝坻区·一模）国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（    ）（参考数据：，.） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据题意可知时，；时，， ∴，解得． 故该函数模型的解析式为一月底，，； 当时，，一月底普姆克系数是， 令，得， 所以， 所以普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是5月. 故选：C ( 题型06 ) 恒成立与能成立问题 15．（2025·天津市·一测）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.根据可知， 令 由知为增函数， 所以恒成立， 分离参数得， 而当时，在时有最大值为， 故. 故选：D 16．（2025·天津市·一测）设函数，则函数的最小值为 ；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】的导数为， 则时，，单调递减；时，，单调递增， 可得在处取得极小值，且为最小值； 令，， 又对任意，存在， 有恒成立，即恒成立，即； 时，，当且仅当时取得最小值2， ，， 则时，，单调递减；时，，单调递增， 可得在处取得极小值，且为最小值； 所以，由，可得． 所以的取值范围是. 17．（2025·天津宁河区·一模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； (2)当时，，且，求证． (3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； 【解析】（1） , ∵曲线在处的切线的方程为， 所以 ， ∴ ； （2）当时，，则， 当时，，递减，当时，，递增， 由于，且，故不妨设， 则要证明，即证，而， 当时，递增，故即证， 由于，即只需证明， 令， 则， 当时， ， 即单调递减，故， 即时，，即有， 故原命题成立，即； （3）因为，， 所以，故函数在上单调递增， 不妨设，则 可化为，设，则， 所以为上的增函数，即在上恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 又，所以 ，所以， 对于函数，，当时，， 故在上是增函数，所以， 所以 ，即m的取值范围为. ( 题型07 ) 证明不等式问题 18．（2025·天津宝坻区·一模）已知函数. (1)求在处的瞬时变化率； (2)若恒成立，求的值； (3)求证：. 【解析】（1）则， 故在处的瞬时变化率为 （2）设 由条件可知恒成立， 由于，且的图象在定义域内是连续不间断的， 所以是的一个极大值点，则， 又所以解得 下证当时，对任意的恒成立， 令则， 由， 故函数在单调递增，在单调递减， 所以，即，而， 所以当时，， 综上，若恒成立，则， （3）由（2）可知， 所以 ， 先证,, 令，则，故在单调递增， 故，故，， 所以， 再证， 设， 则当时，单调递减， 当时，单调递增， 故当，故当且仅当时取等号， 故令，则故， 因此， 故， 综上可知： 19．（2025·天津武清区·一模）已知 曲线在点处的切线为. (1)当 时，求直线 的方程； (2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； (3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 【解析】（1）当时，，而，所以. 所以的方程是，即 （2）由于，故的方程可化为. 设，则直线的方程为. 令， 设，则对有，所以在上单调递增. 记， 则. 由于， 且 ， 故一定存在，使得，即. 而，故是与曲线的交点，且 （3）对，设. 则， 令，则， 令，. 由于当时，的导数， 故在上单调递增. 若，则. 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上无零点. 若，则. 由于对有， 故. 从而存在使. 结合在上单调递增，知对有， 从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以， 又由于对有 ， 故对有，从而当时， 有 . 结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点. 综上，对，函数在上存在零点的充要条件是. 最后，一方面因为，就有 ， 所以在上存在零点，故； 另一方面，对任意，取，则在上存在零点. 记该零点为，取，则 . 所以这样的满足原条件，且. 综上，的取值范围是. 20．（2025·天津市·一测）已知函数． (1)当，时，求的单调区间及极值； (2)若，且的最大值小于，求a的取值范围； (3)若，且关于x的方程有两个不等的实根，，，证明：． 【解析】（1）当，时，， 其定义域为，， 令，得或，令，得， x 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，有极大值， 当时，有极小值， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为， 极大值为，极小值为． （2）若，则，定义域为，， 当时，，在上单调递增，无最大值，不合题意，所以， 令，则，在上单调递增； 令，则，在上单调递减， 则， 因为的最大值小于，所以， 即在上恒成立． 设，问题转化为在上成立， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以，故a的取值范围为． （3）当时，，由，得， 即有两个不等的实数根，，且， 设，则，所以，即， 又，所以， 代入（*）式得，所以， 故， 从而． 设，则， 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以恒成立， 故，从而在上单调递增，所以， 从而，故，所以． ( 题型08 ) 切线问题 21．（2025·天津河东区·一模）已知函数，其中， (1)若， （i）当时，求的单调区间； （ii）曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． (2)证明：当时，存在直线，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线． 【解析】（1）（i）由时，且，则， 令，即，令，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （ii）， 两侧同时取对数，有， 设函数，则，令，有， 当时单调递增，当时单调递减， 所以，又，且时， 所以与有且仅有两个交点，即与有两个交点的充要条件为，即， 所以的取值范围为． （2）曲线在处的切线． 曲线在处的切线． 要证当时，存在直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 只需证明当时，存在，使得和重合． 只需证明当时，①，②两式有解， 由①得：，代入②得：③， 因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解． 设，即证明当时存在零点． 对于：时，且时单调递减， 又，故存在唯一，使． 由此，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值． 因为，故， 下面证明存在实数，使得． 令且，则， 所以在上递增，故，即， 当时，有， 根据二次函数的性质，存在实数使得，因此当时，存在使得． 所以当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数的图像 题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型03 指对幂比较大小 题型04 函数与方程的综合应用 题型05 函数模型 题型06 恒成立与能成立问题 题型07 证明不等式问题 题型08 切线问题 ( 题型01 ) 函数的图像 1．（2025·天津河东区·一模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津武清区·一模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津市·一测）函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   ( 题型02 ) 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 4．（2025·天津宁河区·一模）下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津宝坻区·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津宁河区·一模）已知函数，若，则实数a的取值范围是 . ( 题型03 ) 指对幂比较大小 7．（2025·天津宁河区·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津河东区·一模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津武清区·一模）已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·天津宝坻区·一模）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 函数与方程的综合应用 11．（2025·天津武清区·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 12．（2025·天津宝坻区·一模）已知函数，上有四个不同的零点，则实数的取值范围是 . 13．（2025·天津河东区·一模）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型05 ) 函数模型 14．（2025·天津宝坻区·一模）国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（    ）（参考数据：，.） A．3 B．4 C．5 D．6 ( 题型06 ) 恒成立与能成立问题 15．（2025·天津市·一测）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·天津市·一测）设函数，则函数的最小值为 ；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 ． 17．（2025·天津宁河区·一模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； (2)当时，，且，求证． (3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； ( 题型07 ) 证明不等式问题 18．（2025·天津宝坻区·一模）已知函数. (1)求在处的瞬时变化率； (2)若恒成立，求的值； (3)求证：. 19．（2025·天津武清区·一模）已知 曲线在点处的切线为. (1)当 时，求直线 的方程； (2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； (3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 20．（2025·天津市·一测）已知函数． (1)当，时，求的单调区间及极值； (2)若，且的最大值小于，求a的取值范围； (3)若，且关于x的方程有两个不等的实根，，，证明：． ( 题型08 ) 切线问题 21．（2025·天津河东区·一模）已知函数，其中， (1)若， （i）当时，求的单调区间； （ii）曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． (2)证明：当时，存在直线，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$