专题05 圆锥曲线与概率统计-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（天津专用）

专题05 圆锥曲线与概率统计 题型概览 题型01 直线与圆 题型02 椭圆及其性质 题型03 双曲线及其性质 题型04 抛物线及其性质 题型05 二项式定理 题型06 概率的计算 题型07 统计小题 ( 题型01 ) 直线与圆 1．（2025·天津南开·一模）已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为 ． 2．（2025·天津·一模）已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． ( 题型02 ) 椭圆及其性质 3．（2025·天津红桥·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 4．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 5．（2025·天津和平·一模）椭圆的左、右焦点分别为和，左顶点为，下顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，若在直线上存在一点，使得为面积是的等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程. 6．（2025·天津南开·一模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点． (1)求的方程； (2)过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率． 7．（2025·天津河西·一模）已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 8．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 9．（2025·天津武清·一模）已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. ( 题型03 ) 双曲线及其性质 10．（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 11．（2025·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 14．（2025·天津和平·一模）已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． ( 题型04 ) 抛物线及其性质 15．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 16．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 ( 题型05 ) 二项式定理 17．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 18．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是 ．（用数字填写答案） 19．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为 ． 20．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． ( 题型06 ) 概率的计算 21．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 22．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 23．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 24．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 25．（2025·天津·一模）某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为 ． 26．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 . ( 题型07 ) 统计小题 27．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 28．（2025·天津南开·一模）如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是（    ）    A． B． C． D． 29．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 30．（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（   ） A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 31．（2025·天津河东·一模）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，若，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 33．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆锥曲线与概率统计 题型概览 题型01 直线与圆 题型02 椭圆及其性质 题型03 双曲线及其性质 题型04 抛物线及其性质 题型05 二项式定理 题型06 概率的计算 题型07 统计小题 ( 题型01 ) 直线与圆 1．（2025·天津南开·一模）已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为 ． 【答案】 【解析】由题设，抛物线准线为，则，故， 由准线与圆相切且圆心，易知， 所以，即， 故到的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为： 2．（2025·天津·一模）已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． 【答案】 【解析】依题意，圆的方程为， 所以，所以圆心为，半径为， 所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为， 此时圆心到直线的距离为 或（舍去）. 故答案为： ( 题型02 ) 椭圆及其性质 3．（2025·天津红桥·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 【解析】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 可得，解得，椭圆. （2）设直线，联立方程组，整理得， 则且，可得，所以， 设，则， 则直线的方程为，与直线交于点， 直线的方程为，与直线交于点， 当时，且，则， 将， 代入可得，所以，解得， 所以斜率的取值范围为． 4．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 【解析】（1）由题意得：， 所以 所以椭圆方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且为正， 直线方程为， 因为三角形的面积是三角形面积的5倍 ∴ ∵  ∴ 又由题意可知、均在轴右侧，∴ 【算法一】设直线方程为，由，解得 ， 思路一： 所以 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 思路二：由得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 【算法二】设直线方程为， 由，解得， 思路一：． 所以由  得 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即．15分 思路二：得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即 5．（2025·天津和平·一模）椭圆的左、右焦点分别为和，左顶点为，下顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，若在直线上存在一点，使得为面积是的等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程. 【解析】（1）依题意，且， 所以，又，所以， 整理得. （2）由（1）有，故椭圆方程可写成. ①当直线斜率不存在时，直线为，显然不成立； ②当直线斜率存在时，设直线为，设直线与椭圆交于不同的两点中点为， 由方程组整理得 由已知可得，所以，且， ①， ②， ①②式代入，整理得，满足，即， 代入①式，求得， 故椭圆方程为， 直线方程为或. 6．（2025·天津南开·一模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点． (1)求的方程； (2)过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率． 【解析】（1）设的方程为且， 将两点代入得，解得， 故的方程为． （2）依题意，设直线， 联立，消去整理得， 则，即，且． 直线，直线， 令，则， 令，则， 由，得，即， 整理得， 因为，所以，解得， 所以直线的斜率为． 7．（2025·天津河西·一模）已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，则，半焦距， 又过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为， 由，得，于是，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，直线不垂直于轴， 设直线的方程为，， 由消去得，，， ， 于是，而， ，因此，设， 则，解得， 于是， 所以与的面积之比的取值范围是. 8．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 椭圆的左焦点为，即， 椭圆的短轴长为，，即，， 椭圆的方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，不合题意； 当直线的斜率为时，：， 此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，满足题意； 当直线的斜率存在且不为时，设：， 由，得， ，， ， 设的垂直平分线方程为， 由，得， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 化简得，，或(舍)，：， 综上，直线的方程为或. 9．（2025·天津武清·一模）已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1），即. 将代入，得，代入， 化简得，解得，（负值舍去），所以， 故椭圆的标准方程为. （2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，且，. 由圆和椭圆的对称性可知，，，. 由（1）知，，所以，. 因为，则，即，可得. 又因为点在椭圆上，所以，联立可得. 整理得，解得或. 当时，，重合，此时题设要求的圆不存在. 当时，. 过，分别与，垂直的直线的交点即为圆，设. 因为，即，解得. 则圆的半径. 所以圆的方程为. ( 题型03 ) 双曲线及其性质 10．（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】如图所示，设点在第一象限， ， 因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上. ，解得. 又因为，所以. 在中，，，， 所以，即. 所以，，， 即，所以. 故选：C 11．（2025·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 12．（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 13．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】①当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 化简可得，由，则； ②当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 由，则方程不成立. 故选：D. 14．（2025·天津和平·一模）已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则的横坐标都为， 代入双曲线方程得, 而，所以直线方程为， 令，得， 所以直线:，令得，， 因为，所以可得 ，整理得，所以. 故选：D. ( 题型04 ) 抛物线及其性质 15．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】 【解析】 在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为. 设点，根据抛物线的定义，可得，解得. 把代入，得，因为，所以，即. 将圆化为标准方程： ，从而圆心为，半径. 故. 故答案为：. 16．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】易知抛物线的焦点为，且直线经过点，则，可得， 所以，直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或. 故选：C. ( 题型05 ) 二项式定理 17．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】因为的通项为， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：. 18．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数是. 故答案为： 19．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，即， 通项公式， 令，可得：， 所以的系数为， 故答案为： 20．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【解析】二项式的展开式中，含的项为， 所以的系数为. 故答案为： ( 题型06 ) 概率的计算 21．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【解析】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 22．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 【答案】 【解析】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则. 表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 . 根据条件概率公式 ，可得 . 随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 根据期望公式 可得 . 故答案为：；. 23．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 【答案】 【解析】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是， 当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 综上，从第3个盒子中取到白球的概率是. 故答案为：； 24．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 【答案】 0.82 0.398 【解析】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 25．（2025·天津·一模）某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为 ． 【答案】 【解析】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有个， 若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团，则有种选择，所以； 甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团，则有种选择， 所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率. 故答案为：； 26．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 . 【答案】/ 【解析】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 故答案为：. ( 题型07 ) 统计小题 27．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【解析】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 28．（2025·天津南开·一模）如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且上单调递增，所以适合指数型模型. 故选：C. 29．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【解析】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 30．（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（   ） A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 【答案】D 【解析】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确； 对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确； 对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确； 对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误. 故选：D 31．（2025·天津河东·一模）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，若，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】回归直线的性质是恒过样本点的中心，但不一定会经过任何一个具体的样本点.所以说法①错误. 在独立性检验中，我们先提出一个假设.当根据列联表中的数据计算得出，且时，这意味着在假设成立的条件下，出现这样的值是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在却发生了，所以我们有理由拒绝假设，从而有的把握认为两个分类变量有关系，同时也就意味着有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，所以说法②正确. 是用于判断两个分类变量是否相关的随机变量.当的值很小时，只能说明我们有较小的把握认为两类变量相关，但不能就此推断两类变量不相关.因为即使值小，也有可能是由于样本量等因素的影响，不能绝对地得出两类变量无关的结论，所以说法③错误. 已知某项测量结果服从正态分布，正态分布具有对称性，其对称轴为.又因为，这表明与关于对称轴对称.根据正态分布的对称性可知，与之和为，已知，那么，所以说法④正确. 故选：B. 32．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【解析】对A：样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确. 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则，则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，D错误； 故选：D. 33．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【解析】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$