6.4 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第六章 导数及其应用。 6.4 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系 学业标准 素养目标 1.分组合作，探究体重与脉搏率的关系.（重点） 通过探究体重与脉搏率的关系，提升数学建模、数据 2.掌握数学建模的完整过程.（重点、难点） 分析核心素养 一、数学建模 [简化假设] 1.定义 为了建立数学模型，需要了解一些生物学 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学 概念，例如，血流量Q是单位时间流过的 模型的过程. 血量，脉搏率∫是单位时间心跳的次数； 2.过程 还需要知道一些生物学假设，例如，心脏每 (1)提出问题；(2)模型假设；(3)模型建立： 次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正 (4)模型求解；(5)模型分析：(6)模型检验， 比，动物心脏的大小与这个动物体积的大 二、建模探究 小成正比 数学建模活动实例 [模型建立与求解 [提出问题] (1)因为动物体温通过身体表面散发热量， 生物学中认为，睡眠中的恒温动物依然会 表面积越大，散发的热量越多，保持体温需 消耗体内能量，主要是为了保持体温.研究 要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能 表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量 量E与身体的表面积S成正比，即E=p,S. Q成正比.根据生物学常识知道，动物的体 又因为动物体内消耗的能量E与通过心 重与体积成正比.表1给出了一些动物的 脏的血流量Q成正比，即E=pQ,由此可 体重与脉搏率对应的数据： 得Q=pS,其中p,p2和p均为正的比例 表1 一些动物的体重和脉搏率 系数 动物名 体重/g 脉搏率/（心跳次数·min1) 另一方面，体积V与体重W成正比，即 鼠 25 670 V=rW. 大鼠 200 420 又因为表面积S大约与体积V的号次方 豚鼠 300 300 成正比，即S=r2V.由此可得S=rW, 兔 2000 205 其中r,r2,r为正的比例系数. 小狗 5000 120 因此，血流量与体重关系的数学模型为 大狗 30000 85 Q=kW,其中k为正的比例系数 羊 50000 70 马 450000 38 (2②)根据脉搏率的定义了一号，再根据生物 (1)根据生物学常识，给出血流量与体重之 学假设g=cW(c为正的比例系数)，可得 间关系的数学模型： 二一，因此，脉搏率与体重关系的 (2)建立脉搏率与体重关系的数学模型： (3)根据表1，作出动物的体重和脉搏率的 数学模型为f=kW,其中k为正的待定 散点图，验证所建立的数学模型 系数 93 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） (3)我们用Excel作出数据的散点图：在工： 重W与脉搏率分别取自然对数后作出的 作表中输入数据，选中数据区，按“插入‘图 散点图如图3所示.直观地看出，变换后的 表/散点图”的顺序作出散点图（图1） 数据点分布均匀，并近似地在一条直线上。 800 心跳次数·min-) 70X 600 5 500 300 2 2X0) n 100 0 0 ◆Wg 468101211 0 100()200(003(00000100005(0000 图3lnf与lnW的散点图 图1脉搏率∫与体重W的散点图 (3)数据拟合是研究变量之间的关系，并给 右击数据点，选择“添加趋势线”，在6种类 出近似数学表达式的一种方法.根据拟合 型中分别选择指数、幂、二次多项式等趋势 模型，我们还可以对某变量进行预测或控 线，根据显示的“R平方值”，选择最大的一 制.在解决数据拟合问题时，首先应作出数 个.因此，采用幂函数的模型，在“选项”中 据的散点图，然后通过观察散点的趋势选 选定“显示公式”和“显示R平方值”复选 用相应的模型进行拟合.为使散点图更清 框，得到图2 晰，可将数据适当简化或变换 800 三、实践应用 孔心跳次数·min-少 7( 易拉罐的优化设计 600 54N0 =1790.9w0w [提出问题] R2).90f6 400年 在日常生活中，易拉罐是一种用于装饮料 3004 2)4 的常见器具.对于巨大的饮料市场而言，从 100 ◆wg 用料最省的角度设计易拉罐的形状和尺 10)(XX)20)(0H)30)(0K00)(0)5X)0r0 寸，可以达到降低成本的目的.企业在设计 图2在脉搏率∫与体重W的散点图中添加趋势线 易拉罐时通常需要综合考虑诸多因素，例 可以看出，得到的拟合模型f=1790.9Wa 如，材料容积一定的条件下耗材最少，外观 与(2)中建立的数学模型接近 美丽以吸引顾客，稳定度高以保证顾客安 [模型分析与检验] 全使用等.而节约成本是最重要的因素，下 (1)脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒 面以节约成本为目标建立易拉罐优化设计 温动物体重越大，脉搏率越低：脉搏率与体 模型 [模型建立与求解] 重的次方成反比.表1中的数据基本上 【模型1】 反映了这个关系 将易拉罐近似看成圆柱体，并假设各部分 (2)当所给的数据差异较大时，可以对已知 板材厚度完全相同.在这种情况下，问题归 数据取对数，从而使变换后的数据变得“均 结为：圆柱体的罐内容积一定，求其底面圆 匀”，有利于发现趋势或规律.本例中将体 半径和高，使其表面积最小 94 第六章导数及其应用。 设罐内容积为V(常数)，底面圆半径为， 设易拉罐的容积为V(常量)，r与h为易 高为h,则易拉罐的耗材为 拉罐内部的半径和高，侧壁厚度为α，其余 S=2πrh十2πr2, (1) 部分厚度为b,所用耗材体积为G,则侧面 而约束条件是罐内容积V一定，且 耗材的体积为π(r十a)2(h十2b)一πr2(h十 V=πr2h. (2) 2b),顶部与底部耗材体积为2πrb,易拉罐 由②式得A一六代人(1)式化简得到关 容积为V=πr2h. 由此可建立如下的数学模型： 于r的表达式 G=π(r+a)2(h+2b)-πr2(h+2b)+ s）=2Y+2x. 2πr2b, (3) 容积一定，且V=πr2h. (4) 对S(r)关于r求导，得S(r)=4πr 2V r2. 由(4)式得h二 (5) 令S'(r)=0,解得r=2元 将(5)代入(3)式，化简得到G关于r的 函数： 当r∈(0.)时.S'(r)<0,则s)单调 G(r)=π(r+a) +2b-V 递减； 令G(r)=0, 当r∈(+)时.S)>0,则sr 解得r sav √2xbr=一a(舍去). 单调递增， 46V 因此，函数5在，一处取得极小值。 从而h= e2. 由此得到板材体积的最小值为 也是最小值.此时，高h=2r,即圆柱体的 高等于底面直径 =+(2+）- 上述讨论表明，在不考虑各部分厚度差别 [模型检验] 实际现象或数据检验求得的解 的条件下，底面直径和圆柱体高相等时，可 是否符合实际，如果不符合实际情况，就要 使易拉罐表面积最小，从而用料最省。 重新建模， 【模型2】 课堂小结 根据市场调查，我们发现市场上较通用的 知识落实 技法强化 易拉罐的底部、顶部、侧壁的厚度是不一样 数学建模是对现实问题进行数学 的，例如，市场上有一种易拉罐各部分厚度 抽象，用数学语言表达问题、用数数学建模的主 (以千分之一英寸为单位，约0.00254cm) 学方法构建模型解决问题的过程.要步骤： 大致为：底部厚10，侧壁厚4，顶部厚9.对 主要过程包括：在实际情境中从数(1)提出问题. 于这种顶部与底部厚度差别较小的情形， 学的视角发现问题、提出问题，分(2)模型建立 仍然将易拉罐近似看成圆柱体，在底部与 析问题、构建模型，确立参数、计算(3)模型求解， 顶部板材厚度相同，侧壁厚度不同的假设 求解，检验结果、改进模型，最终解(4)模型检验。 条件下，建立耗材最省的数学模型 决实际问题， 95