精品解析：重庆市字水中学2024-2025学年高一下学期4月学情调研数学试题

重庆市字水中学2025年4月高2027届学情调研 数学试卷 （试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知角，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】由终边相同角和象限角的定义即可得解. 【详解】因为, 所以角与角终边相同， 又因为 所以角在第三象限. 故选：C. 2. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 2 C. 0 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】将代入式子计算，即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 4. 在中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用平面向量的数乘运算即可得解. 【详解】如图，为的中点，为的中点， 所以. 故选：B. 5. 把函数的图像上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，所得的图像的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换可得解析式. 【详解】将函数的图像上所有点向右平行移动个单位长度，得到解析式， 再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得到解析式. 故选：C. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求得，再结合诱导公式可得，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，，所以 所以. 故选：B. 7. 已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案. 【详解】根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若， 则有，变形可得, 由数乘的定义，有. 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由商数关系、二倍角公式化简得，即可得解. 【详解】 所以. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，则与的夹角的范围是 C. 若是等边三角形，则、的夹角为 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可判断A；根据数量积的计算公式即可判断B；根据向量夹角的定义即可判断C；举例，即可判断D. 【详解】对于A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，若是等边三角形，则、的夹角为，故C错误； 对于D，若，则满足，，但不一定共线，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数与，的图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐一判断各项即可得到结论. 【详解】由函数的部分图象知， ，且， 所以，所以， 又， 所以，即， 又，所以， 所以. 对于A，当时，， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，得，则在区间上单调递增，故C正确； 对于D，由，可得， 结合正弦函数图象，可得函数与有4个交点， 令，解得；令，解得； 其中关于对称，关于对称， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是周期函数 B. 最大值为1 C. 关于对称 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过判断A；通过判断C；令，通过求函数的最值判断BD. 【详解】 则为的周期，故A正确； ， 则是的对称轴，故C正确； 令，则， 则，对称轴为， 故的最小值为，最大值为，故B错误；D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数_____. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出得值. 【详解】因为向量与的夹角为60°，，， 由知， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 13. 若函数在区间内至少有3个零点，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先求出整体角的范围，再结合正弦函数图象即可判断. 【详解】由，可得，结合正弦函数图象可知，， 则的最小值为. 故答案为：. 14. 已知平面上三个不同的单位向量、、满足，若为平面内任意单位向量，则的最大值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出，再求出，即得最大值. 【详解】因为，且、、为单位向量， 所以， 因为 所以与与的夹角为，易得与的夹角为， 所以. 设， 由题意得 ， ， 又因为, 所以， 所以最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设，是两个不共线的向量，已知，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若，且，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）9. 【解析】 【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【小问1详解】 由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. 【小问2详解】 由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. 16. 已知，，， （1）求： （2）求向量在方向上的投影向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算法则得，由向量的模的运算得； （2）根据投影向量的运算计算即可. 【小问1详解】 ， 所以，所以，所以. 【小问2详解】 ， 所以在方向上的投影向量为. 17. 已知函数的最小正周期为，且. （1）求函数的解析式，并写出取最大值时相应的取值集合： （2）求函数，的单调递减区间： 【答案】（1）；取最大值2时，的取值集合为. （2）， 【解析】 【分析】（1）由最小正周期为，得，根据，结合可得，从而可得，根据正弦函数的性质求解即可； （2），根据正弦函数得单调性求解即可. 【小问1详解】 因为的最小正周期为，所以， 所以，， 所以，即， 当，即时，取最大值2， 即取最大值2时，的取值集合为. 【小问2详解】 依题意得， 若单调递减，则， 所以， 又， 令，得其减区间为，. 18. 已知函数. （1）已知，求的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算. （2）将不等式恒成立转化为不等式恒成立，即；由（1）得，求出当时,，进而求得的最大值，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以， 所以 . 【小问2详解】 当时, ，可得， 由不等式恒成立，可得不等式恒成立， 所以， 所以当时，取到最大值，， 所以. 故实数的取值范围为. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，. （1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）； （2）当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求 （3）设，若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1）向量的仿射坐标为；其中一个“完美向量”的仿射坐标为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题中新定义和平面向量的线性运算计算即可； （2）由题中新定义结合三角恒等变化计算求解即可； （3）由对恒成立得到，再由平面向量夹角的求法及三角函数值域的求法计算即可. 【小问1详解】 ， 所以向量的仿射坐标为. 其中一个“完美向量”的仿射坐标为. 【小问2详解】 因为当时，是仿射坐标系下的“完美向量”， 所以， 由题意得，则，， 可得，， 故，， 所以，， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 因为， ， ， 因为，所以， 所以对恒成立， 又因为，所以， 得， 此时， 因为，，且， 所以， 所以， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市字水中学2025年4月高2027届学情调研 数学试卷 （试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知角，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 2 C. 0 D. -2 4. 在中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 把函数的图像上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，所得的图像的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，则与的夹角的范围是 C. 若是等边三角形，则、的夹角为 D. 若，，则 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数与，的图象的所有交点的横坐标之和为 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是周期函数 B. 最大值为1 C. 关于对称 D. 最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数_____. 13. 若函数在区间内至少有3个零点，则的最小值是_____. 14. 已知平面上三个不同的单位向量、、满足，若为平面内任意单位向量，则的最大值为_____ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设，是两个不共线的向量，已知，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若，且，求实数的值. 16. 已知，，， （1）求： （2）求向量在方向上的投影向量. 17. 已知函数的最小正周期为，且. （1）求函数的解析式，并写出取最大值时相应的取值集合： （2）求函数，的单调递减区间： 18. 已知函数. （1）已知，求的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，. （1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）； （2）当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求 （3）设，若对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $