学业评价(一) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册课后案·学业评价（人教A版2019）

学业评价（一） 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 :7.用1,2,3这3个数字可写出没有重复数字的整数 [必备知识·基础巩固] 有 个 1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长：8.某公司组织本单位职工进行体检，在体检合格的 裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同 人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B 的配法种数为 ( 型血的共有9人，AB型血的共有3人. A.7 B.12 (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ C.64 D.81 (2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种 2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工 不同的选法？ 具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发 2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走 法数为 ( A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 C.3X4×2=24 D.以上都不对 3.若x,y∈N”,且x十y≤5，则有序自然数对(x,y) 的个数为 A.6 B.8 C.9 D.10 4.(多选题)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画， 7幅不同的水彩画，下列说法正确的有 () A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的 选法 B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房 间，有70种不同的选法 C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间， 有59种不同的选法 D.要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在 左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的 [关键能力·综合提升] 挂法 9.某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外 5.一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门 活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张 出，共有不同走法 种. 不能报A小组，则不同的报名方法有 () 6.若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通 A.27种 B.36种 电路，有 种不同的方法：在如图2的电路 C.54种 D.81种 中，合上两个开关可以接通电路，有 种 10.(多选题)已知集合A={-1,2,3,4},m,n∈A, 不同的方法 则对于方程二+兰-1的说法正确的是() m n A.可表示3个不同的圆 B.可表示6个不同的椭圆 C.可表示3个不同的双曲线 图1 图2 D.表示焦点位于x轴上的椭圆有3个 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 11.某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其： [核心价值·探索创新] 中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条 跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛 14.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的 的方式共有 种. : 线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表 12.从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为 示该段网线单位时间内可以通过的最大信息 函数f(x)=ax十bx十c的系数，可组成不同的： 量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分 二次函数共 个，其中不同的偶函数共 开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递 个.（用数字作答） 的最大信息量为 () 13.现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四 班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成 12 数学课外小组. (1)选其中一个为负责人，有多少种不同的选法？ A.26 B.24 C.20 D.19 (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ 15.集合A=1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从A, (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的 B中各取1个元素，作为点P(x,y)的坐标. 班级，有多少种不同的选法？ (1)可以得到多少个不同的点？ (2)这些点中，位于第一象限的有几个？ 2学业评价 学业评价（一）分类加法计数原理 :8解析从0型血的人中造1人有28种不同的选法： 与分步乘法计数原理 从A型血的人中选1人有7种不同的选法； 1.B要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中 从B型血的人中选1人有9种不同的选法； 任选一件，有4种不同的选法，第2步，选长裤，从3条 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法. 长裤中任选一条，有3种不同的选法，故共有4×3一12 (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人， 种同的配法 “任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加 2.B分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走 法计数原理. 法，第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法，第三 有28+7十9十3=47种不同的选法. 类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3十4 (2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人 十2=9种不同的走法。 中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成， 3.D当x=1时，y=1,2,3,4,共构成4个有序自然 所以用分步乘法计数原理.有28×7×9×3=5292种 不同的选法 数对： 9.C小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由 当x=2时，y=1,2,3,共构成3个有序自然数对： 分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3=54种不同的 当x=3时，y=1,2,共构成2个有序自然数对： 报名方法，选C 当x=4时，y=1,共构成1个有序自然数对. 根据分类加法计数原理，共有N=4+3+2+1=10个 10.ABD当m=>0时，方程三+上=1表示圈，故有3个， 有序自然数对. 4.ABC对于A中，从国画中选一福有5种不同的选法： 选项A正确：当m≠n且m,m>0时，方程亡十上= m n 从油画中选一副有2种不同的选法：从水彩画中选一副 表示椭圆，焦点在x,y轴上的椭圆分别有3个，故有 有7种不同的选法，由分类计数原理，共有5+2十7=14 3X2=6个，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，则 种不同的选法，所以A正确：对于B中，从国画、油画、 m>n>0,当m=4时，n=2,3;当m=3时，n=2,即所 水彩画各选一幅分别有5种、2种、7种不同的选法，根 求的椭圆共有2十1=3个，选项D正确；当mn<0时， 据分步计数原理，共有5X2X7=70种不同的选法，所 以B正确：对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油 方程+片三1表示双曲线，故有3X1+1X3=6个 m 画，则有5X2一10种不同的选法；若一幅选自国画，一 选项C错误 幅选自水彩画，则有5×7=35种不同的选法；若一幅选 :1山.解析分两步安排这8名运动员. 自油画，一幅选自水彩画，则有2×7=14种不同的选： 第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可 法，由分类计数原理，可得共有10十35十14=59种不同 安排，所以共有4×3×2=24种方法；第二步，安排另 的选法，所以C正确；对于D中，从5幅国画中选出2幅 外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排， 分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一 共有5×4×3×2×1=120（种）.所以安排这8人的方 步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二 式共有24×120=2880（种）. 答案2880 步，从刺下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选 :12.解析一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值， 法，根据分步计数原理，不同挂法的种数是5×4=20， a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由 所以D错误 分步乘法计数原理知共有不同的二次函数3×3×2= 故选ABC. 18(个). 5.解析由分步乘法计数原理得4×4=16. 若二次函数为偶函数，则b=0.a的取法有3种，c的取 答案16 法有2种，则由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函 6.解析对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个 数3×2=6（个）. 开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2十3=5 答案186 种不同的方法 13.解析(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7 对于图2，按要求接通电路必须分两步进行： 种选法：第二类，从二班学生中选1人，有8种选法：第 第一步，合上A中的一个开关： 三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四 第二步，合上B中的一个开关， 班学生中远1人，有10种选法，所以共有不同的选法 故有2×3=6种不同的方法. N=7+8+9+10=34(种). 答案56 (2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学 7.解析分三类： 生中选一人任组长.所以共有不同的选法N=7X8X 第一类为一位整数，有3个： 9×10=5040(种). 第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个； (3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人， 第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共 有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有 6个. 7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有 ∴.可写出没有重复数字的整数有3十6十6=15（个）. 7×10种不同的选法，从二、三班学生中各选1人，有 答案15 8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有 25 @ 8×10种不同的选法：从三、四班学生中各选1人，有：7.解析分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4，共 9×10种不同的选法， 4种情况，分别求得满足题意的“好数”的个数，根据分 所以，共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8× 类加法计数原理，即可得答案， 9+8×10+9×10=431(种). 当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4 14.D因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类 种情况. 加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5 当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411， →3,12*6→4,12→6→7,12→8-→6，故单位时间内传 1121,1131,1141,有9种结果， 递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量 当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种结果， 的和：3+4十6十6=19. 根据分类加法计数原理可知，共有12种结果. 15.解析(1)可分为两类：A中元素为x,B中元素为y 答案12 或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3X4十4× :8.解析(1)分三类： 3=24个不同的点. 第一类，选出的是医生，有3种选法： (2)第一象限内的点，即x,y均为正数，所以只能取A, 第二类，选出的是护士，有5种选法： B中的正数，共有2X2十2×2=8个不同的点. 第三类，选出的是麻醉师，有2种选法。 根据分类加法计数原理，共有3十5十2=10种选法。 学业评价（二）计数原理的综合应用 (2)分三步： 1.D完成xy这件事分两步， 第一步，选1名医生，有3种选法： 第一步：从集合{1,2,3,4}选一个数，共有4种选法： 第二步，选1名护士，有5种选法： 第二步：从集合{5,6,7,8}选一个数，共有4种选法： 第三步，选1名麻醉师，有2种选法。 共有4×4=16种选法.其中3×8=4×6，所以xy可表 根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2=30种选法. 示的不同值的个数为15. :9.B由已知得ab≤1. 2.D剩余的3个座位共有4个空隙供3人（不妨记为甲、 若a=一1时，b=一1,0,1,2，有4种可能； 乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选 若a=0时，b=一1,0,1,2，有4种可能： 一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中 若a=1时，b=-1,0,1,有3种可能； 任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空 若a=2时，b=一1,0，有2种可能. 隙中任选一个空隙，有2种不同的选择.根据分步计数 .共有(a,b)的个数为4十4+3十2=13. 原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2=24.故 10.C由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人 选D. 员，测有3种方法；翻译人员的分配有2种方法：再从 3.D如图所示，由题意知在A点可 剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3=18 先参观区城1，也可先参观区域2或 (种)分配方案.②甲部门要1名电脑编程人员，则有3 3,选定一个区域后可以按逆时针参 种方法：翻译人员的分配有2种方法：再从剩下的3个 观，也可以按顺时针参观，所以第一 人中选2人，方法有3种，共3×2×3=18（种）分配方 步可以从6个路口任选一个，有6 案.由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有 种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种 18+18=36(种). 结果，参观完第二个区战，只剩下最后一个区战，有2种 :11.解析分两类：第一类：由天千的“甲、丙、戊、庚、壬”和 走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2=48种不 地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6=30（组） 同的参观路线， 不同的结果，第二类也有30组不同的结果，共可得到 4.ABC选项A,分三类：取老师有3种选法，取男学生有 30十30=60（组）. 8种选法，取女学生有5种选法，故共有3十8十5=16种 答案60 选法，故A正确： :12.解析若要求组成的数宇是偶数，分为两步，从0和2 选项B,分三步：第一步选老师，第二步选男学生，第三 中任选一个数字放在个位，有2种选法，从1,3,5中选 步选女学生，故共有3×8×5=120种选法，故B正确； 1个数字，放在百位有3种选法，再选1个数字放在十 选项C,分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步， 位，有2种选法，因此共有2×3×2=12个偶数. 又分为两类：第一类选男学生，第二类选女学生，故共有 若是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶 3×(8十5)=39种选法，故C正确， 奇，偶奇奇，如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位 选项D,若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同 开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位 选法，故D错误。 (2种情况)，共12种：如果是第二种情况偶奇奇：个位 故选ABC. (3种情况)，十位(2种情况)，百位(1种情况)，共6种， 5.解析根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9： 因此奇数总共有12+6=18（个）. 共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有 答案1218 1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法： 13.解析依题意，可分两类情况：①④不同色：①④同色. 计数原理知，符合题意的两位数共有1+2十3十4十5十 第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相 6+7+8=36(个). 同，我们可将这件事情分成4步来完成. 答案36 第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法； 6.解析利用分步乘法计数原理即可求出结果.共分4 第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种 步：五层到四层2种，四层到三层2种，三层到二层2 涂法； 种，二层到一层2种，一共24=16种. 第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种 答案16 涂法 26