学业评价(十七) 正态分布-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册课后案·学业评价（人教A版2019）

。数学·选择性必修第三册（配RJA版） 学业评价（十七） 正态分布 7.已知X~N(4,o2),且P(2<X<6)≈0.6827，则 [必备知识·基础巩固] 0= ,P(X-21<4)= 1.已知某批零件的长度误差（单位：mm)服从正态： 8.设X~N(3,4),试求： 分布V(0,3),从中随机取一件，其长度误差落在 (1)P(-1<X≤7)： 区间(3,6)内的概率为 ( (2)P(7<X≤11)： 附：若随机变量X服从正态分布N(4,G),则 (3)P(X≥11). P(u-o<X<H十a)≈68.27%，P(u-2a<X< 4+2a)≈95.45%. A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 2.设随机变量X~N(1,5),且P(X≤0)=P(X> a-2),则实数a的值为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 3.(多选题)已知三个正态密度函数9，(x)=1 0√2元 e(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示，则下 列结论正确的是 y+ y=p(x)=p() =9(x) [关键能力·综合提升] 9.(多选题)某厂生产的零件外径X~N(10,0.04), 0 A.o1=o2B.h1>h2C.41=h2D.02<0 今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测 4.(多选题)(2024·新课标I卷)随着“一带一路” 得其外径分别为9.9cm,9.3cm,则可认为() 国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶 A.上午生产情况正常 B.下午生产情况异常 叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元） C.下午生产情况正常 情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收 入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01.已知 D.上午生产情况异常 该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8, 10.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直 径X(单位：mm)服从正态分布X~N(100,1). 0.1),假设推动出口后的亩收人Y服从正态分 现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm)如下： 布N(x,s),则（若随机变量Z服从正态分布N 101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1. (4,),则P(Z<4+a)≈0.8413) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 98.8,100.4,100.0.X~N(u,o),有P(u-2a≤ C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 X≤十2a)≈0.954，P(H-36≤X≤+3a)≈ 0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概 5.(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知随机变量X服从 率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检 正态分布N(2,a2),且P(2<X≤2.5)=0.36，则 验，则质检员认为设备需检修的概率为() P(X>2.5)= 6.某市有48000名学生，一次考试后数学成绩服从 A错 B吉 正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上 讲，在80分到90分之间有 人 c 34 11.若随机变量X的正态分布密度函数是9：。(x):15.港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸 =1Xe(x∈R),则E(2X-1)= 人工岛，向西横跨南海伶仃洋水域接珠海和澳 2√2π 门人工岛，止于珠海洪湾立交：桥隧全长55千 米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度为 12.某班有50名学生，一次数学考试的成绩X服从 100千米/小时，限制速度为90~120千米/小时， 正态分布N(105,102),已知P(95≤X≤105)= 通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间 0.32,试估计该班学生数学成绩在115分以上 的频率分布直方图如图所示 (含115分)的人数为 频率 13.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到 组肥 0.060---- 达时间X(min)服从正态分布N(5,1):第二条 0.054 路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16).若有一天 0.040 0.036 他出发时离点名时间还有？分钟，问他应选哪一 条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选 0.007 哪一条路线？ 030354045505560时间份 (1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间t:(精 确到0.1) (2)以(1)中的平均时间1作为：，车辆通过港珠 澳大桥的时间X近似服从正态分布V(4,36), 任意取通过大桥的1000辆汽车，求所用时间少 于39.5分钟的大致车辆数目（精确到整数）. 附：若X~N(,o2),则P(a一a<X<十a)= 0.6827,P(u-2a<X<μ+2a)=0.9545. [核心价值·探索创新] 14.(多选题)(2024·毫州高二期末)把一个正态曲 线α沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的 一条曲线b,下列说法中正确的是 () A.曲线b仍然是正态曲线 B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以 曲线：为概率密度曲线的总体的期望小2 D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以 曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2 35@ 所以x的分布列为 2P3-8<X<3+8)-P3-4KX≤3+4 0 3 P 14 28 12 P-2a<X<+2a)-Pg-X≤r+o明 5 55 55 5 1 =2(0.9545-0.6827)=0.1359 期望为E(.x)=0 14十1 5 +2x是+3x品=1 55 55 (3)P(X≥11)=P(X≤-5)， 学业评价（十七）正态分布 ∴P(X≥1)=21-P(-5<X≤1] 1.B由正态分布的概率公式知P(一3<X<3)= =21-P3-8<X≤3+8] 0.6827,P(-6<X<6)-0.9545,故P(3<X<6)= 2P(-6<X<6)-P-3KX<3]-2a,9545 -1-Pg-2<X≤+2a] 0.6827)=0.1359=13.59%. -21-0.9545)=0.0275. 2.B因为随机变量X~V(1,5),且P(X≤0)=P(X> :9.AB因测量值X为随机变量，又X~N(10,0.04),所 a一2)，所以由正态分布密度曲线的对称性（对称轴是 以4=10,0=0.2，记1=（μ-3a,4+3a)=(9.4.10.6), x=1)可知，a一2=2×1，解得a=4. 则9.9∈1,9.3d1. 3.AD由图可知2=>411=2<3，故AD正确。 10.B10个螺检的尺寸，只有103.2不在区间[97,103] 4.BC由题意可知，X一V(1.8,0.12),所以P(X>2)< 内，工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员 P(X>1.8)-0.5,P(X<1.9)≈0.8413， 所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1 认为设备考隆特饰颜车为侣-号成选且 0.8413=0.1587<0.2,所以A错误，B正确. 11.解析由题知c=2,4=一2，枚E(2X-1)=2E(X)一 因为Y~N(2.1,0.12),所以P(Y<2.2)≈0.8413， 1=2×(-2)-1=-5. P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)= 答案一5 P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.8413 :12.解析：考试的成绩X服从正态分布V(105,102), .正态曲线关于直线x=105对称， -0.5=0.3413,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+ : P(95≤X≤105)=0.32， P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.8413>0.8，所以C正 确，D错误.综上，选BC. PX≥15)=2×1-0.6)=0.18， 5.解析由题意可知，P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)= .该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50 P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14. =9. 答案0.14 答案9 6.解析设X表示该市学生的数学成绩，则XV(80,10),: 13.解析还有7分钟时：若选第一条路线，即X~N(5,1), 则P(80-10<X≤80十10)=0.6827.所以在80分到90： 能及时到达的概率为P1=P(X≤7)=P(X≤5)+ 分之间的人数为4800×号×0.6827≈16385（人）. p5<X≤7)=2+2P-2<X<r+2a. 答案16385 若选第二条路线，即X一V(6,0.16),能及时到达的概 7.解析X一N(4,2),∴4=4. P(2<X<6)≈0.6827， 率为P=P(X≤)=PX≤6)+P(6<X≤7)=号十 /r+g=6.」 .=2 吉Pa-2.5o<X≤+25o -o=2, ∴.P(|X-21<4)=P(-2<X<6) 因为P1<P2,所以应选第二条路线。 =-P(-2<X<2)+P(2<X<6) 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线. =2[P(-2<X<10)-P2<X<6)]+P(2<X<6) 14.AB密度品数f)=e子，向右移动2个单 √/2rg =2P(-2<X<10)+2P2<X<)=0.84. 位后得到密度函数g(x)=】 心立，所以曲线b 2π 答案20.84 仍然是正态曲线，最高点的纵坐标不变，故A,B正确： 8.解析X一N(3,42).∴=3，a=4. 以曲线b为概率密度曲线的总体的期望值为牡十2，故 (1)P(-1<X≤7)=P(3-4<X≤3+4) C错误：以曲线b为概率密度曲线的总体的方差不变. =P(-<X≤4十a)=0.6827. 故D错误 (2)P(7<X≤11)=P(-5<X≤-1). 故选AB. ∴.P(7<X≤11) 15.解析(1)由频率分布直方图可得1=32.5×0.015十 =[P(-5<X≤1D-P-1KX≤7] 37.5×0.18+42.5×0.27+47.5×0.3+52.5×0.2+ 57.5×0.035≈45.5(min). (2)由题知XN(45.5,36), 11.解析(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成 21-P-<X< 绩名次靠前的学生是乙：(2)由高三年级267位学生参 .P(X<39.5)=P(X<u-G)= 加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与 4十c)]=0.15865, 总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中， 所以1000×0.15865≈159 同一个人的总成绩是不会变的.第二个图看，丙是从右 故所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目为159. 往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5.在左 边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现 学业评价（十八）变量的相关关系样本相关系数 这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次 1.C变量之间的相关关系是一种不确定的关系，它也能 更“大”，即数学的成绩更靠前， 反映变量之间的某种依赖关系.利用相关关系可以估计 答案(1)乙(2)数学 某些相关数据，但是不能确定准确的数值 12.解析 202 r= 2.BD在A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数 V25×363 关系：在B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格 答案 2 3 的函数关系，但具有相关关系：在C中，人的身高与年龄 :13.解析 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人 的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它 1=4.24-02=28√-0=0.5. 们不具有相关关系：在D中，降雪量与交通事故的发生 率之间具有相关关系， u,-10(y,-)=21y-2=40.17-4×9.32= 3.B两个变量相关性的强萌是由相关系数的绝对值的 2.89 2.89.r=2×2.646X0.5≈0.99， 大小来决定的，而不是由相关系数本身的大小决定的 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线 r越接近于1，相关程度越高，选B. 性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 4.A选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直 与1的关系. 线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项： 14C对于A,B,由统计图可知北极年平均海冰面积既 A中的线性相关系数最大，故选A. 有增加又有减少，故A,B错误：对于C,D,由统计图可 5.解析根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都 知随着年平均CO2浓度增加，北极年平均海冰面积总 在直线上时，相关系数为1 体呈下降趋势，所以北极年平均海冰而积与年平均 答案1 CO2浓度负相关，故C正确、D错误. 6.解析散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数：15.解析(1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的 学成绩总的趋势是在逐步提高，①正确：该同学在这连 散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线 续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分， 性相关关系 极差超过40分，②正确；该同学的数学成绩与测试序号 具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确。 50 答案①②③ 7.解析去掉点(4,10)后，其余四点大致在一条直线附 西 近，相关性增强，相关系数增大， 答案(4,10) 10 8.解析(1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据 0 2 40 G布主 为纵坐标，所作的散点图如图所示： (2)列表计算： 次数无； 成绩y 70 x y xiyi 30 30 900 900 900 33 34 1089 1156 1122 35 37 1225 1369 1295 024568x (2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相 37 39 1369 1521 1443 关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大 39 42 1521 1764 1638 多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近， 44 46 1936 2116 2024 即x与y成正相关关系. 9.BC由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域， 46 48 2116 2304 2208 各点整体呈递减趋势，故x与y负相关，所以r1<0:由 50 51 2500 2601 2550 图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整 体呈递增趋势，故“与v正相关，所以r2>0. 由上表可求得x=39.25,y=40.875, 10.C对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大， 之x2=12656,立y2=13731,之ry,=13180, 故变量Y与X正相关，即”1>0： 计算样本相关系敏r=0.9927, 对于变量U与V而言，V随U的增大而减小， 因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关 故变量V与U负相关，即r2<0.故r2<0<r1. 关系 45