学业评价(七-八) 二项式定理 二项式系数的性质-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册课后案·学业评价（人教A版2019）

@ 若选到的数字没有0，则有A个，若选到的数字有0，先： (2)设置的密码为4~6位，每位均为09这10个数 排0，有2种方法，再从其余6个数字选2个排到其余位 宇中的1个，这样的密码共有3类。 置，故有2A个，综上可得共有A十2A。个没有重复数 其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104， 字的三位数，故A正确、D错误. 105,105 故选ABC. 根据分类计数原理，设置由数字0一9组成的4一6位 10.ACD对于A,甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲、 密码的个数是104+105十105=1110000. 乙看成一个整体，与丙、丁、戊全排列，有A=24种排 故满足条件的密码有1110000个， 法，A正确： 对于B,若甲站在最左端，乙和丙、丁、戊全排列，有A: 学业评价（七）二项式定理 =24种排法，故B错误； :1.C原式=(2+1)=3m 对于C,先将丙、丁、戊三人排成一排，再将甲、乙安排 在三人的空位中，有A·A?=72种排法，C正确； :2.B:(1+)4=1+4E+12+8E+4= 对于D,甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有A=120种排 17+12√2=a+b√2， 法，甲、乙、丙全排列有A=6种排法，则甲、乙、丙按从 又：a,b为有理数，.a=17,b=12..a+b=29. 左到右的顺序排列的排法有120=20种，故D正确. 3.C 6 :三项式(-)°的展开式的道项公式为 故选ACD, T+1=C跨·(-1)a6-·x12-3,令12-3k=0,求得 k=4,可得常数项为C·a2=60,则a=士2. 解析C品=A品→m2”2=m(m一1)，m>3:4,AC令x=1,由(3-1)5=25=64知，所有项系 3×2 →m=8. 64,故A正确； 答案8 二项展开式的通项公式为T+1=C哈(3x)5-(一1)· 12.解析由题意，可得C+C+C%+C+C十C+C10 =C+C+C+C+C+C+Cto=C+C+C+ x寺=(-130-C6-,令6-是k=0,解得k=4, C+C+Cto=C+C+C+C+Cto=.=Cio+ 故展开式第5项为常数项，故B错误； C10=C71=462. 当k=0,2,4时，6-号EN,展开式为垫式，故C正确， 答案462 13.解析若B运动员跑第一棒，则从剩下的六名运动员 当6-号0=3时，k=2,T,=(-1030-2Cg2= 中任选三名跑另外三棒，有A=6×5×4=120(种)： 1215x3,故D错误 若B运动员不跑第一棒，也不能跑第二棒，则从除A,B 外的五名运动员中，任选一名跑第一棒，有A=5(种)， 故选AC. 从除B和已经排好的人以外的五名运动员中任选一名 :5.解析x2y=x·(xy),其系数为C, 跑第二棒，有A}=5(种)， x2y7=y·(x2y),其系数为-C8, 再从剩下的五名运动员中任选两名跑另外两棒，有 ∴x2y的系数为C喝-C8=8-28=-20. A号=20（种）， 答案-20 故不同安排方案有120+5×5×20=620（种）. 6.解析 T+1=c(3)(传)=c路·3-· 答案620 14.解析由题意，得方程w十x十y十z=10的正整数解 x6-18.令6k一18=0，则k=3,所以常数项为T4=C号· 的不同组数为C=84: 30·x0=20. 若，x,yz中没有0，则有C=84(种)， 答案20 若w,x,y,x中有1个为0，则有CC号=144（种）， 6 的展开式的通项为 不 若w,x,y,z中有2个为0，则有CC吗=54（种）， 若，x,y,z中有3个为0，则有C=4(种)， T41=c.-0(←2）广=(-2.cz,6=0. 1,2,…ny =286. 答案84286 因为二项式(-是）)”的展开式中存在常数项，所以 15.解析(1)从A点去B点，一共有13格，8格向右，2 格向上，又妈蚁只会向右或向上爬行， 3一秋=-一1有解，即-。，可得n的一个值为5 故有c%=3-1287升爬行方法。 (答案不唯一) 答案5或者4+1(k∈N·) (2)从A点去C点，一共有8格，5格向右，3格向上， 从C点去B点，一共有5格，3格向右，2格向上， 8解析已知二项展开式的通项T+1=C(分2)。 所以有1287-C×C=1287一560=727（种）. 16.解析(1)设置1个4位密码要分4步进行，每一步确 (左)广-(-1（侵）厂c 定一位数字，每一位上都可以从0~9这10个数字中 任取1个，有10种取法.根据分步计数原理，4位密码 (1)因为第9项为常数项，即当=8时，2m-号k=0,解 的个数是10×10×10×10=10000. 得n=10. 31 lo (2)令2m- =5得=号(2a-5)=6, 所以展开式中的有理项共3项是： k=0,T1=C84x2=x7; 所以产的系数为(-1)（号）广C。=185 k=6,T7=C14x6=3003x5; ,即0。心为整数，只需k为偶数，由 k=12,T13=Cx5=91x5. (3)要使2m- 2 14.C由题意得1.0120=(1+0.01)20， 于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6项，分别为 由二项式定理得(1+0.01)0=1十C%×1×0.01+C× 展开式的第1,3,5,7,9,11项. 0.012十，而从第3项以后，后面的项非常小，我们进 9.AD二项式（任+2）”的展开式的通项公式为T 行忽略即可，所以我们得到(1十0.01)20≈1十C0X 1×0.01+C30×0.012=1.219, =C哈x-”,由通项公式可知，当n=4k(k∈N”)和n= 则其与1.22更接近，故C正确. 4k一1(k∈N)时，展开式中分别存在常数项和一次项. 故选C 10.C根据乘法公式，得(1)国式1+上中的1和(1十x) 15.解折1：x2+是-2=2-2+是=(e-）月， 展开式中含x2的项相乘可得含x2的项：(2)因式1十 (+3-2°=(-) 】中的】和(1十x)展开式中含x3的项相乘可得含 x2的项. =cgr+cx3(-）+c(-)）+cg2. (1十x)展开式的通项为Tk+1=C隆x(k=0,1,…,4), (-)°+ce(-）‘+c✉(-)°+c(-) 故(1+子）·1+)八展开式中含2的项为1，C2+ =-6+152-20+5-9+ 是Cx3=10r2,即含2项的系数为10， (2)法-(1十x)2·(1-x)5=(1-x2)2(1-x)3= 1山.解析因为（径十）”的展开式共有7项，则十1=7， (1-2.x2+x4)·(1-3x+3x2-x3), ∴.x3的系数为1×(-1)+(-2)×(-3)=5. 解得n=6,(2+)°的展开式通项为T+1 法二(1十x)2的通项T6+1=C党·x, (1一x)5的通项T%,+1=（-1)·C学·， C(2)）.(国=2-tCx-6,k∈N,k≤6， ∴(1+x)2·(1-x)5的通项为(-1)4·C·C路· 由受-6=0，得=4，所以（径+）°的辰开式中的 +A(其中k1∈{0,1,2}，k2∈{0,1,2,3,4,5})， 令k1十k2=3, 常数项是T5=22Cg=60. 4有肉子肉 k1=1,∫k1=0, 或 答案660 12.解析 (十x)的晨开式的通项公式为T+1 故x3的系数为-Cg·C3十C·C号-Cg=5. C(仔)x,则各项的系数分别为C(仔)” 学业评价（八）二项式系数的性质 c(号)'.c(号)》'，c(号)'，c(g)°.c(3 1.D令x=0,得a0=(-1)10=1, 令x=1,得a0十a1十a2+…十a10=(1-1)10=0, c(号），c(号）广'，c(号)》，c(3)',cw(号)°， 所以a1十a2十…+a1o=一1. 故选D. 观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数 2.A(2-x)10=C0210(-x)°+C029(-x)1+…+ 式道增，分别计算C(号)）°，C(号），C3(得) C322(-x)8+C唱2(-x)9+C8(-x)10, c(号)，c(号)'，C(得）)°，比较可得，c(号) a,=c2=4xciw=4×99-4×45=180 3.ABD根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数 5最大. 的性质知：二项式系数之和为2”，故A正确；当n为偶 答案5 数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错 13.解析(1)（√：+元）”（其中n<15)的展开式中第9 误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数， 项，第10项，第11项的二项式系数分别是C%,C%,C” 所以是系数中最小的 n! n! 依题意得810-8十101n-10-2·91n-9, 4.B当x=1时，1=a4十a3十a2十a1+a①： 当x=-1时，81=a4-a3十a2一a1十ao②： 化简得90+(n-9)(n-8)=20(n一8)， ①+②，得ao十a2十a4=41. 即n2-37n十322=0，解得n=14或n=23, 5.解析当x=1时，可得M=1,二项式系数之和N=2", 因为n<15,所以n=14. 由已知M·N=64,.2m=64,n=6..第四项T4= (2)展开式的通项T+1=Cx早·x=C·x, C%·(2元3·(-1)3=-160x. 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，0≤k≤14， 答案-160x 32 6.解析设(2x-1)10=a0十a1x十a2x2+…十a10x10, 13.解析 令x=1,得a0十a1十a2十…十a10=1, ()因为(x2-）广(a>0)的展开式中所有项 再令x=-1,得310-a0-a1十a2-ag十…十a10, 的二项式系数之和为32，所以2”=32，n=5. 两式相减，可得a1十a十…十a=1二30 2 又国为(：-兰)广(。>0)的展开式中前3项的系数之 答案1-310 和为31，所以Cg(-a)0+C(-a)1+C号(-a)2=31, 2 整理得2a2-a-6=0, 7,解析观察发现：第n行的第一个数和行数相等，第二 解得a=一号或a=2,又。>0，所以a=2 个数是1+1+2+3+…+m-1=nm,D+1. 2 2(x2-2)° 的展开式中第k十1项为 所以当a=8时，c=9,d=9X(9-D+1=37. x 2 答案937 8.解析(1)各项系数之和即ao十a1十a2十…十a10,可用 令10-3k=2,可得6=号，不合题意， “赋值法”求解.令x=y=1,得a0十a1十a2十…十a10= 所以T+1中不含x2的项， (2-3)10=(-1)10=1. 令10-3k=1,可得k=3, (2)奇数项系数的和为a0十a2十a4十…十a10,偶数项系 所以T4=C3(-2)3x210-3×3=-80x 数的和为a1十a3十as十十ag. 令10-3k=一2，可得k=4, 由(1)知a0十a1十a2+…十a10=1,① 所以T5=Cg(-2)4x10-3×4=80x2. 令x=1,y=-1,得 a0-a1十a2-a3+…十a10=510,② 则(2-兰)广1+3+r)的展开式中产的项为 ①+②得，2(a0十a2十…十a1o)=1十510，故奇数项系数 T4·3x+T5x4=-240x2+80x2=-160x2, 的和为1+510 2 所以(2-)”1+3江十)的展开式中2项的系数 ①-②得，2(a1十ag十…十ag)=1一510，故偶数项系数 为-160. 的和为1-510 14.AD只要令x=0,y=1,即得到(1十ax十by)m的展开 2 式中不含x的项的系数的和为(1十b)”,令x=1,y= 9.CD因为展开式的第5项为T5=C%x宁-4，所以令 0,即得到(1十ax十by)"的展开式中不含y的项的系 ”二4-4=1，解得n=19.所以展开式中系数最大的项 数的和为(1十a)”.如果a,b是正值，这些系数的和也 3 就是系数绝对值的和，如果a,b中有负值，相应地，分 是第10项和第11项.故选CD. 别令y=一1，x=0:x=一1，y=0.此时的和式分别为 10.BCD对于A:令x=0,可得a0=(-2)2025= (1一b)”,(1一a)”,由此可知符合要求的各项系数的绝 -22025,故A错误： 对值的和为(1十|b|),(1+|a|).根据题意，得 对于B:令x=1,可得a0十a1十a2十…十a225=12025 (1+1b1)"=243=35,(1十a)m=32=25,因此n=5, =1,故B正确； |a=1,b=2.故选AD. 对于C:令x=-1,可得a0-a1十a2-a3十…十a2o2i 15.解析(1)因为fn(x)=(1十x)", -a2025=(-5)2025=-52025, 所以f2025(x)=(1+x)2025, 结合选项B,两式作差，可得2(a1十ag十a5十…十 又f202s(x）=a0十a1x十…十a2025x2025 a2025）=52025+1, 所以f2025(1)=a0+a1十…+a2025=22025,① 即a1十a十a5十…十a20s-525+1,故C正确， f2025(-1)=a6-a1+…+a2024-a2025=0,② 2 ①-②，得2(a1十a3十…十a2023十a2025)=22025, 对于D:个一号可得a+号+导学+导+…+器器 所以a1十a3十…+a2023十a2025=22024 (2)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x), =(-1)2025=-1,故D正确. 所以g(x)=(1十x)5+2(1+x)7+3(1+x)8,g(x)中 故选BCD. 含x6项的系数为1+2×C+3C8=99. 11.解析由题a2=1×C·(-1)3+2×C号·(-1)2=8. 令x=1,则ao十a1十a2十a3十a4十a5=0. 学业评价（九）条件概率 令x=0,则a0=2. 1.ACD由乘法公式可知选项A正确，则选项B不正确， 所以a1十a2十a3十a4十a5=-2. 因为0≤P(A|B)≤1，P(AB)=P(A)P(BA),所以 答案8一2 P(AB)≤P(A),所以C正确；因为0≤P(A)≤1， 12.解析由题意可得第1行，第3行，第7行，第15行， P(AB)=P(A)P(B|A),所以P(AB)≤P(B|A),所以 全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2m一1 D正确. 行；由n=6,得25一1=63，故第63行共有64个1，逆 2.A出现点数五不相同的共有6×5=30种，出现一个5 推知第62行共有32个1. 答案2m-132 点共有5X2-10种，所以PBA-8-号 33学业评价（七） 二项式定理 [必备知识·基础巩固] C.对任意n∈N”,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N”,展开式中有x的一次项 1.C·2十C·2-1+…十C·2+…十C= 10.(1+)1十x)展开式中含的项的系数为 ( A.2 B.2"-1 C.3" D.1 ( ) A.4 B.6 C.10 D.12 2.若(1十√2)4=a十b√2(a,b为有理数)，则a十b= ( 1.若(2+)八的展开式共有7项，则n=一： A.33 B.29 C.23 D.19 展开式中的常数项是 3.二项式(ax2-1） 10 的展开式的常数项为60，则a 工 12.(2024·全国甲卷)（号+x)的展开式中，各项 的值为 () 系数中的最大值为 A.2 B.-2 C.±2 D.±3 13.已知（√：+红）"（其中n<15)的展开式中第9 的展开式中，下列说法正确 项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. ( (1)求n的值； 的是 (2)写出它展开式中的所有有理项。 A.所有项系数和为64 B.常数项为第4项 C.整式共有3项 D.x3项的系数-81 5.(x一y)(x+y)的展开式中x2y的系数为 (用数字填写答案) 6.(2024·天津卷)在 的展开式中，常数 项为 7.已知n∈N且m>1,z(e2- 的展开式中存在 常数项，写出n的一个值为 8.已知在（合r- 的展开式中，第9项为常数 项，求： [核心价值·探索创新] (1)n的值； (2)展开式中x的系数； 14.(2024·苏州高二期未)1.010最接近下列哪个 (3)含x的整数次幂的项的个数。 数字 () A.1.20 B.1.21 C.1.22 D.1.23 15,(1求多项式(2+号一2)的展开式： (2)求(1+x)2·(1-x)的展开式中x3的系数. [关键能力·综合提升] 9.(多选题)对于二项式（是十x)广（∈N),以下四 种判断正确的是 A.存在n∈N”,展开式中有常数项 B.对任意n∈N·,展开式中没有常数项 13 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 学业评价（八） 二项式系数的性质 8.若(2x-3y)10=a0x10+a1x°y+a2xy2+…+ [必备知识·基础巩固] a1oy°，求： 1.已知(x-1)0=a。十a1x+a2x2+…+a1ox2°，则 (1)各项系数之和： a1十a2十…十a1o= ( (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和. A.20 B.0 C.1 D.-1 2.已知(2-x)0=a。十a1x十a2x2+…十aox1°，则 as= ( A.180 B.-180 C.45 D.-45 3.（多选题)关于(a一b)1°的说法，正确的是() A.展开式中的二项式系数之和为1024 B.展开式中的第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 [关键能力·综合提升] 4.若(2x-1)=a4x+ax3+a2x2+a1x+a0,则 a。十a2十a4= 9.(多选题)设二项式（近+上）广” 的展开式中第5项 A.40 B.41 是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的 C.-40 D.-41 项是 5.设(2红-1)"的展开式的各项系数之和为M,二 : A.第8项 B.第9项 项式系数之和为N,若M,8,N三数成等比数列， C.第10项 D.第11项 则展开式中的第四项为 10.(多选题)已知(3x-2)2晒=4。十a1x十a2x2十…十 6.(2x一1)°的展开式中x的奇次幂项的系数之和 a2025x2025,则 为 A.a。=22025 7.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a, B.ao十a1十a2十…十a2o25=1 b,c,d是相邻两行的前四个数（如图所示），那么 C.ata十a,++as-5+l 2 当a=8时，c= ,d= D.a,+号+导+号+…+器=-1 32025 22 343 11.已知多项式(x+2)(x-1)‘=a十a1x十a2x2+ 4774 51114115 t+t440+4et44 a3x3十a4x十a5x5,则a2=,a1十a2十 .......................... 44+e+e0 as十a4十as= 14 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如 [核心价值·探索创新] 图所示的0一1三角数表.从上往下数，第1次全 行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为 14.(多选题)(1+ax十by)"的展开式中不含x的项 1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的 的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数 是第 行；第62行中1的个数是 的绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为() A.a=1,b=2,n=5 第1行 11 B.a=-2,b=-1,n=6 第2行 101 C.a=-1,b=2,n=6 第3行 1111 第4行 10001 D.a=-1,b=-2,n=5 第5行 110011 15.已知f.(x)=(1十x)". 1.若(：-兰）广(a>0)的展开式中所有项的二项 (1)若f2s(x)=a0+a1x十…十a2sx225,求 式系数之和为32，前3项的系数之和为31. a1十ag十…十a202a十a2o25的值； (2)若g(x)=f。(x)+2f,(x)十3f(x),求g(x) (1)求实数n和a的值； 中含x项的系数 (2)求(2-是）广1+3x+x)的展开式中2的 系数 15