学业评价(二) 计数原理的综合应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册课后案·学业评价（人教A版2019）

学业评价（二） 计数原理的综合应用 8.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. [必备知识·基础巩固] (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同 1.已知x∈(1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示 的选法？ 不同值的个数为 (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻 A.2 B.4 醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ C.8 D.15 2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相 邻的坐法种数为 A.144 B.120 C.72 D.24 3.一植物园的参观路径如图所 示，若要全部参观并且路线不 重复，则不同的参观路线共有 ( A.6种 B.8种 C.36种 D.48种 4.(多选题)现有3名老师，8名男学生和5名女学 生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题 中正确的是 ( A.只需1人参加，有16种不同选法 B.若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有 120种不同选法 C.若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同 [关键能力·综合提升] 选法 D.若需3名老师和1名学生参加，则有56种不 9.满足a,b∈{一1,0,1,2}，且关于x的方程a.x2十 同选法 2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 5.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数，共有 个 A.14 B.13 C.12 D.10 6.某中学高二(1)班一学生由教学楼五层走到一层 :10.某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个 去做课间操，每层均有两个楼梯，则他的走法有 部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部 种 门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部 7.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位 门，则不同的分配方案种数是 ) 数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成 A.18 B.24 的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个. C.36 D.72 。数学·选择性必修第三册（配RJA版） 11.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序 [核心价值·探索创新] 用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子，寅、 辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、 14.定义“规范01数列”{a。}如下：{am}共有2m项， 癸”和地支的“丑、卯、已、未、酉、亥”相配，共可 其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m,a1, 配成 组 a2,…,a中0的个数不少于1的个数.若m=4, 12.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字， 则不同的“规范01数列”共有 组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 A.18个 B.16个 ,奇数的个数为 C.14个 D.12个 13.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4： 15.用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同 求在①②③④四个区域中相邻（有公共边界）的 的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不 区域不用同一种颜色。 同的涂色方法？ ② ④ ① ④ 2 ③ n (1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同的 方法？ (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n 的值.Le 8×10种不同的选法：从三，四班学生中各选1人，有：7.解析分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4，共 9×10种不同的选法. 4种情况，分别求得满足题意的“好数”的个数，根据分 所以，共有不同的选法V=7×8+7×9+7×10十8× : 类加法计数原理，即可得答案， 9+8×10+9×10=431(种). 当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4 14.D因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类 种情况. 加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5 当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411， ·3,12→64,12-6→7,12-8-6，故单位时间内传 1121,1131,1141,有9种结果， 递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量 当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种结果， 的和：3+4+6十6=19. 根据分类加法计数原理可知，共有12种结果， 15.解析(1)可分为两类：A中元素为x,B中元素为y 答案12 或A中元素为y,B中元素为工，则共得到3×4十4× ：8.解析(1)分三类： 3=24个不同的点. 第一类，选出的是医生，有3种选法： (2)第一象限内的点，即x,y均为正数，所以只能取A, 第二类，选出的是护士，有5种选法： B中的正数，共有2×2+2×2=8个不同的点. : 第三类，选出的是麻醉师，有2种选法。 根据分类加法计数原理，共有3十5十2=10种选法。 学业评价（二）计数原理的综合应用 (2)分三步： 1.D完成xy这件事分两步， 第一步，选1名医生，有3种选法： 第一步：从集合{1,2,3,4}选一个数，共有4种选法： 第二步，选1名护士，有5种选法： 第二步：从集合{5,6,7,8}选一个数，共有4种选法： 第三步，选1名麻醉师，有2种选法。 共有4×4=16种选法.其中3×8=4X6,所以xy可表 根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2=30种选法. 示的不同值的个数为15. :9.B由已知得ab≤1. 2.D剩余的3个座位共有4个空隙供3人（不妨记为甲、 若a=一1时，b=一1,0,1,2，有4种可能： 乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选 若a=0时，b=一1,0,1,2，有4种可能； 一个空隙，有4种不同的选择：乙从余下的3个空隙中 若a=1时，b=一1,0,1，有3种可能： 任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空 若a=2时，b=-1,0,有2种可能. 隙中任选一个空隙，有2种不同的选择.根据分步计数 ∴.共有(a,b)的个数为4+4+3十2=13. 原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2=24.故 10.C由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人 选D. 员，测有3种方法：翻译人员的分配有2种方法：再从 3.D如图所示，由题意知在A,点可 剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3=18 先参观区城1，也可先参观区域2或 (种)分配方案，②甲部门要1名电脑编程人员，则有3 3,选定一个区城后可以按逆时针参 种方法：翻译人员的分配有2种方法：再从剩下的3个 观，也可以按顺时针参观，所以第一 人中选2人，方法有3种，共3×2×3=18（种）分配方 步可以从6个路口任选一个，有6 案.由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有 种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种 18+18=36(种). 结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种 :11.解析分两类：第一类：由天千的“甲、丙、戊、庚、壬”和 走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2=48种不 地支的“子、寅、辰、午、中、戌”相配，则有5×6=30（组） 同的参观路线， 不同的结果，第二类也有30组不同的结果，共可得到 4.ABC选项A,分三类：取老狮有3种选法，取男学生有 30十30=60（组）. 8种选法，取女学生有5种选法，故共有3十8十5=16种 答案60 选法，故A正确： :12.解析若要求组成的数字是偶数，分为两步，从0和2 选项B,分三步：第一步选老师，第二步选男学生，第三 中任选一个数字放在个位，有2种选法，从1,3,5中选 步选女学生，故共有3×8×5=120种远法，故B正确： 1个数宇，放在百位有3种选法，再选1个数字放在十 选项C,分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步， 位，有2种选法，因此共有2×3X2=12个偶数. 又分为两类：第一类选男学生，第二类选女学生，故共有 若是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶 3×(8十5)=39种选法，故C正确： 奇，偶奇奇，如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位 选项D,若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同 开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位 选法，故D错误， (2种情况)，共12种：如果是第二种情况偶奇奇：个位 故选ABC. (3种情况)，十位(2种情况)，百位(1种情况)，共6种， 5.解析根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9： 因此奇数总共有12十6=18（个）. 共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有 答案1218 1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个.8个，由分类加法 13.解析依题意，可分两类情况：①④不同色：①④同色 计数原理知，符合题意的两位数共有1十2十3十4十5+ 第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相 6+7+8=36(个). 同，我们可将这件事情分成4步来完成. 答案36 第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法： 6.解析利用分步乘法计数原理即可求出结果.共分4： 第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种 步：五层到四层2种，四层到三层2种，三层到二层2 涂法： 种，二层到一层2种，一共24=16种. 第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种 答案16 涂法 26 于是由分步乘法计数原理得，不问的涂法为5×4X 10.C11=1,2!=2,3！=6,4！=24,5！=120 3×2=120(种). 而6！=6×5！，7！=7×6×5！，…，100！=100×99× 第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工 ×6×5!,所以从5！开始到100！，个位数字均为0， 作分成三步来完成. 所以S的个位数字为3. 第一步涂①④，有5种涂法：第二步涂②，有4种涂法： 11解析当x≠0时，有A=24(个)四位数，每个四位数 第三步涂③，有3种涂法， 的数字之和为1十4十5+x, 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4× 故24(1十4+5+x)=288,解得x=2: 3=60(种). 当x=0时，每个四位数的数字之和为1十4十5=10， 综上可知，所求的涂色方法共有120十60=180（种）. 而288不能被10整除，即x=0不特合题意，综上可 14.C由题意必得a1=0,ag=1,具体情况如下： 知，x=2. 00001111,00010111,00011011,00011101,00100111, 答案2 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111, 01001011,01001101,01010011,01010101,共14个. 12.解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置， 15.解析完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考 从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5 虑为①，②，③，④这四个区城着色时各自的方法数，再 : 个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的 利用分步乘法计数原理确定出总的方法数 招聘方案共有A=5×4×3=60(种). (1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5 答案60 种方法，为③区城着色时有4种方法，为④区城着色时 13.解析根据原方程，x∈N",且应满足 有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法 有6×5×4×4=480（种）. 2x+1≥4·解得x≥3. x≥3. (2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域 根据排列数公式，原不等式可化为(2x十1)·2.x· 着色时有(n一1)种方法，为③区域着色时有(n一2)种 (2.x-1)·(2x-2)140x·(x-1)·(x-2). 方法，为④区域着色时有(n一3)种方法，由分步乘法计 x≥3，.两边同除以4x(x-1), 数原理可得不同的着色方法数为n(n一1)(1一2)(n一3). 得(2.x+1)·(2x-1)<35(x-2), ,∴.n(n-1)(n-2)(n3)=120, ∴.(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0, 即4r2-35.x+69<0,解得3<x<5 4 即(n2-3m)2+2(n2-3n)-120=0. :x∈N*.x=4或x=5. .n2-3m-10=0或n2-3n+12-0(舍去). 14.解析(1)因为当各数位上的数字之和能被3整徐时， ,.n=5(负值舍去). 该数就能被3整徐， 学业评价（三）排列与排列数 所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，所 以共有2×A=12(个). 1.C从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为： (2)显然x≠0，因为1,2,4，x在各个数位上出现的次 甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 数都相同，且各自出现A」·A次，所以这样的数字之 2.D由题意可得从5本不同的书中选2本送给2名同 学，每人1本，不同的送法种数为A号=20. 和是(1+2+4+x)·A·A, 3.B由A2+1-A号=10，得(n+1)n-n(n-1)=10,解得 即(1+2+4+x)·A·A号=252， n=5. 所以7十x=14,解得x=7. 4.AD由排列的定义知A,D是排列问题 答案(1)12(2)7 5.解析因为A0=n(n-1)(n一2)…(n一m十1)=17× 15.(1)解析原不等式等价于 16×15×…×5×4, 8! 8! 所以n=17,又n一m十1=4，所以m=14. [8-+2<6×821 答案1714 x+2≤8且x∈N*, 6.解析由题意知，m=1,2,3,4,由A=A,故集合P中 整理得 x2-15r+500, 共有3个元素 x≤6且x∈N°， 答案3 即5<x≤6且x∈N",从而解得x=6. 7.解析在已知的5个数字中任选4个作全排列即可得 (2)证明A”一A=(n+1)!一n! 答案. =(n十1)n！-n!=nn！=nAg. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，即任选4个 A+2A号+3A+…+8A8=(A-A)+(A3 数字作全排列即可， 所以可组成A=5×4×3×2=120(个). A8)+…+(A8-A)+(A8-A8)=A8-A}=9！-1 答案120 =362879. 8.解析由题意可得A品+2一A=58, 学业评价（四）排列与排列数的应用 即(n十2)(n十1)一n(n-1)=58,解得n=14. 所以原有车站14个，现有车站16个. 1.C由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法 9.BD由排列数公式可知A=(1一1)(n一2)…(t一m十1)， 种数为A=720. 故B正确： 2.B根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在 A=n而ANA=nXg n. 父母中间，将三人看成一个整体，有2种排法，将这个整 (n-m)! (n-m)1 体与爷爷和奶奶全排列，有A=6种撸法，则有2X6 ∴.AAm=A,故D正确。 12种不同的排法. 27