第七章 随机变量及其分布 章末整合提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 章末整合提升 →知识网络 条件概率 条件概率 与全概率 乘法公式与全概率公式 公式 独立性与条件概率的关系 随机变量 随机变量 及其分布 离散型随机变量的分布列 二项分布与超几何分布 随机变量 均值 随机变量的数字特征 方差 正态曲线 正态分布 3o原则 →添提开 2.已知某种传染性病毒使人感染的概率为 0.95,在感染该病毒的条件下确诊的概率为 一、条件概率 0.84,则感染该病毒且确诊的概率是( ) 条件概率是学习相互独立事件的前提和基 A.0.798 B.0.884 础,计算条件概率时,必须搞清要求的条件 C.0.889 D.0.95 概率是在什么条件下发生的概率,一般地, 二、全概率公式 计算条件概率常有两种方法 1.全概率公式:一般地,设A.,A。,..,A是 (1)P(B/A)-P(AB) 一组两两互斥的事件,A.UA。U..UA P(A)· 2,且P(A)>0,i-1,2,..,n,则对任意的 (2)P(B/A)-n(AB) n(A): 事件B二2,有P(B)-P(A)P(BlA). 在古典概型中,n(AB)指事件A与事件B 2.解决全概率公式的问题,首先把所求概率 同时发生的基本事件个数;n(A)是指事件 的事件分解为若于个互斥事件的和,然后 A发生的基本事件个数 利用全概率公式计算 [题组训练] [题组训练] 3. 甲、乙、丙三名同学相约一起打兵乓球,已 5 ,则P(BA)一 知丙与甲、乙比赛,丙每局获胜的概率分别 ,_ __ ## ##} 影响,若乙、丙采用“三局两胜制”进行比 539 数学·选择性必修 第三册(配RJA版) (1)求,的值; [规范解答] 随机变量X的可能取值为 3,4,5,6.① (2)在甲、乙两名同学中用抽签法随机选择 ...........................分 一名同学与丙进行一局比赛,求丙获胜的 概率. #(-4- ............... 10分 因此随机变量X的分布列为 X 4 3 5 6 # P ............................ ..分 3+5× 20 20 121 24 ............................... .5分 三、离散型随机变量的均值和 (题点多探) 方差 (多维探究) 阅卷提醒:若①处不能正确写出随机 1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要 变量X的取值,本题为0分. 学习两种:超几何分布与二项分布,由于这 阅卷提醒:在②处每算错一个概率的 两种分布列在生活中应用较为广泛,故在 值扣2分,扣完8分为止. 高考中对该知识点的考查较灵活,常与期 角度二 均值与方差的实际应用 望、方差融合在一起,横向考查 典题 某生在解答数学考试题中有两种方 2.均值与方差都是随机变量重要的数字特 案:方案一,按题号顺序解答;方案二,先做 征,方差是建立在均值这一概念之上的,它 解答题,后做选择题、填空题,且分别按题 表明了随机变量所取的值相对于它的均值 号顺序依次解答,根据以往经验,若能顺利 的集中与离散程度,二者联系密切,在现实 地解答某题,就增强了解答题目的信心,提 生产生活中特别是风险决策中有着重要意 高后面答题正确率的10%;若解答受挫 义,因此在当前的高考中是一个热点问题 就增加了心理负担,降低了后面答题正确 角度一. 均值与方差的计算 率的30%,为了科学地决策,他采用了一 典题] (15分)(规范答题)口袋中装有6 个特例模型:在某次考试中有6道题,他答 个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6 对每道题的概率分布和题目的分值如 现从中随机取出3个球,用X表示取出的 下表: 最大号码,求X的分布列及均值 题号 1 2 3 4 5 6 [审题指导] 首先根据X的意义确定随 概率0.95 0.850.8 0.9 0.5 0.2 机变量X的取值,然后计算其对应的概 2 分值 12 5 5 5 14 率,写出随机变量的分布列 60 第七章 随机变量及其分布 (1)在方案一中,求他答对第2题的概率; 均值、方差分别与随机变量;的均值、方差 (2)在方案一中,求他答对第3题的概率; 近似相等,某射手对目标进行400次射击, (3)请你帮助他作出科学的决策 [自主解答] 射击命中次数小于336的概率约为 附:若n~N(,}),则P(-+)= $$.6 827,P$(-2 +2)=0.954$ $$(-30 +3o)=0.9973$ A.0.9987 B.0.9773 C.0.8414 D.0.6931 5.(2024·石家庄高二期末)李老师教高二甲 班和乙班两个班的数学,这两个班的人数 相等,某次联考中,这两个班的数学成绩均近 似服从正态分布,其正态密度函数f(x) 2πo 态分布的期望,。是正态分布的标准差,且 P( $-)=0.6827,P($X-<2)= 0.9545,P(1X-l<3o)-0.9973.关于 这次数学考试成绩,下列结论正确的是 ( ##1 ) 四、正态分布 正态分布在实际生产生活中有广泛的应 甲班 用,在解题中注意求准正态分布中的参数 乙班 1,g,熟练掌握随机变量在三个区间(-。. 98100 +o),(-2o,+2o),(-3o,+3o)内 A. 甲班的平均分比乙班的平均分高 取值的概率 B.相对于乙班,甲班学生的数学成绩更 [题组训练] 分散 4.(2024·烟台高二期末)中心极限定理在概 C. 甲班108分以上的人数约占该班总人 率论中应用广泛,根据该定理,若随机变量 数的4.55% ~B(n,),当n充分大时,可以由服从 D.乙班112分以上的人数与甲班108分 正态分布的随机变量”近似替代,且>的 以上的人数大致相等 提示:[章末达标检测]请完成检测卷(二) 61@ .P(X>c+1)=P(X<c-1), (2)若第2题答对，则他答对第3题的概率为0.972 故有2-(c-1)=(c十1)-2，∴c=2. 0.85×(1+10%)=0.90882. (2)P(-4<X≤8)=P(2-2×3<X≤2+2×3)= 若第2题受挫，则他答对第3题的概率为 P(μ-2a<X≤u+2a)=0.9545. (1-0.972)×0.85×(1-30%)=0.01666. [例3][解析](1)由X~N(100,100),知=100，o=10. .他答对第3题的概率为0.90882十0.01666= ,∴.P(80<X≤120)=P(100-20<X≤100+20)= 0.92548 0.9545,即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为 : (3)同理可得到他在方案一中答对各题概率分布如下： 0.9545. 题号12 4 5 6 (2):P(90<X≤110)=P(100-10<X≤100+10)= 概率0.950.9720.925480.8561540.5212310.181698 0.6827, 他得分的数学期望是 ∴P(X>110)=2×(1-0.6827)=0.15865, 5×0.95+5×0.972+5×0.92548+5×0.856154+ .P(X≥90)=0.6827+0.15865=0.84135. 12×0.521231+14×0.181698=27.316714. ∴.及格人数为2000×0.84135≈1683（人）. 他在方案二中答对各题的概率分布如下： [触类旁通] 题号56 1 3 3.解析由于X服从正态分布N(4,0.052),由正态分布 概率0.50.180.7334 0.8940240.8989680.84767 的性质，可知正态分布N(4,0.052)在(4-3×0.05,4十 .他得分的数学期望是12×0.5+14×0.18+5× 3×0.05)之外的取值的概率只有0.0027,3.7任(3.85， 0.7334+5×0.894024+5×0.898968+5×0.84767 4.15),这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的 =25.39031. 小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的. 故他应该采用方案一答题，才是科学的。 章末整合提升 题组训练 [深化提升]—题组训练 4.B射击命中次数X服从二项分布X~B(40,号)， 1.AP(B1A)=PAB=召=5 P(A)3 6 均值EX0=40×号=320， 5 故选A. 方差D(X)=40×号×(1-号)=64， 2.A记“感染该病毒”为事件A,“确诊“为事件B, 所以=320,0=8， 则P(A)=0.95,P(BA)=0.84, P(X<336)=P(X<+2a) 所以P(AB)=P(B引A)·P(A)=0.84×0.95=0.798. =1-P(X>u+2a) 即感染该病毒且确诊的概率是0.798. =1-1-P-2a≤≤4+2a) 2 故选A 3.解析(1)由题知，乙、丙进行比赛，丙每局获胜的概率 =1-1-0.9545-0.97725≈0.9773. 2 为p(0<p<1),若乙、丙采用“三局两胜制”进行比赛， 故选B. 丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为p=p2;或者：5.D对于A,由图知以甲=98，z=100,即甲班的平均分 前两局乙、丙各胜一局且第三局丙胜，概率为p2= 比乙班的平均分低，故A错误； C是p2(1一p),所以丙获胜的概率为p2十C2p2(1一p)= : 对于B,因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即甲< 号p,解得D=是 乙，表示甲班的数学成绩更集中，故B错误； 对于C,甲班f(x)=e学的最大值为，1 (2)设A1事件为：甲与丙进行比赛，A2事件为：乙与丙进 √2πa 月5√2元 行比案，B事件为：丙比套获胜，则P(A1)-是，P(A2) 则g甲=5， =,PAB)=号，P(A,B)=是， 则P(X>108)=P(X>+2o）=21-P1X-r≤ 2g)]=0.02275≠4.55%，故C错误： 所以PB)=PA1)P(BA1)+PA,)PBlA,)=2× 对于D,乙班f(x)= 1 e的最大值为。1 2πG 6√2元 号+×品 则c元=6， 则P(X>112)=P(X>4十2a) [典题2][解析](1)若第1题答对，则他答对第2题的 概率为0.95×0.9×(1+10%)=0.9405. -21-PX-a≤2o]=0.02275, 若第1题受挫，则他答对第2题的概率为(1一0.95)× 又这两个班的人数相等，则乙班112分以上的人数与甲 0.9×(1-30%)=0.0315. 班108分以上的人数大致相等，故D正确」 ∴.他答对第2题的概率为0.9405十0.0315=0.972. 故选D. 20