8.3 列联表与独立性检验-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

$$\therefore b = \frac { 2 ^ { 2 } x y _ { 1 } - 5 x ^ { 2 } } { \sum _ { i } ^ { 2 } x _ { i } - 5 x ^ { 2 } } = \frac { 6 2 0 - 5 \times 1 8 \times 7 . 4 } { 1 6 6 0 - 5 \times 1 8 ^ { 4 } } = - 1 . 1 5 ，$$ [基础自测] 1.(1)√ (2)×(3)√ (4)√ 2.D 由等高堆积条形图易知，D选项两个分类变量关系 $$\overrightarrow { a } = \overrightarrow { y } - \overrightarrow { b } \overline { x } = 7 . 4 + 1 . 1 5 \times 1 8 = 2 8 . 1 ，$$ 最强， ∴ 所求经验回归方程为 $$\hat { y } = - 1 . 1 5 x + 2 8 . 1 .$$ 3.B 独立性检验只是在一定的可信度下进行判断，不一 列出残差表： 定正确，故选B. $$y _ { i } - \hat { y } ；$$ 0.3 -0.4 -0.1 0.2 4.A 根据列联表中的数据，可得 $$y _ { i } - \overline { y }$$ 4.6 2.6 -0.4 -2.4 -4.4 $$x ^ { 2 } = \frac { 9 0 \times \left( 1 1 \times 3 7 - 3 4 \times 8 \right) ^ { 2 } } { 4 5 \times 4 5 \times 1 9 \times 7 1 } \approx 0 . 6 0 0 .$$ .故选A. $$\left( y _ { i } - \overline { y } \right) ^ { 2 } = 0 . 3 ， \sum _ { i = 1 } ^ { 5 }$$ $$\left( y ； - \overline { y } \right) ^ { 2 } = 5 3 . 2 ，$$ 课堂案·互动探究 [例1][解析]等高条形图如图所示 $$R ^ { 2 } = 1 - \frac { 2 ^ { 3 } \left( y _ { 1 } - y _ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i } ^ { 2 } \left( y _ { i } - \overline { y } \right) ^ { 2 } } \approx 0 . 9 9 4 ，$$ 1 0.8 口阴性 故回归模型的拟合效果很好. 0.6 口阳性 0.4 [触类旁通] 0.2 3.解析由(1)可得 $$y _ { i } - \hat { y } ；$$ 与 $$y _ { i } - \overline { y }$$ 的关系如下表； 0 $$y _ { i } - \hat { y } ；$$ -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5 铅中毒病人 对照组 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样 $$y _ { i } - \overline { y }$$ -10 10 0 20 本中尿棕色素为阳性的频率， ∴2 $$\left( y _ { i } - j _ { i } \right) ^ { 2 } = \left( - 0 . 5 \right) ^ { 2 } + \left( - 3 . 5 \right) ^ { 2 } + 1 0 ^ { 2 } +$$ 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色 素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素 $$\left( - 6 . 5 \right) ^ { 2 } + 0 . 5 ^ { 2 } = 1 5 5 ，$$ 为阳性有关联. $$\left( y ； - \overline { y } \right) ^ { 2 } = \left( - 2 0 \right) ^ { 2 } + \left( - 1 0 \right) ^ { 2 } + 1 0 ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } + 2 0 ^ { 2 } =$$ [触类旁通] 1000. 1.解析根据题目所给的数据得到如下 2×2 列联表： $$\therefore R | = 1 - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { i } \left( y _ { i } - \overline { y } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { - 1 } \left( y _ { i } - \overline { y } \right) ^ { 2 } } = 1 - \frac { 1 5 5 } { 1 0 0 0 } = 0 . 8 4 5 .$$ 网络 期末成绩 总计 经常上网 不经常上网 由(2)可得 $$y _ { i } - \hat { y } ；$$ 与 $$y _ { i } - \overline { y }$$ 的关系如下表： 不及格 80 120 200 一5 8 一3 及格 120 680 800 y：一 -20 10 0 20 总计 200 800 1000 $$\left( y _ { i } - j _ { i } \right) ^ { 2 } = \left( - 1 \right) ^ { 2 } + \left( - 5 \right) ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } + \left( - 9 \right) ^ { 2 } + \left( - 3 \right) ^ { 2 } =$$ 得出等高堆积条形图如图所示；： 经常上网 180，2 $$\left( y ； - \overline { y } \right) ^ { 2 } = \left( - 2 0 \right) ^ { 2 } + \left( - 1 0 \right) ^ { 2 } + 1 0 ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } + 2 0 ^ { 2 } =$$ 不经常上网 0.8 1000. 0.7 7 0.6 $$\therefore R _ { 2 } = 1 - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { 1 } \left( y _ { i } - j _ { i } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( y _ { i } - \overline { y } \right) ^ { 2 } } = 1 - \frac { 1 8 0 } { 1 0 0 0 } = 0 . 8 2 .$$ 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 由于 $$R _ { 1 } ^ { 2 } = 0 . 8 4 5 ， R _ { 2 } ^ { 2 } = 0 . 8 2 ， 0 . 8 4 5 > 0 . 8 2 ， \therefore R _ { 1 } ^ { 2 } > R _ { 2 } ^ { 2 } .$$ 0 不及格及格 ∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果， 比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频 8.3 列联表与独立性检验 率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上 8.3.1 分类变量与列联表 网与学习成绩有关联. 8.3.2 独立性检验 [例2][解析](1)年龄低于40岁的有1000×60%= 课前案·自主学习 600(人)，完成2×2列联表如表所示， [教材梳理] 头盔 导学 年龄 合计 佩戴 未佩戴 [问题][提示]可通过表格与图形进行直观分析，也可 通过统计分析定量判断. 低于40岁 540 60 600 ◎结论形成 不低于40岁 340 60 400 1.不同类别 合计 880 120 1000 2.(1)频数表 23 @ (2)零假设为H。:遵守佩戴安全头盔与年龄无关， (3)根据(2)的列联表得 由公式得X2-1000X(60X540-60×340)2-125 X-100X064X106x102≈7.484. 600×400×880×120 22 80×20×74×26 5.682<6.635=x0.01, 由于7.484>6.635=x0.010,故有99%的把握认为该市 ∴.根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据 一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即认为遵守佩 章末整合提升 戴安全头盔与年龄无关。 [深化提升]一题组训练 [触类旁通] 1.解析(1)散点图如图： 2.B 由2=407×32x23-61X101)2≈0.164< 93×314×133×274 200 2.706=x0.1, 150 100 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有把握认为是 504 否经过处理跟是否生病有关 0 [例3][解析](1)列联表如下所示： 12345 (2)因为x=0+1+2+3+4=2, 态度 教师 总计 y=50+70+80+110+190-100. 5 赞同 不赞同 2xy:=0×50+1X70+2×80+3×110+4X1909 老教师 10 10 20 1320, 青年教师 24 6 30 含子=02+12+2+32+40=30， 所以6=1320-5X2X100=32,a=y-6元=36. 30-5×22 总计 34 16 50 所以经验回归方程为y=32x十36. (2)零假设为H0:青年教师和老教师在新课程教学模式 (3)令x=11,则32×11+36=388， 的使用上没有差异， 故估计2025年该城市人口总数为388（万）. 由公式得x-50X00X624X102≈4.963>3.841 2.解析 （1)z=2+4+5+6+8=5. 34×16×20×30 5 =x0.051 y=3+4+4+4+5=4, 5 我们推断H。不成立，即认为青年教师和老教师在新课 程教学模式的使用上有差异，此推断犯错误的概率不大 含x-五00-)=6 于0.05. 2(x:-)(y-） 6 [触类旁通] 相关系数r 3.解析(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5 √②-0,-225· 浓度不超过75，且S02浓度不超过150的天数为32十 √0≈0.95， 9 18十6十8=64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超 过75，且S02浓度不超过150的概率的估计值为654 因为r>0.75,所以y与x具有较强的线性相关关系，可 100 用线性回归模型拟合y与x的关系 0.64. (2)根据抽查数据，可得2X2列联表： (2)由(1)可知，6= 立(x:-z)(y-） 6=3 20-10, S02 2(x-x)2 [0,150] (150,475) PM2.5 ×5= a=y-b证=4-i0 2 [0.75] 64 16 所以y与工之间线性回归方程为=品+受， 3 (75,115] 当x=7时，=晶×7+受=46 10 10 所以当A指标数为7时，B指标数的估计值为4.6， 24·数学·选择性必修 第三册(配RJA版) 8.3 列联表与独立性检验 8.3.1 分类变量与列联表 8.3.2 独立性检验 学业标准 素养目标 1.通过列联表和独立性检验概念的学习,培养数 1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义.(重点) 学抽象等核心素养, 2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用 2.在对分类变量进行独立性检验的过程中,提升 (重点、难点) 数据分析和数学运算等核心素养 课前案·自主学习 必备知识 素养初成 教材梳理 (2)抽样数据列联表 Y 导学 x 独立性检验 合计 Y-0 Y-1 2问题 山东省教育厅大力推行素质教育, X-0 d 。 a十b 增加了高中生的课外活动时间,某校调查 x-1 d C c_d 了学生的课外活动方式,结果整理成下表; 合计 a十c bd n-a十b十c十d 活动方式 性别 合计 3.独立性检验 体育 文娱 (1)x{}的计算公式:记n=a十b十c十d,则 男生 210 230 440 n(ad-bc)2 22 女生 60 290 350 (a十b)(c十d)(a十c)(b十d)' 合计 790 (2)利用^{}的取值推断分类变量X和Y 270 520 是否独立的方法称为x{独立性检验,读作 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否 “卡方独立性检验”,简称独立性检验 有联系”? (3)应用独立性检验解决实际问题包括以 下几个环节: ①提出零假设H:X和Y相互独立,并给 出在问题中的解释; 结论形成 ②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算 1.分类变量:变量的不同“值”表示个体所属 的值,并与临界值x。比较; 的 ,像这样的变量称为分类变量 ③根据检验规则得出推断结论 2.列联表 ④在X和Y不独立的情况下,根据需要, (1)定义,列出的两个分类变量的 通过比较相应的频率,分析X和Y间的影 称为列联表。 响规律. 70 第八章 成对数据的统计分析 4.临界值 对。 忽略文的实际分布与该近似分布的误差 后,对于任何小概率值。,可以找到相应的 正实数x。,使得下面关系成立:P(x{}x。) 一,我们称x。为a的临界值 11 ? C D. 基础自测 3.以下关于独立性检验的说法中,错误的是 ) 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“×”) A.独立性检验依据小概率原理 (1)列联表中的数据是两个事件的频数 ( B.独立性检验得到的结论一定正确 C.样本不同,独立性检验的结论可能有 (2)事件A与B的独立性检验无关,即两 差异 个事件互不影响. ( (3)^{②}的大小是判断事件A与B是否相关 D.独立性检验不是判定两个分类变量是 的统计量. 否相关的唯一方法 (4)在独立性检验中,x的值越大,判断事 4.高二第二学期期中考试,按照甲、乙.两个班 - 件A与B有关的把握就越大. 学生的数学成绩优秀和及格统计人数后 2.用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量 得到如下列联表 数学成绩 是否相关,观察下列各图,其中两个分类变 班别 优秀 总计 及格 量关系最强的是 ( ) 甲班 3 45 22》 乙玳 ( □1 37 45 总计 # 77 90 则随机变量x2的值约为 ( A.0.600 B.0.828 1) C.2.712 D.6.004 7 。 课堂案·互动探究 关键能力 素养提升 题型一 等高堆积条形图及应用 差别,铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否 例 为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性 有关联? 是否有关联,分别对病人组和对照组的尿 [自主解答] 液作尿棕色素定性检查,结果如下 尿棕色素 组别 总计 阳性数 阴性数 7 29 铅中毒病人 36 对照组 28 37 38 35 总计 73 试画出列联表的等高堆积条形图,分析铅 中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无 71 ·数学·选择性必修 第三册(配RJA版) 规律万法 题型二 两个分类变量无关联的独立性检验 在等高条形图中,可以估计满足条件X一x.的 例 有关研究表明,正确佩戴安全头盎,规 个体中具有Y一y:的个体所占的比例a 烈#也可以 范使用安全带能够将交通事故死亡风险大 幅降低,对保护群众生命安全具有重要作 估计满足条件X一x。的个体中具有Y一y.的个体 用,某市针对电动自行车骑乘人员是否佩 戴安全头奋问题进行调查,在随机调查的 有关联成立的可能性就越大, 1000名骑行人员中,年龄低于40岁的占 [触类旁通] 60%,记录其年龄和是否佩戴头奋情况,得 1.网络对现代人的生活影响较大,尤其是对 到2×2列联表如表所示 青少年,为了解网络对中学生学习成绩的 头盛 年龄 影响,某地区教育主管部门从辖区初中生 合计 佩戴 未佩戴 中随机抽取了1000人调查,发现其中经常 低于40岁 540 上网的有200人,这200人中有80人期末 不低于40岁 考试不及格,而另外800人中有120人不 合计 880 1000 及格,利用图形判断学生经常上网与学习 成绩有关联吗? (1)完成上面的列联表; (2)依据小概率值g一0.01的独立性检验; 能否认为遵守佩戴安全头与年龄有关? n(ad-bc)2 附:x2}- (a+b)(c十d)(十c)(6十d),其中 n-atbtctd 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 ). 10.828 [自主解答] 72 第八章 成对数据的统计分析· 规律万法 [自主解答] 根据题意列出2×2列联表,计算x^{②}的值,如 果x^{}的值很大,说明两个事件有关的可能性很大; 如果v的值比较小,则认为没有充分的证据显示 两个事件有关,这需要给出正确的计算,避免计算 过失误。 [触类旁通] 2.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系 得到下表数据; 生病 种子 总计 情况 种子处理 种子未处理 得病 32 101 133 61 不得病 213 274 总计 314 407 。 根据以上数据,依据小概率值a一0.1的独 立性检验,可得出 ) A.种子是否经过处理跟是否生病有关联 B.种子是否经过处理跟是否生病无关联 C.种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的 题型三 两个分类变量有关联的独立性检验 例 某省进行高中新课程改革已经四年 了,为了解教师对新课程教学模式的使用 情况,某一教育机构对某学校的教师关于 新课程教学模式的使用情况进行了问卷调 查,共调查了50人,其中有老教师20人 [素养聚焦]解决此类问题的难点在于运算,所以 青年教师30人,老教师对新课程教学模式 在解题过程中重点培养数学运算核心素养 赞同的有10人,不赞同的有10人;青年教 规律万法 师对新课程教学模式赞同的有24人,不赞 n(ad-bc)2} 同的有6人. (1)先利用x*一 (ab)(c十d)(a)(6+d)#求出 (1)根据以上数据建立一个列联表 x{}的值,再利用小概率值a以及对应的临界值来 (2)依据小概率值g三0.05,能否推断青年 判断有多大的把握判断两个事件有关, 教师和老教师在新课程教学模式的使用上 (2)解题时应注意准确代数与计算,不可错用公式, 有差异? 准确进行比较与判断. 73 ·数学·选择性必修 第三册(配RJA版) [触类旁通] (3)根据(2)中的列联表,判断是否有99% 3.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测 的把握认为该市一天空气中PM。:浓度与 部门对某市空气质量进行调研,随机抽查 SO。浓度有关? 了100天空气中的PM。。和SO。浓度(单 n(ad-bc)2 附:x2- (a十b)(c十d)(a十c)(b十d)' 位:g/m),得下表; P(二x。) 0.050 0.010 SO. 0.001 [0,50] (50,150] (150,475] 3.841 6.635 2. PM。. 10.828 [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM-浓度 不超过75,且SO。浓度不超过150”的 概率; 课堂小结 (2)根据所给数据,完成下面的2×2列 知识落实 联表: 技法强化 SO 1.分类变量. [0.150] (150,475] 解题时常出现对独立性 PM。 2.2×2列联表. 检验的原理不理解,导 3.等高堆积条形图. 致不会用x分析问题 [0.75] 4.独立性检验,公式 (75,115] 请完成(课后案1学业评价(二十) 提示 阶段测评(三) 章末整合提升 知识网络 相关关系:利用散点图观察 一元线性回归模型 成对数据的 经验回归方程 统计相关性 非线性回归模型。 残差图 回归分析 成对数据的 残差平方和 统计分析 和关系数 分类变量 独立性检验 直观判定两个变量的和关关系 列联表、等高条形图 精确检验两个分类变量 独立性检验的基本原理 74