8.2 一元线性回归模型及其应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

⑧@ 8.2一元线性回归模型及其应用 由y与x的数据表可得y与t的数据表： 8.2.1一元线性回归模型 2 1 0.50.25 8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计 16 12 5 1 课前案·自主学习 作出y与t的散点图，如图所示： [教材梳理] 导学1 14 [问题](1)[提示]一次函数 12 (2)[提示]y=kx十b(k≠0)，要求其方程，需要求出k 8 和b的值。 4 导学2 [问题](1)[提示]不一定. 0 12347 (2)[提示]越小越好. 由图可知y与t近似地呈线性相关关系 ⊙结论形成 又i=1.55,y=7.2,2ty:=94.25,24=21.3125, 1.(1)观测值预测值y:-bx:一a 2.比较均匀地越窄 b= 2w:-5i丙 94.25-5×1.55×7.2≈4.1344， 3.好差 24-5 21.3125-5×1.55 [基础自测门 a=y-bi=7.2-4.1344×1.55≈0.8， 1.(1)×(2)/(3)/(4)× 2.AR越大，表示回归模型的拟合效果越好 y=4.1344t+0.8. 3.Ay与x负相关，排除B,D,又C项中x>0时， 所以y与x的经脸回归方程是y=41344+0.8. y<0不合题意，C错误.故选A [触类旁通] 4.D由散点图可以看出，这些点大致分布在对数型函数 :2.解析对U=Ae两边取对数得1nU=lnA十bt,令)y= 的图象附近，故选D. lnU,a=lnA,x=t,剥y=a十bx,y与x的数据如 课堂案·互动探究 下表： [例]解折]云-碧-曾-器，2=1+16+10 1234 5678910 +169+324+676=1286, y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6 2x,=-1X0.2+4X0.24+10×0.34+13×0.38+ 根据表中数据画出散，点图，如图所示，从图中可以看出， 18×0.5+26×0.64=34.74 y与x具有较好的线性相关关系， 立84-653474-6×曾×器 6= 0.02 2x号-6x 1286-6x(7 4 3 a=y-ix≈0.15， 即所求的经验回归方程为y=0.02x十0.15. [触类旁通] 012345678910 1.C由题意得元=174+176+176+176+178=176(cm, 由表中数据求得x=5,y≈3.045， 5 由公式计算得b≈-0.313， y-175+175+176+177+17”-176(cm）, a=y-bx=4.61, 5 所以y对x的经验回归方程为 由于(x,y)一定满足经验回归方程，经验证知选C. y=-0.313x+4.61. [例2][解析]作出变量y与x之间的散点图，如图 所以1n0=-0.313t+4.61, 所示。 即0=e-0.3131+4.1=e-0.313u·e4.61, 因此电压U对时间：的经验回归方程为 14 0=e-0,313·e.61. [例3】[解折]云=号×14+16+18+20+2)=18， 4 y=号×12+10+7+5+3)=7.4， 0 1234主 2=142+162+182+202+22=160. 由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系， 设y=是，令=】，则y=. 含0：=14×12+16×10+18X7+20X5+22×3 x x =620, 22 : [基础自测] 620-5×18×7,4=-1.15, 1.(1)√(2)×(3)√(4)√ 24-5灵 1660-5×182 2.D由等高堆积条形图易知，D选项两个分类变量关系 a=y-6x=7.4+1.15×18=28.1, 最强. ∴.所求经验回归方程为y=一1.15x+28.1. 3.B独立性检验只是在一定的可信度下进行判断，不一 列出残差表： 定正确.故选B. yi-yi 0.3 -0.4 -0.1 0.2 4.A根据列联表中的数据，可得 yi-y 4.6 2.6 -0.4 2.4 -4.4 X-90XX373X8》2≈0.60.故选A 45×45×19×71 2(y-)2=0.3,2(y-2=53.2 课堂案·互动探究 [例1][解析] 等高条形图如图所示： 立(y-)2 R2=1- 2(y-2 ≈0.994， 0.8 故回归模型的拟合效果很好. 0.6 口阴性 ☐阳性 [触类旁通] 0.4 3.解析由(1)可得y:一与y,一y的关系如下表： 0.2 y:-y: -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5 铅中毒病人 对照组 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样 yi-y -20 -10 10 0 20 本中尿棕色素为阳性的频率， 2(y-)2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+ 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色 素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素 (-6.5)2+0.52=155, 为阳性有关联， 2(y-2=(-20)2+(-10)2+102+02+202= : [触类旁通] 1000 1.解析根据题目所给的数据得到如下2×2列联表： (y-9)2 网络 ∴.R=1- 4=1 155 0.845. 期末成绩 总计 2y-2 =1-1000 经常上网 不经常上网 由(2)可得y:一y:与y1一y的关系如下表： 不及格 80 120 200 y一y -1 -5 6 -9 -3 及格 120 680 800 yi-y -20 -10 10 0 20 总计 200 800 1000 2-y)2=(-1)2+(-5)2+82+(-9)2+(-3)2 得出等高堆积条形图如图所示： 经常上网 180,20-2=(-20)2+(-10)2+102+02+202= 0.9 不经常上网 0.8 1000. 0.7 0.6 2(y-)2 .R=1- 180 -2 =1-1000=0.82. 0.4 0.3 0.2 0.1 由于R1=0.845,R3=0.82,0.845>0.82,.R1>R. ∴.(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果 不及格 及格 8.3列联表与独立性检验 比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频 率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上 8.3.1分类变量与列联表 网与学习成绩有关联 8.3.2独立性检验 [例2][解析](1)年龄低于40岁的有1000×60%= 课前案·自主学习 600(人)，完成2X2列联表如表所示. [教材梳理] 头盔 导学 年龄 合计 [问题][提示]可通过表格与图形进行直观分析，也可 佩戴 未佩戴 通过统计分析定量判断. 低于40岁 540 60 600 ⊙结论形成 不低于40岁 340 60 400 1.不同类别 2.(1)频数表 合计 880 120 1000 23数学·选择性必修 第三册(配RJA版) 8.2 一元线性回归模型及其应用 8.2.1 一元线性回归模型 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 学业标准 素养目标 1.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测 1.通过对一元线性回归模型参数的计算,培养数 (重点) 学运算等核心素养 2.掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法。 2.根据一元线性回归模型进行预测,提升数学运 会使用相关的统计软件.(难点 算、数据分析等核心素养 课前案·自主学习 必备知识 素养初成 教材梳理 和6为模型的未知参数,a称为截距参数 b称为斜率参数,e是Y与bx十a之间的随 一元回归模型及参数的最小二乘 导学1 机误差. 估计 2.线性回归方程 ②问题 (1)如果变量x与y线性相关,那么 我们将一x十ā称为Y关于x的经验回 x与v的关系可以近似地用哪个函数来 归方程,也称经验回归函数或经验回归公 刻画? 式,其图形称为经验回归直线,其中 2(-)(3-y) ##(20) (2)一次函数的解析式是什么?要求一次 --π. 3.最小二乘法 函数的方程,需要求出哪些参数? 求经验回归方程的方法叫做最小二乘法 求得的,ā叫做,a的最小二乘估计 导学2 回归分析 结论形成 ②问题_ 具有相关关系的两个变量的经验回 1.一元线性回归模型 归方程-x十ā Y-bx十a十e, 关系式 (1)预测值与真实值一样吗? 称为Y关于x E(e)-0,D(e)-。2 的一元线性回归模型,其中,Y称为因变量 或响应变量,x称为自变量或解释变量; 66 第八章 成对数据的统计分析 (2)预测值与真实值之间误差大了好 (3)残差的平方和越小,模型的拟合效果 越好. 还是小了好? ( ) (4)利用经验回归方程求出的值是准确值 ( ) 2. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,v的 回归模型时,分别选择了4种不同模型,计 算可得它们的R分别如下表; 结论形成 ☆ 乙 丙 T 1.残差平方和法 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 (1)残差:对于响应变量Y,通过观测得到 的数据称为观测值,通过经验回归方程得 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好? ( 减去 ) 到的称为预测值, A.甲 B.乙 所得的差称为残差,即e一y-y=__ C.丙 D.丁 (=1,2,..,n),称为相应于点(x,y)的 残差. 3.某商品销售量v(件)与销售价格x(元/件) 负相关,则其经验回归方程可能是( ) (2)残差平方和(y一){越小,模型拟 1-1 A.--10x+200 合效果越好. B.-10x+200 2.残差图法 C.--10x-200 残差点 落在水平的带状区域 D.-10x-200 内,说明选用的模型比较合适,其中这样的 4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子 带状区域宽度 ,说明模型的精确 的发芽率v和温度x(单位:C)的关系,在 度越高, 20个不同的温度条件下进行种子发芽实 3.利用R刻画回归效果 验,由实验数据(x,y)(i一1,2,..,20)得 到下面的散点图 一,其意 (-) 100% 80% 三60% ............ 义是:R{}越大,模型的拟合效果越 40% R^{*}越小,模型的拟合效果越 10 30 40温度/C 基础自测 由此散点图,在10C至40C之间,下面四 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) 个回归方程类型中最适宜作为发芽率和 (1)求回归方程前可以不进行相关性检验 ( 温度x的回归方程类型的是 ) __ A.y=a+bx B.y-a十bx2 。 ) C.y-a十be* (2)经验回归直线过点(x,) D.y-a+blnx 67 数学·选择性必修 第三册(配RJA版) 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 线性经验回归方程 题型二 非线性经验回归方程 例 例 下表是某旅游区游客数量与平均气温 在一次抽样调查中测得样本的5个样 的对比表: 本点,数值如下表: 1826 10 13 平均气温/C 0.25 0.5 2 4 16 0.2 0. 240.34 0.38 0.5 0.64 12 数量/万个 5 2 1 若已知游客数量与平均气温是线性相关 试建立v与x之间的经验回归方程 的,求经验回归方程 [自主解答] [自主解答] 规律方法 求经验回归方程的步骤 (1)计算平均数x,y; (2)计算x与y的积,求xv; -1 (3)计算}; 规律方法 2xy-n) 求非线性经验回归方程的步骤 (4)将结果代入公式-二 二,求; 非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时 我们可以画出已知数据的散点图,把它与学过的各 (5)用ā-y-元,求; 种函数(暴函数、指数函数、对数函数等)图象作比 (6)写出经验回归方程. 较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后 [触类旁通] 采用适当的变量变换,借助于一元线性回归模型, 使之得到解决,其一般步骤为: 1.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随 机抽取5对父子的身高数据如下 根据原始数据(x.y)作出散点图 父亲身高x/cm 174 176 176 176 178 根据散点图,选择恰当的拟合函数 儿子身高y/cm 175 175 176 177 177 ( 作恰当的变换,将其转化成经验回 则v对x的经验回归方程为 _ 归函数,求经验回归方程 A.y-x-1 B.-x十1 在上面的基础上通过相应的变换, D.-176 即可得非线性经验回归方程 68 第八章 成对数据的统计分析 [触类旁通] [素养聚焦 ]解决此类问题的难点是对数据的处 2.某电容器充电后,电压达到100V,然后开 理和计算,应避免运算失误,提升数学运算素养. 始放电,由经验知道,此后电压U随时间 规律方法 变化的规律用公式U一Ae*(<0)表示. 在进行回归分析时,要按回归分析步骤进行 现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表: 在求R{时,通常采用分步计算的方法,R{}越大,模 &/s 0 123 4 5 6 789 10 型的拟合效果越好. U/V 100 75554030201510 10 5 5 [触类旁通] 3.关于x与v有如下数据; 试求:电压U对时间t的经验回归方程 2 5 (提示:对公式两边取自然对数,把问题转 8 30 40 60 50 化为经验回归函数问题) 70 有如下的两个经验回归方程; (1)-6.5x+17.5; (2)-7x+17 试比较哪一个拟合效果更好 题型三 回归分析 例 已知某种商品的价格x(元)与需求量 v(件)之间的关系有如下一组数据 14 16 x/元 18 20 22 12 y/件 # 10 3 { 求v对x的经验回归方程,并说明回归模 型拟合效果的好坏. [自主解答] 课堂小结 知识落实 技法强化 1.一元线性回归模型 解题时常出现不判 2.最小二乘法、经验回归方程 断变量间是否具有 的求法. 线性相关关系,盲 3.对模型刻画数据效果的分 目求解经验回归方 析:残差图法、残差平方和 程致误。 法和R法. 提 请完成[课后案]学业评价(十九) 69