8.1 成对数据的统计相关性-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 课堂案·互动探究 8.1.1 变量的相关关系 [例1] [解析] 在A中,由于取b为自变量,因变量是 判别式△一b{}一4ac,判别式与b是函数关系,两者不是 8.1.2 样本相关系数 相关关系;一般来说,光照时间越长,果树亩产量越高; 课前案·自主学习 降雪量越大,交通事故发生率越高;施肥量越多,粮食亩 [教材梳理] 产量越高,所以B.C,D是相关关系,故选BCD. 导学1 [答案] BCD [问题](1)[提示] 吸烟不一定患肺癌,但它们有一定 [触类旁通] 的关系. 1.BCD由左图知气压随海拔高度的增加而减小,由右图 知沸点随气压的升高而升高,所以沸点与气压呈正相 (2)[提示] 两者间有关系,随着气温的降低卖出的热 关,沸点与海拔高度呈负相关,由于两个散点图中的点 茶杯数增加. 都成线性分布,所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相 (3)[提示] y与:间是函数关系,是一种确定关系。 关性都很强,故B.C,D正确,A错误 结论形成 精确地 [例2] [解析](1)散点图如图. 导学2 ,缩化度(克分子%) 一 [问题](1)[提示] (字)补 . 二 0 1820222426280 甲改度/(g/L) 由散点图可以看出,成对数据呈现出相关关系. (2)因为-168-24.202.94. (2)[提示]从图上看时间越长,距离越大,但不是正比 7 xy-4900.16,}-4144.~5892. 例函数关系. (3)[提示]有关系。 结论形成 所以,一_ #(27)(--7) 1.对应点 散点 2.(1)增加的趋势 (2)减少的趋势 4900.16-7×24202.94 3.(1)正相关或负相关 一条直线 (4144-7×24)X{ [5892-7×(202.94)] 导学3 [问题] (1)[提示] 数学成绩与物理成绩相关;数学成 ~0.96. 绩与化学成绩相关 由此推断,甲浓度与缩化度正线性相关,即甲酸浓 (2)[提示 从直观上看数学成绩与物理成绩的相关性 度与缩化度有相同的变化趋势,且相关程度很强。 [触类旁通] 更强一些,可以用相关系数定量的描述两个变量的相关 性强. 结论形成 地区这种野生动物数量的估计值为60×200一12000. 2.(1正(2负 (2)样本(x,y)(i-1,2,..,20)的相关系数 3.[-1,1] (-)(y-) 22~0.94. 800 [基础自测] #(-)()} V80×9000 1.(1)(2) (3)X (4)X 2.C A,B,D中的两个变量都是函数关系. (3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再 3.ABC 选项D中,样本的相关系数应满足一1<,<1,故 对200个地块进行分层抽样. 理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物 D错误,其余都正确 覆盖面积有很强的正相关,由于各地块间植物覆盖面积 4.解析 ①是确定的函数关系;②中的点大都分布在一条 差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很 曲线周围:③中的点大都分布在一条直线周围;④中点 大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体 的分布没有任何规律可言,工,v不具有相关关系 结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该 答案①④ 地区这种野生动物数量更准确的估计.第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 8.1.1变量的相关关系 8.1.2样本相关系数 学业标准 素养目标 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样1.通过对相关关系等概念的学习，培养数学抽象 本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.（重点） 等核心素养 2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相2.根据样本相关系数对两个成对数据的相关程度 关性.（难点） 进行估计，提升数学运算、数据分析等核心索养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材鹼理 (3)y=x2+5(x∈R)中，x,y之间是什么 关系？ 导学1相关关系 ?问题(1)吸烟一定可以导致肺癌吗？吸 烟与患肺癌有关吗？ ⊙结论形成 (2)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数 相关关系：两个变量有关系，但又没有确切 与当天气温的对比表. 到可由其中一个去 决定另一个的 程度，这种关系称为相关关系 气温℃ 25 18 12 10 4 0 杯数 18 30 37 35 导学2散点图 50 54 小卖部中卖出的热茶杯数与当天气温有关 ?问题对一作直线运动的质点的运动过程 吗？两者之间是如何变化的？ 观测了8次得到时间x(单位：s)与质点的 运动距离的观测值y(单位：cm)如下表： 4 y5.547.5210.0211.7315.6916.1216.9821.06 62 第八章成对数据的统计分析。 (1)以x为横坐标，y为纵坐标在平面直角 导学3样本的相关系数 坐标系中作出表示以上数据的点： ?问题 下表是某班部分同学的数学，物理 和化学成绩 学号 1 2 4 56 7 8910 数学70768082899091949798 (2)怎样描述时间与质点的运动距离之间 物理81788387909289949096 的关系？ 化学85828690789091999295 (1)由表中的数据可以看出，数学成绩与物 理成绩是否相关？数学成绩与化学成绩是 (3)时间与质点的运动距离之间有关系吗？ 否相关？ ◎结论形成 (2)上述两个相关关系中，从直观上看哪一 1.散点图 个相关性更强？如何定量的描述两个变量 将成对样本数据在平面直角坐标系中的 的相关性强弱呢？ 画出来，得到表示两个变量 的一组数据的统计图，这样的统计图叫做 图，利用散点图，可以判断两个变 ©结论形成 量是否相关，相关时是正相关还是负相关 1.样本相关系数的计算公式 2.正相关和负相关 2(x,-x)(y,-y) (1)正相关：从整体上看，当一个变量的值 增加时，另一个变量的相应值也呈现 2x- 2(y-y) ,我们就称这两个变量正相关。 xiy;-nay =1 (2)负相关：从整体上看，当一个变量的值 2-nx2 y 2-ny A=1 = 增加时，另一个变量的相应值呈现 称为变量x和变量y的样本相关系数 ,则称这两个变量负相关， 2.样本相关系数r是一个描述成对样本数据 3.线性相关和非线性相关 的数字特征，它的正负可以反映成对数据 (1)线性相关：如果两个变量的取值呈现 的变化特征： ,而且散点落在 (1)当r>0时，称成对数据 相关； 附近，我们就称这两个变量线性相关」 (2)当r<0时，称成对数据 相关 (2)非线性相关：如果两个变量具有相关 3.样本相关系数r的取值范围为 性，但不是线性相关，那么我们就称这两个 样本相关系数的绝对值大小可以反映成 变量非线性相关或曲线相关， 对数据之间线性相关的程度： 63 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） (1)当r越接近1时，成对数据的线性相 C.身高与体重 关程度越强： D.铁块的体积与质量 (2)当|r越接近0时，成对数据的线性相 3.(多选题)关于回归分析，下列说法正确的是 关程度越弱， P基佛自测 A.在回归分析中，变量间的关系若是非确 定性关系，那么因变量不能由自变量唯 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 确定 (1)若两个变量正相关，则样本相关系数大 B.线性相关系数可以是正的也可以是负的 于0. ( ) C.在回归分析中，如果2=1或r=士1， (2)散点图可以直观地分析出两个变量是 否具有相关性 说明x与y之间完全线性相关 ( D.样本相关系数r∈（一1,1） (3)样本的容量对用样本相关系数估计两个 4.如图所示的两个变量不具有相关关系的是 变量的相关系数的效果没有影响. ( (4)相关系数越大，两个变量的相关性就 (填序号) 越强 2.下面哪些变量是相关关系 A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 相关关系的直接判断 110 120 100 例（多选题)下列变量之间的关系是相关 98 100 关系的是 ) ( 92 A.二次函数y=ax2+bx+c中，a,c是已 40 20 知常数，取b为自变量，因变量是判别 0.511.522.533.5415 405060708090100110 式△=b-4ac 海拔/千米 气压/「帕 B.光照时间和果树亩产量 A.沸点与海拔高度呈正相关 C.降雪量和交通事故发生率 B.沸点与气压呈正相关 D.每亩田施肥量和粮食亩产量 C.沸点与海拔高度呈负相关 规律方法 D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性 两个变量是否相关的两种判断方法 都很强 (1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断 题型二样本相关系数及其应用 (2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否 例忽维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以 存在一定的规律，直观地进行判断 用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越 [触类旁通 高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响 1.(多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得 缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛 海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成 浓度x(gL)去控制这一指标，为此必须找 散点图如图所示，则下列说法正确的是 出它们之间的关系，现安排一批实验，获得 如下数据： 64 第八章成对数据的统计分析。 甲醒浓度 20 22 24 28 30 并计算得3x,=60,3y-1200,(z, (g/1) 缩醛化度 )=80,(y-=900,2(x-0· 26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36 (克分子%) (y:-y)=800. (1)画散点图，并判断成对样本数据是否线 (1)求该地区这种野生动物数量的估计值 性相关； (这种野生动物数量的估计值等于样区这 (2)求相关系数r(精确到0.01)，并通过样 种野生动物数量的平均数乘以地块数)； 本相关系数判断甲醛浓度与缩醛化度的相 (2)求样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关 关程度和变化趋势的异同. 系数（精确到0.01）； [自主解答] (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖 面积差异很大.为提高样本的代表性以获 得该地区这种野生动物数量更准确的估 计，请给出一种你认为更合理的抽样方法， 并说明理由。 2(x,-x)(y,一y 附：相关系数r= /2≈1.414. [素养聚焦]解题的过程中体会数学建模核心素养 的提升，加强数据分析和数学运算核心素养的培养， 规律方法 (1)解决此类问题的难点是对数据的处理和计算， 要特别注意避免运算失误， (2)根据已知数据求得回归直线方程后，利用相关系 数绝对值的大小，可以判断两个变量相关性的强弱. [触类旁通 课堂小结 2.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大 知识落实 技法强化 改善，野生动物数量有所增加.为调查该地 1.相关关系。 解题过程中常出现相 区某种野生动物的数量，将其分成面积相 2.散点图。 关关系与函数关系不 近的200个地块，从这些地块中用简单随 3.正相关、负相关、线性相分，样本相关系数绝 机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得 关、非线性相关 对值的大小与相关程 到样本数据(x,y,)(i=1,2,…,20),其中 4.样本相关系数. 度的关系 x,和y,分别表示第i个样区的植物覆盖 面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量， 请完成「课后案1学业评价（十八） 65