7.5 正态分布-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

第七章随机变量及其分布● 7.5 正态分布 学业标准 素养目标 1.通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念.（重点） 1.通过正态分布相关概念的学习，培养数学 2.通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的 抽象等核心素养 特征及曲线表示的含义.（重点） 2.通过运用正态曲线的性质求随机变量在 3.了解正态分布的均值、方差及其含义.（难点） 某一区间的概率，提升数学运算、直观想 4.会用正态分布解决实际问题！ 象等核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 ⊙结论形成 1.连续型随机变量 导学 正态分布 如果随机变量不是离散型的，它们的取值 ?问题 函数f(x)= 1e“，x∈R的 充满 ,但取一点的 g√2π 概率为 ,称这类随机变量为连续 图象如图所示 型随机变量， 102 2.正态曲线和正态分布 (1)正态曲线：函数f(x)= ,称为正态密 (1)由图可得到函数∫(x)的图象关于哪条 度函数，称它的图象为正态分布密度曲线， 直线对称？ 简称正态曲线， (2)正态分布：若随机变量X的概率密度 函数为f(x),则称随机变量X服从正态 分布，记为 ,特别地，当μ=0， (2)函数f(x)取得最大值时，x的值是什 σ=1时，称随机变量X服从 么？由此可以得到：的值是什么？ (3)正态曲线的特点 ①正态曲线是单峰的，它关于直线 对称； (3)由以上的讨论得到函数f(x)的解析式 ②正态曲线在x=4处达到峰值 是什么？ ③正态曲线与x轴之间的区域的面积为 ④当|x|无限增大时，正态曲线无限接近 x轴. 55 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） (4)参数μ和。对正态曲线形状的影响 D基础自测 ①当σ一定时，正态曲线的位置由4确定， 正态曲线随着4的变化而沿x轴 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 如图(1) (1)函数2，.(x)中参数4，o的意义分别是 ②当4一定时，正态曲线的形状可确定.当 样本的均值与方差， () σ较小时，峰值高，正态曲线“ ”, (2)正态曲线是单峰的，其与x轴之间的区 表示随机变量X的分布比较 ；当 域的面积是随参数μ，σ的变化而变化的。 ( σ较大时，峰值低，正态曲线“ (3)正态曲线可以关于y轴对称.() 表示随机变量X的分布比较 如图(2) (4)若X~N(,),则P(X<)= 21 u=0/ 05 ( =1 2.已知随机变量X服从正态分布N(1,a2), A0=2 20川2 -3-2-101233 若P(X>2)=0.15,则P(0≤X≤1)= 图(1) 图(2) ( 3.正态分布的均值与方差 A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15 若X~N(,o2),则E(X)= 3.如图是正态分布N(,c), D(X)= N(,),N(h,) 4.3。原则 (01,02,3>0)对应的曲 (1)P(μ-o≤X≤十o)≈0.6827； 线，则1,02,03的大小关 0 (2)P(u-2a≤X≤4+2o)≈0.9545； 系是 (3)P(4-3a≤X≤μ+3a)≈0.9973. A.01>02>03 B.03>02>01 通常服从于正态分布N(4,o2)的随机变量 C.o1>03>02 D.02>01>0g X只取 的值，这在统计 4.已知随机变量X服从正态分布N(2,o), 学中称为3σ原则 则P(X<2)= 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 正态曲线及其性质 A.甲科总体的标准差最小 例1 (多选题)某次我市高三教学质量检测 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图 D.甲、乙、丙的总体的平均数相同 所示（由于人数众多，成绩分布的直方图 规健方法 可视为正态分布)，则由如图所示曲线可 利用正态曲线的性质可以求参数μ，0 得下列说法中正确的项是 (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=4对称，由 此性质结合图象求以 人数 (2)正态曲线在x=μ处达到峰值1 ,由此性质 0V√2π 结合图象可求G 丙 分 (3)由。的大小区分曲线的胖瘦 56 第七章随机变量及其分布© [触类旁通] [母题变式] 1.若一个正态分布密度函数是一个偶函数， (变结论)本例条件不变，若P(X>c十1) 且该函数的最大值为，1，求该正态分布 =P(X<c-1),求c的值. 4√2元 的概率密度函数的解析式。 规健方法 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之 间面积为1. 题型二利用正态曲线的对称性求概率 (2)熟记P(-o<X≤μ十a),P(u-2a<X≤H十 (一题多变) 2a),P(4-3a<X≤μ十3)的值. 例4设X~N(1,2),试求： (3)注意概率值的求解转化： (1)P(-1<X≤3)： ①P(X<a)=1-P(X≥a)； (2)P(3<X≤5)； ②P(X<u-a)=P(X≥μ+a); (3)P(X>5). ③若b<4,则P(X<b)=1-P(b<X<2-b) 2 [自主解答] [触类旁通】 2.设随机变量XN(2,9),若P(X>c+1) P(X<c-1). (1)求c的值； (2)求P(-4<X≤8). 57 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 题型三正态分布的实际应用 [触类旁通] 例在某次数学考试中，考生的成绩X服 3.某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从 从正态分布，即X~N(100,100),已知满 正态分布N(4,0.052),质量检查人员从该 分为150分. 厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测 (1)试求考试成绩X位于区间(80,120]内 得它的外直径为3.7cm,该厂生产的这批 的概率； 零件是否合格？ (2)若这次考试共有2000名考生参加，试 估计这次考试及格（不小于90分）的人数. [自主解答] [素养聚焦]解决正态分布的实际应用问题要把 握正态分布图象的对称性，强化对其图象对称性的 认识，通过解决此类问题提升直观想象数学运算等 核心素养 课堂小结 规律方法 知识落实 技法强化 正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向 1.正态曲线及其特点. 解题过程中常出 (μ一o,4十o),(μ-2a,4+2a),(4-3a,4+3a)这 2.正态分布。 现概率区间转化 三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出 3.正态分布的应用，3σ原则. 不等价. 相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形 温馨 结合思想 提示 请完成[课后案】学业评价（十七） 58(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3. 3.462 Prx=1-gg-专PGX=2-9-号 4.[4-36,μ+3a] C C%5' [基础自测] 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ P(X=3)= C 2.CP(0≤X≤1)=P(1≤X≤2)=0.5-P(X>2)= 所以X的分布列为 0.35. X 1 3.A由。的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，2越 2 3 小，故有1>02>3 P 号 号 4.解析由题意知曲线关于X=2对称，因此PX<2)=2 [例3][解析]X的所有可能取值为0,1,2，所以依题 答案 1 2 CC23 C 51 课堂案·互动探究 P(X=2)= c3-3 [例1][解析]由题中图象可知三科总体的平均数（均 C10 值)相等，由正态密度曲线的性质，可知：越大，正态曲 所以X的分布列为 线越扁平越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标 准差从小到大依次为甲、乙、丙， X 0 1 2 [答案]AD P 1 寻 品 [触类旁通] 1.解析由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函敏， 所以EC)=0+1X号+2×-号，ECG0 所以正态曲线关于y轴对称，即4=0，而正态分布的概 1 3×2=6 率密度函数的最大值是，1 所以1」 4J2π √2x·a42π 5 5 Dx0=(0-)×品+(1-)‘×g+(2-)°× 解得0=4，故函数的解析式为)=，1·e青， 4√2元 x∈(-∞，+o∞). 品- [例2][解析]因为X一N(1,22),所以4=1，a=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) [触类旁通] =P(μ-g<X≤+a)=0.6827. 3.A法一题意得，P(X=0)= (2)因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1), C3×C。6=3 所以P(3<X≤5) P(X=1)= C号105 -[P(-3<X<)-P(-1KX≤] P(X=2)= C3 -0 =2[P1-4KX≤1+0-P1-2<X≤1+2] ·E(X)=0X +1X号+2X-号A正确， =2[P-2X≤r+2-P-KX≤r+o】 法二 易知X服从超几何分布，所以E(X)=3X2=6 2×0.9545-0.6827)=0.1359. = 7.5正态分布 3P(X5)=P(X≤-3)=21-P(-3<X<5]= 课前案·自主学习 [教材梳理] 21-P1-4KX≤1+40]-0.0228. 导学 [母题变式] [问题](1)[提示]直线x=72, 解析因为X服从正态分布N(1,22),所以对应的正 (2)[提示]x=724=72. 态曲线关于x=1对称.又P(X>c十1)=P(X<c-1), (3)[提示]f)=1e哥(z∈R. 因此c+1)(c-D-=1,即c=1. 10/2π ○结论形成 [触类旁通] 1.某个区间甚至整个实轴0 2.解析(1)由X~N(2,9)可知，密度函数关于直线x=2 2.（1)1e-,x∈R,其中∈R,>0为参数 对称（如图所示） G√2r (2)X~N(4,a2)标准正态分布(3)①x=4 ②1 c√2际 ③1(4)①平移②瘦高集中矮胖 分散 19 @ .P(X>c+1)=P(X<c-1), (2)若第2题答对，则他答对第3题的概率为0.972 故有2-(c-1)=(c十1)-2，∴c=2. 0.85×(1+10%)=0.90882. (2)P(-4<X≤8)=P(2-2×3<X≤2+2×3)= 若第2题受挫，则他答对第3题的概率为 P(μ-2a<X≤u+2a)=0.9545. (1-0.972)×0.85×(1-30%)=0.01666. [例3][解析](1)由X~N(100,100),知=100，o=10. .他答对第3题的概率为0.90882十0.01666= ,∴.P(80<X≤120)=P(100-20<X≤100+20)= 0.92548 0.9545,即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为 : (3)同理可得到他在方案一中答对各题概率分布如下： 0.9545. 题号12 4 5 6 (2):P(90<X≤110)=P(100-10<X≤100+10)= 概率0.950.9720.925480.8561540.5212310.181698 0.6827, 他得分的数学期望是 ∴P(X>110)=2×(1-0.6827)=0.15865, 5×0.95+5×0.972+5×0.92548+5×0.856154+ .P(X≥90)=0.6827+0.15865=0.84135. 12×0.521231+14×0.181698=27.316714. ∴.及格人数为2000×0.84135≈1683（人）. 他在方案二中答对各题的概率分布如下： [触类旁通] 题号56 1 3 3.解析由于X服从正态分布N(4,0.052),由正态分布 概率0.50.180.7334 0.8940240.8989680.84767 的性质，可知正态分布N(4,0.052)在(4-3×0.05,4十 .他得分的数学期望是12×0.5+14×0.18+5× 3×0.05)之外的取值的概率只有0.0027,3.7任(3.85， 0.7334+5×0.894024+5×0.898968+5×0.84767 4.15),这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的 =25.39031. 小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的. 故他应该采用方案一答题，才是科学的。 章末整合提升 题组训练 [深化提升]—题组训练 4.B射击命中次数X服从二项分布X~B(40,号)， 1.AP(B1A)=PAB=召=5 P(A)3 6 均值EX0=40×号=320， 5 故选A. 方差D(X)=40×号×(1-号)=64， 2.A记“感染该病毒”为事件A,“确诊“为事件B, 所以=320,0=8， 则P(A)=0.95,P(BA)=0.84, P(X<336)=P(X<+2a) 所以P(AB)=P(B引A)·P(A)=0.84×0.95=0.798. =1-P(X>u+2a) 即感染该病毒且确诊的概率是0.798. =1-1-P-2a≤≤4+2a) 2 故选A 3.解析(1)由题知，乙、丙进行比赛，丙每局获胜的概率 =1-1-0.9545-0.97725≈0.9773. 2 为p(0<p<1),若乙、丙采用“三局两胜制”进行比赛， 故选B. 丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为p=p2;或者：5.D对于A,由图知以甲=98，z=100,即甲班的平均分 前两局乙、丙各胜一局且第三局丙胜，概率为p2= 比乙班的平均分低，故A错误； C是p2(1一p),所以丙获胜的概率为p2十C2p2(1一p)= : 对于B,因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即甲< 号p,解得D=是 乙，表示甲班的数学成绩更集中，故B错误； 对于C,甲班f(x)=e学的最大值为，1 (2)设A1事件为：甲与丙进行比赛，A2事件为：乙与丙进 √2πa 月5√2元 行比案，B事件为：丙比套获胜，则P(A1)-是，P(A2) 则g甲=5， =,PAB)=号，P(A,B)=是， 则P(X>108)=P(X>+2o）=21-P1X-r≤ 2g)]=0.02275≠4.55%，故C错误： 所以PB)=PA1)P(BA1)+PA,)PBlA,)=2× 对于D,乙班f(x)= 1 e的最大值为。1 2πG 6√2元 号+×品 则c元=6， 则P(X>112)=P(X>4十2a) [典题2][解析](1)若第1题答对，则他答对第2题的 概率为0.95×0.9×(1+10%)=0.9405. -21-PX-a≤2o]=0.02275, 若第1题受挫，则他答对第2题的概率为(1一0.95)× 又这两个班的人数相等，则乙班112分以上的人数与甲 0.9×(1-30%)=0.0315. 班108分以上的人数大致相等，故D正确」 ∴.他答对第2题的概率为0.9405十0.0315=0.972. 故选D. 20